Una matriz es un arreglo rectangular de números dispuestos en filas y columnas. Las matrices se denotan generalmente por letras mayúsculas, como \(A\), \(B\), …, y los elementos de la matriz se denotan por \(a_{ij}\) , donde \(i\) es el índice de la fila y \(j\) el índice de la columna.
\[ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \]
\[ B = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1p} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2p} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m1} & a_{m2} & \cdots & b_{mp} \end{bmatrix} \]
Las matrices tienen diferentes clasificaciones, según sus propiedades:
Una matriz es cuadrada si tiene el mismo número de filas y columnas (\(n{\times}n\)).
\[ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} \]
Es una matriz cuadrada donde todos los elementos fuera de la diagonal principal son cero.
\[ A = \begin{bmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} \]
Es una matriz diagonal en la que todos los elementos de la diagonal principal son 1. Se denota como \(I\).
\[ I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix} \]
Es una matriz en la que todos los elementos son cero.
\[ 0 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix} \]
Ejemplo resuelto 1: Verifiquemos si la siguiente matriz es una matriz diagonal:
\[ A = \begin{bmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]
Solución: Como todos los elementos fuera de la diagonal principal son cero, esta es una matriz diagonal.
Ejemplo resuelto 2: Verifiquemos si la matriz \(B = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\) es una matriz identidad.
Solución: Como todos los elementos en la diagonal principal son 1 y los demás son 0, esta es una matriz identidad.
\[ A = \begin{bmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]
\[ A = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \]
Existen diferentes tipos de matrices con propiedades específicas, como:
Matriz Identidad: todos los valores en la diagonal principal son 1 y el resto son 0.
Matriz Diagonal: solo los valores de la diagonal pueden ser distintos de 0.
Matriz Simétrica: es igual a su transpuesta.
# Crear matriz identidad
I <- diag(3)
# Crear una matriz diagonal
diag_matrix <- diag(c(1, 5, 9))
# Crear una matriz simétrica
sym_matrix <- matrix(c(1, 2, 2, 4), nrow = 2)
sym_matrix## [,1] [,2]
## [1,] 1 2
## [2,] 2 4Multiplica una matriz por la matriz identidad y verifica que el resultado es la misma matriz.
## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 3 5 4
## [2,] 2 6 8
## [3,] 1 7 9Crea una matriz diagonal de 4x4 y una matriz identidad de 4x4 y multiplícalas.
Crea una matriz simétrica de 3x3 y verifica si cumple la condición de simetría \((A == t(A))\).
Las matrices en R se crean usando la función matrix().
Una matriz es un arreglo de datos en dos dimensiones (filas y columnas)
que organiza datos numéricos.
## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 1 4 7
## [2,] 2 5 8
## [3,] 3 6 9Las matrices permiten realizar operaciones como suma, resta y multiplicación por un escalar.
# Crear otra matriz para operaciones
B <- matrix(c(9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1), nrow = 3, ncol = 3)
# Suma de matrices
A + B## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 10 10 10
## [2,] 10 10 10
## [3,] 10 10 10## [,1] [,2] [,3]
## [1,] -8 -2 4
## [2,] -6 0 6
## [3,] -4 2 8## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 3 12 21
## [2,] 6 15 24
## [3,] 9 18 27Crea dos matrices de 3x3 y realiza la suma, resta y multiplicación por un escalar en ellas.
Crea una matriz de 4x4 y calcula su transpuesta usando la función t() en R.
El método de Gauss-Jordan es una técnica para resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante la reducción de la matriz aumentada a su forma escalonada reducida. La idea es convertir la matriz de coeficientes en la matriz identidad, y encontrar la solución del sistema en la parte derecha de la matriz aumentada.
Transformar la matriz aumentada en una matriz escalonada.
Realizar más operaciones para obtener una matriz identidad en la parte izquierda.
La solución del sistema será el vector en la parte derecha.
Ejemplo: Resolver el sistema:
\[ \begin{aligned} x + 2y + 3z &= 1 \\ 2x + 3y + z &= 2 \\ 3x + y + 2z &= 3 \end{aligned} \]
La matriz aumentada es:
\[ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 2 & 3 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & 2 & 3 \end{array} \right] \]
Realizamos operaciones por filas hasta obtener una matriz identidad en la parte izquierda. El resultado final proporciona las soluciones para \(x\), \(y\), y \(z\).
\[ \begin{aligned} 2x + y &= 3 \\ 3x + 4y &= 7 \end{aligned} \]
Las matrices tienen diferentes clasificaciones, según sus propiedades:
Matriz cuadrada: Una matriz es cuadrada si tiene el mismo número de filas y columnas (\(n{\times}n\)).
Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada donde todos los elementos fuera de la diagonal principal son cero.
\[ A = \begin{bmatrix} a_{11} & 0 & 0 \\ 0 & a_{22} & 0 \\ 0 & 0 & a_{33} \end{bmatrix} \]
\[ I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]
\[ 0 = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \]
Ejemplo resuelto 1: Verifiquemos si la siguiente matriz es una matriz diagonal:
\[ A = \begin{bmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]
Solución: Como todos los elementos fuera de la diagonal principal son cero, esta es una matriz diagonal.
Ejemplo resuelto 2: Verifiquemos si la matriz \(B = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\) es una matriz identidad.
Solución: Como todos los elementos en la diagonal principal son 1 y los demás son 0, esta es una matriz identidad.
\[ A = \begin{bmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]
El método de Gauss-Jordan es una técnica para resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante la reducción de la matriz aumentada a su forma escalonada reducida. La idea es convertir la matriz de coeficientes en la matriz identidad, y encontrar la solución del sistema en la parte derecha de la matriz aumentada.
Transformar la matriz aumentada en una matriz escalonada.
Realizar más operaciones para obtener una matriz identidad en la parte izquierda.
La solución del sistema será el vector en la parte derecha.
Ejemplo Resuelto: Resolver el sistema:
\[ \begin{aligned} x + 2y + 3z &= 1 \\ 2x + 3y + z &= 2 \\ 3x + y + 2z &= 3 \end{aligned} \]
Paso 1: Escribir la matriz aumentada del sistema:
\[ \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 2 & 3 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & 2 & 3 \end{array} \right) \]
Paso 2: Realizar operaciones por filas (no se incluyen todos los pasos intermedios, pero el proceso es iterativo hasta obtener una matriz identidad en la parte izquierda).
Resultado: La solución del sistema es \(x=1\), \(y=2\), \(z=-1\).
\[ \begin{aligned} 2x + y &= 3 \\ 3x + 4y &= 7 \end{aligned} \]
El método de Gauss-Jordan transforma una matriz en una forma escalonada para resolver sistemas de ecuaciones.
# Sistema de ecuaciones: Ax = b
A <- matrix(c(2, 1, -1, -3, -1, 2, -2, 1, 2), nrow = 3, byrow = TRUE)
b <- c(8, -11, -3)
# Resolver sistema usando solve()
solve(A, b) # Resuelve el sistema y muestra el resultado## [1] 2 3 -1Resuelve el sistema:
\[ \begin{aligned} 2x+y-z&=8\\ −3x−y+2z&=−11\\ −2x+y+2z&=−3 \end{aligned} \]
## [1] 2 3 -1Resuelve un sistema de 2x2 usando el método de Gauss-Jordan manualmente y verifica el resultado en R.
Crea un sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas y resuélvelo usando solve() en R.
La inversa de una matriz cuadrada \(A\) es una matriz \(A^{-1}\) tal que:
\[ A A^{-1} = I \]
El método de Gauss-Jordan puede usarse para encontrar la inversa de una matriz realizando operaciones por filas hasta obtener la matriz identidad en la parte izquierda.
Ejemplo Resuelto: Encontrar la inversa de la matriz:
\[ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{bmatrix} \]
Paso 1: Escribir la matriz aumentada con $ A $ y la identidad $ I $ del mismo tamaño:
\[ \left( \begin{array}{cc|cc} 2 & 1 & 1 & 0 \\ 5 & 3 & 0 & 1 \end{array} \right) \]
Paso 2: Realizar operaciones por filas hasta obtener la matriz identidad a la izquierda. Al final, la matriz a la derecha será la inversa de $ A $.
Resultado: La inversa es:
\[ A^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{bmatrix} \]
\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \]
El determinante de una matriz cuadrada es un valor escalar que proporciona información importante sobre la matriz, como si es invertible o no.
Ejemplo: Calcular el determinante de:
\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} \]
La Regla de Cramer permite resolver sistemas de ecuaciones lineales utilizando determinantes.
Ejemplo: Resolver el sistema:
\[ \begin{aligned} x + 2y &= 5 \\ 3x - y &= 4 \end{aligned} \]
Utilizando determinantes, encontramos las soluciones para \(x\) y \(y\).
\[ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{bmatrix} \]
\[ \begin{aligned} 2x + y &= 4 \\ 3x - 2y &= 1 \end{aligned} \]
Ejemplo Resuelto: Calcular el determinante de:
\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} \]
Paso 1: Aplicamos la regla de Sarrus para una matriz $ 3 $:
\[ \det(A) = (1 \cdot 5 \cdot 9 + 2 \cdot 6 \cdot 7 + 3 \cdot 4 \cdot 8) - (3 \cdot 5 \cdot 7 + 1 \cdot 6 \cdot 8 + 2 \cdot 4 \cdot 9) \]
\[ = (45 + 84 + 96) - (105 + 48 + 72) = 225 - 225 = 0 \]
Resultado: El determinante es 0, lo que indica que la matriz no es invertible.
El determinante de una matriz cuadrada es un valor escalar que proporciona información importante sobre la matriz, como si es invertible o no. Si el determinante de una matriz es cero, la matriz no tiene inversa y no es posible resolver ciertos tipos de problemas, como sistemas de ecuaciones.
Para una matriz \(A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\), el determinante es:
\[ \det(A) = ad - bc \]
Para una matriz \(3{\times}3\):
\[ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} \]
El determinante se calcula expandiendo a lo largo de la primera fila (o cualquier otra fila o columna):
\[ \det(A) = a_{11} \det\begin{bmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} - a_{12} \det\begin{bmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{bmatrix} + a_{13} \det\begin{bmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{bmatrix} \]
Cada uno de estos determinantes es de una matriz \(2{\times}2\), que ya sabemos cómo calcular.
Ejemplo Resuelto: Calcular el determinante de la matriz:
\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} \]
Paso 1: Usar la primera fila para expandir el determinante. Aplicamos la fórmula mencionada anteriormente:
\[ \det(A) = 1 \cdot \det\begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{bmatrix} - 2 \cdot \det\begin{bmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{bmatrix} + 3 \cdot \det\begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} \]
Paso 2: Calcular los determinantes de las submatrices \(2 \times 2\):
\[ \det\begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{bmatrix} = (5 \cdot 9) - (6 \cdot 8) = 45 - 48 = -3 \]
\[ \det\begin{bmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{bmatrix} = (4 \cdot 9) - (6 \cdot 7) = 36 - 42 = -6 \]
\[ \det\begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} = (4 \cdot 8) - (5 \cdot 7) = 32 - 35 = -3 \]
Paso 3: Sustituir estos valores en la fórmula del determinante:
\[ \det(A) = 1 \cdot (-3) - 2 \cdot (-6) + 3 \cdot (-3) \]
Paso 4: Resolver las multiplicaciones y sumas:
\[ \det(A) = -3 + 12 - 9 = 0 \]
Resultado: El determinante de la matriz $ A $ es $ 0 $, lo que significa que la matriz no es invertible.
La Regla de Cramer es un método para resolver sistemas de ecuaciones lineales utilizando determinantes. Para un sistema de ecuaciones \(AX = B\), donde \(A\) es la matriz de coeficientes y \(B\) es el vector de términos independientes, podemos encontrar las soluciones utilizando determinantes de matrices modificadas.
Si \(A\) es una matriz \(n{\times}n\) con determinante distinto de cero, el sistema tiene una única solución.
Calcular el determinante de la matriz \(A\), \(\det(A)\).
Reemplazar cada columna de la matriz $ A $ por el vector de términos independientes $ B $ y calcular los determinantes correspondientes $ (A_i) $.
Las soluciones para \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) son:
\[ x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)} \]
Ejemplo Resuelto: Resolver el siguiente sistema utilizando la Regla de Cramer:
\[ \begin{aligned} x + 2y &= 5 \\ 3x - y &= 4 \end{aligned} \]
Paso 1: Escribir la matriz de coeficientes \(A\) y el vector \(B\):
\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -1 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 5 \\ 4 \end{bmatrix} \]
Paso 2: Calcular el determinante de \(A\):
\[ \det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} = (1 \cdot -1) - (2 \cdot 3) = -1 - 6 = -7 \]
Paso 3: Calcular los determinantes \(\det(A_x)\) y \(\det(A_y)\), donde reemplazamos las columnas correspondientes por el vector \(B\).
\[ A_x = \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 4 & -1 \end{bmatrix}, \quad \det(A_x) = (5 \cdot -1) - (2 \cdot 4) = -5 - 8 = -13 \]
\[ A_y = \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \quad \det(A_y) = (1 \cdot 4) - (5 \cdot 3) = 4 - 15 = -11 \]
Paso 4: Aplicar la Regla de Cramer para encontrar \(x\) y \(y\):
\[ x = \frac{\det(A_x)}{\det(A)} = \frac{-13}{-7} = \frac{13}{7} \]
\[ y = \frac{\det(A_y)}{\det(A)} = \frac{-11}{-7} = \frac{11}{7} \]
Resultado: La solución del sistema es:
\[ x = \frac{13}{7}, \quad y = \frac{11}{7} \]
\[ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{bmatrix} \]
\[ \begin{aligned} 2x + y &= 4 \\ 3x - 2y &= 1 \end{aligned} \]
El determinante de una matriz cuadrada es un valor que proporciona información sobre sus propiedades, como si es invertible.
## [1] -1La regla de Cramer permite resolver sistemas de ecuaciones utilizando determinantes.
# Sistema de ecuaciones 2x2 usando la regla de Cramer
A <- matrix(c(2, -1, 1, 3), nrow = 2)
b <- c(8, 5)
det(A)## [1] 7## [1] 2.714286 2.571429Resuelve un sistema de 3x3 usando la regla de Cramer.
Verifica que el determinante de una matriz triangular es el producto de sus elementos en la diagonal.
La inversa de una matriz \(A\) es una matriz \(A^{-1}\) tal que \(A{\times}A^{-1}=I\) donde \(I\) es la matriz identidad.
# Cálculo de la inversa de una matriz
A <- matrix(c(4, 7, 2, 6), nrow = 2)
inv_A <- solve(A) # Calcula la inversa
inv_A## [,1] [,2]
## [1,] 0.6 -0.2
## [2,] -0.7 0.4Verifica que la inversa es correcta multiplicándola por la matriz original.
## [,1] [,2]
## [1,] 1 -1.110223e-16
## [2,] 0 1.000000e+00Calcula la inversa de una matriz 3x3 y verifica el resultado multiplicando la matriz por su inversa.
Calcula la inversa de la matriz de un sistema de ecuaciones y usa la inversa para encontrar la solución.
Un sistema singular no tiene solución única o tiene infinitas soluciones.
# Ejemplo de sistema singular
A <- matrix(c(2, 4, 1, 2), nrow = 2)
b <- c(1, 2)
#qr.solve(A, b) # R indicará que el sistema no tiene solución únicaIntenta resolver un sistema 3x3 singular y observa el resultado.