Analiza opisowa

Jednym ze sposobów zrozumienia, jak działa rząd miasta, jest spojrzenie na to, kogo zatrudnia i jak jego pracownicy są wynagradzani. Dane te zawierają nazwiska, nazwę stanowiska i wynagrodzenie pracowników miasta San Francisco w ujęciu rocznym od 2011 do 2014 roku.

Oto kilka pomysłów na eksplorację danych:

# wymiary ramki:
dim(salaries)
## [1] 148654     13
# nazwy kolumn:
names(salaries)
##  [1] "Id"               "EmployeeName"     "JobTitle"         "BasePay"         
##  [5] "OvertimePay"      "OtherPay"         "Benefits"         "TotalPay"        
##  [9] "TotalPayBenefits" "Year"             "Notes"            "Agency"          
## [13] "Status"

Histogramy

hist(salaries$TotalPay,main="Total Pay", xlab="Pay (in dollars)")
abline(v = mean(salaries$TotalPay),lty="dashed")
abline(v = median(salaries$TotalPay))
legend("topright", legend=c("Mediana","Średnia"),lty=c("solid","dashed"))

par(mfrow=c(2,2))
hist(salaries$TotalPay,main="Total Pay, default breaks", xlab="Pay (in dollars)")
hist(salaries$TotalPay,main="Total Pay, breaks=100", xlab="Pay (in dollars)", breaks=100)
hist(salaries$TotalPay,main="Total Pay, breaks=1000", xlab="Pay (in dollars)",breaks=1000)

hist(salaries$TotalPay,main="Total Pay, Zoomed-in", xlab="Pay (in dollars)", xlim=c(0,1e5), breaks=1000)

salaries2 <- subset(salaries, JobTitle=="Firefighter" & Status=="FT")
dim(salaries2)
## [1] 738  13
par(mfrow=c(2,2))
hist(salaries2$TotalPay,main="Firefighters, default breaks", xlab="Pay (in dollars)")
hist(salaries2$TotalPay,main="Firefighters, breaks=30", xlab="Pay (in dollars)", breaks=30)
hist(salaries2$TotalPay,main="Firefighters, breaks=100", xlab="Pay (in dollars)", breaks=100)
hist(salaries2$TotalPay,main="Firefighters, breaks=1000", xlab="Pay (in dollars)",breaks=1000)

Wykresy pudełkowe

par(mfrow=c(1,1))
boxplot(salaries$TotalPay,main="Total Pay, breaks=1000", ylab="Pay (in dollars)")

Estymacja funkcji gęstości

Pierwszy raport dotyczy nieparametrycznej estymacji gęstości. Klasycznym nieparametrycznym estymatorem gęstości jest histogram, który dostarcza nieciągłe i stałe oszacowania. W tym raporcie skupiono się na niektórych alternatywach, które zapewniają ciągłe lub nawet gładkie oszacowania zamiast.

Metody kernelowe stanowią ważną klasę gładkich estymatorów gęstości i zaimplementowane są przez funkcję R density(). Estymatory te są w zasadzie tylko lokalnie ważonymi średnimi, a ich obliczenie jest stosunkowo proste w teorii. W praktyce, różne wybory sposobu implementacji obliczeń mogą jednak mieć duży wpływ na rzeczywisty czas obliczeń, a implementację kernelowych estymatorów gęstości zilustruje trzy punkty:

Metody kernelowe opierają się na jednym lub więcej parametrach regularności, które muszą być dobrane tak, aby osiągnąć właściwą równowagę w dostosowaniu do danych bez zbytniego dostosowywania się do losowej zmienności w danych.

Wybór odpowiedniej ilości regularności jest równie ważny jak wybór metody do użycia w pierwszej kolejności. W rzeczywistości może być ważniejszy. Tak naprawdę nie mamy kompletnej implementacji nieparametrycznego estymatora dopóki nie zaimplementujemy automatycznego, opartego na danych sposobu wyboru ilości regulacji.

Implementacja tylko obliczeń dla oceny estymatora jądra, powiedzmy, i pozostawiając to całkowicie użytkownikowi wyboru szerokości pasma jest pracą w połowie wykonaną. Metody i implementacje do wyboru szerokości pasma są więc w tym raporcie omówione dość szczegółowo.

W ostatniej części przeprowadzona jest analiza prawdopodobieństwa. Robi się to w celu dalszego wyjaśnienia, dlaczego potrzebne są estymatory z regularyzacją w celu uniknięcia nadmiernego dopasowania do danych, oraz dlaczego nie istnieje w ogóle nieparametryczny maksymalnego prawdopodobieństwa estymatora gęstości. Regularyzację prawdopodobieństwamożna osiągnąć poprzez ograniczenie szacunków gęstości do rodziny coraz bardziej elastycznych gęstości parametrycznych, które są dopasowane do danych. Jest to znane jako metoda sit. Inne podejście opiera się na rozszerzeniach bazowych, ale w obu przypadkach automatyczny wybór wielkości regularności jest tak samo ważny jak w przypadku metod jądrowych.

Aby utworzyć wykres gęstości jądra, musisz oszacować gęstość jądra. W tym celu można użyć funkcji density, a następnie przekazać obiekt density do funkcji plot.

# dane
set.seed(14012021)
data <- rnorm(200, mean = 4)

# Kernel density estimation
d <- density(data)

# Kernel density plot
plot(d, lwd = 2, main = "Default kernel density plot")

Argument jądra funkcji gęstości domyślnie używa jądra gaussowskiego (kernel = “gaussian”), ale dostępnych jest więcej typów jądra, takich jak “prostokątne”, “trójkątne”, “epanechnikov”, “biweight”, “cosine” i “optcosine”. Wybór będzie zależał od twoich danych, ale w większości scenariuszy wartość domyślna jest najbardziej zalecana.

# Data
set.seed(14012021)
data <- rnorm(200, mean = 4)

# Kernel density estimation
d <- density(data,
             kernel = "rectangular")

# Kernel density plot
plot(d, lwd = 2, main = "Rectangular kernel")

# Data
set.seed(14012021)
data <- rnorm(200, mean = 4)

# Kernel density estimation
d <- density(data,
             kernel = "triangular")

# Kernel density plot
plot(d, lwd = 2, main = "Triangular kernel")

# Data
set.seed(14012021)
data <- rnorm(200, mean = 4)

# Kernel density estimation
d <- density(data,
             kernel = "epanechnikov")

# Kernel density plot
plot(d, lwd = 2, main = "Epanechnikov kernel")

# Data
set.seed(14012021)
data <- rnorm(200, mean = 4)

# Kernel density estimation
d <- density(data,
             kernel = "biweight")

# Kernel density plot
plot(d, lwd = 2, main = "Biweight kernel")

# Data
set.seed(14012021)
data <- rnorm(200, mean = 4)

# Kernel density estimation
d <- density(data,
             kernel = "cosine")

# Kernel density plot
plot(d, lwd = 2, main = "Cosine kernel")

Selekcja pasma

Argument bw funkcji gęstości pozwala na zmianę używanego pasma wygładzania. Możesz przekazać wartość lub ciąg znaków podający regułę wyboru lub funkcję. Domyślną wartością jest “nrd0” (lub bw.nrd0(.)), która implementuje podejście oparte na zasadzie reguły kciuka :-) Inne dostępne opcje to:

Reguła Scotta (1992)

# Data
set.seed(14012021)
data <- rnorm(200, mean = 4)

# Kernel density estimation
d <- density(data,
             bw = "nrd")

# Kernel density plot
plot(d, lwd = 2, main = "nrd bandwidth")

Nieobciążona cross-walidacja

# Data
set.seed(14012021)
data <- rnorm(200, mean = 4)

# Kernel density estimation
d <- density(data,
             bw = "ucv")

# Kernel density plot
plot(d, lwd = 2, main = "ucv bandwidth")

Obciążona cross-walidacja

# Data
set.seed(14012021)
data <- rnorm(200, mean = 4)

# Kernel density estimation
d <- density(data,
             bw = "bcv")

# Kernel density plot
plot(d, lwd = 2, main = "bcv bandwidth")

Metoda Sheather & Jones (1991)

# Data
set.seed(14012021)
data <- rnorm(200, mean = 4)

# Kernel density estimation
d <- density(data,
             bw = "SJ")

# Kernel density plot
plot(d, lwd = 2, main = "SJ bandwidth")

Ostrzeżenie!

Szerokość pasma musi być bardzo starannie dobrana! Mała szerokość pasma spowoduje powstanie nadmiernie dopasowanej krzywej, natomiast zbyt duża szerokość pasma spowoduje powstanie krzywej nadmiernie wygładzonej.

Ćwiczenie 1.

Uruchom demo estymatora funkcji gęstości kernel. Zmieniaj zarówno dane wejściowe, jak i opcje estymatora - szerokość pasma oraz rodzaj funkcji jądrowej. Czy widzisz istotne różnice w oszacowaniu?

install.packages("remotes") #tylko raz! potem #
## Instalowanie pakietu w 'C:/Users/Veronika Zhdamarova/AppData/Local/R/win-library/4.3'
## (ponieważ 'lib' nie jest określony)
## pakiet 'remotes' został pomyślnie rozpakowany oraz sumy MD5 zostały sprawdzone
## 
## Pobrane pakiety binarne są w
##  C:\Users\Veronika Zhdamarova\AppData\Local\Temp\RtmpI10mkI\downloaded_packages
remotes::install_github("hericks/KDE") #tylko raz! potem #
## Using GitHub PAT from the git credential store.
## Skipping install of 'KDE' from a github remote, the SHA1 (96fe5429) has not changed since last install.
##   Use `force = TRUE` to force installation
library(KDE)
shiny_kde() 
## PhantomJS not found. You can install it with webshot::install_phantomjs(). If it is installed, please make sure the phantomjs executable can be found via the PATH variable.
Shiny applications not supported in static R Markdown documents

Ćwiczenie 2.

Wykorzystując dowolną funkcję R do estymacji funkcji gęstości oszacuj jej przebieg dla wynagrodzeń (zbiór danych salaries) strażaków w San Francisco. Wykorzystaj metody graficzne dostępne w pakiecie ggplot2. Mile widziane przekroje oraz odpowiedzi na pytania badawcze zadane na wstępie.

library(dplyr)
## Warning: pakiet 'dplyr' został zbudowany w wersji R 4.3.2
## 
## Dołączanie pakietu: 'dplyr'
## Następujące obiekty zostały zakryte z 'package:stats':
## 
##     filter, lag
## Następujące obiekty zostały zakryte z 'package:base':
## 
##     intersect, setdiff, setequal, union
library(ggplot2)
## Warning: pakiet 'ggplot2' został zbudowany w wersji R 4.3.2
salaries <- read.csv("https://github.com/kflisikowski/ds/raw/master/Salaries.csv")
salaries2 <- salaries %>% filter(JobTitle == "Firefighter" & Status == "FT")

ggplot(salaries2, aes(x = TotalPay)) +
  geom_density(kernel = "gaussian", bw = 5000, fill = "blue", alpha = 0.5) +
  labs(title = "Estymacja funkcji gęstości dla wynagrodzeń strażaków",
       x = "Całkowite wynagrodzenie (w dolarach)", 
       y = "Gęstość") +
  theme_minimal()

ggplot(salaries2, aes(x = TotalPay)) +
  geom_density(kernel = "gaussian", bw = 2000, fill = "red", alpha = 0.5) +
  labs(title = "Gaussian Kernel, bw=2000",
       x = "Całkowite wynagrodzenie (w dolarach)", 
       y = "Gęstość") +
  theme_minimal()

# Rectangular Kernel
ggplot(salaries2, aes(x = TotalPay)) +
  geom_density(kernel = "rectangular", bw = 5000, fill = "green", alpha = 0.5) +
  labs(title = "Rectangular Kernel, bw=5000",
       x = "Całkowite wynagrodzenie (w dolarach)", 
       y = "Gęstość") +
  theme_minimal()

# Epanechnikov Kernel
ggplot(salaries2, aes(x = TotalPay)) +
  geom_density(kernel = "epanechnikov", bw = 5000, fill = "purple", alpha = 0.5) +
  labs(title = "Epanechnikov Kernel, bw=5000",
       x = "Całkowite wynagrodzenie (w dolarach)", 
       y = "Gęstość") +
  theme_minimal()

Odpowiedź do ćwiczenia 1:

Odpowiedź: Jeżeli zmieniać rodzaj funkcji jądrowej lub/i szerokość pasma, to można wyciągnąć następujące wyniki z uwagi na stopień dopasowania: Jeżeli szerokośc pasma jest za duża, to krzywa jes bardzeij wygładzona, co oznacza niedopasowanie, istotne cechy danych zostają pominięte. W przypadku, gdy szerokość pasma jest mała, widzimy nadmierne dopasowanie, pojawia się zbyt dużo szczegółów i w gre już wchodzi szum. Natomiast funkcja jądrowa wpływa na kształt krzywej, ale w bardzo nieznaczym stopniu. Często najbardziej optymalną jest funkcja gęstości Gaussa, w wielu przypadkach to ona najlepiej dopasowauje się do danych.

Odpowiedź do ćwiczenia 2:

Gaussian Kernel z pasmem 5000: Ta opcja daje gładką krzywą, która pokazuje ogólny rozkład wynagrodzeń strażaków. To dobry wybór, jeśli trzeba zobaczyć całkowity obraz, bez zbytniego skupienia się na szczegółach.

Gaussian z pasmem 2000: Krzywa jest bardziej „poszarpana” i szczegółowa. Takie ustawienie może pokazać więcej lokalnych różnic, ale czasem może też uwypuklić przypadkowe szumy, co nie jest pożądane.

Rectangular: Ta krzywa jest mniej płynna i ma ostre krawędzie, przez co wyniki mogą być trudniejsze do zinterpretowania. Pokazuje bardziej surowy, mniej wygładzony obraz rozkładu.

Epanechnikov: Ten wykres jest czymś pomiędzy — zachowuje równowagę między gładkością a szczegółowością. Może być dobrym wyborem, gdy potrzebujemy trochę więcej detali, ale bez nadmiernego rozbicia na przypadkowe fluktuacje. ```