Enunciados de los ejercicios

  1. Sean \(A,B\) y \(C\) subconjutos. Muestre la veracidad o falsedad de cada uno de los siguientes enunciados. Si no se cumple la igualdad o una doble implicación, muestre si se cumple la relación en algún sentido, ya sea un contenido o una implicación de una sola dirección.
    1. \(A\subset B \wedge A\subset C\Leftrightarrow A\subset(B\cup C)\)
    2. \(A-(A-B)=B.\)
    3. \((A\cap B)\cup(A-B)=B\)
    4. \(A\triangle B=C\Rightarrow A\triangle C=B\wedge B\triangle C=A.\)
  2. Sea \(A,B\subset \mathbb{R}\), donde \(A=\{x|x^2-7x\leq-12\}\) y \(B=\{x|x^2-x\leq 6\}\). Determine \(A\cup B\) y \(A\cap B\).
  3. Sean \(A,B\subset\mathcal{U}\), \(|A\cap B|=3,|A\cup B|=8\) y \(|\mathcal{U}|=12\).
    1. ¿Cuántos subconjuntos \(C\subset \mathcal{U}\) satisfacen que \((A\cap B)\subset C\subset (A\cup B)\)?
    2. ¿Cuántos subconjuntos \(C\subset \mathcal{U}\) satisfacen que \((A\cup B)^c\subset C\subset A^c\cup B^c)\)?
  4. Muestre por inducción que \(\displaystyle\sum_{j=1}^{n}jH_j=\dfrac{n(n+1)H_{n+1}}{2}-\dfrac{n(n+1)}{4}\) para \(n\) positivo.
  5. Pruebe usando inducción que \(x^0+x^1+\cdots+x^n=\dfrac{x^{n+1}-1}{x-1}\) para \(n\) positivo y \(x\neq 1\).
  6. Pruebe por inducción que para todo \(n\) positivo se cumple que: \[1^2+2^2+\cdots+n^2\leq \dfrac{n^3}{3}+\dfrac{n^2}{2}+\dfrac{n}{6}.\]

Tarea 3

  1. Encuentre tres enteros positivos \(a,b,c\) tales que \(31|5a+7b+11c\). Si \(a,b,c\) son enteros positivos tales que \(31|5a+7b+11c\), demuestre que \(31|21a+17b+9c\).

  2. Muestre que si \(a,b\) son impares, entonces \(2|a^2+b^2\) pero 4 no divide a \(a^2+b^2\).

  3. Pruebe la regla de divisibilidad por 11 de la misma forma en que se probó en clase la regla de divisibilidad de 3.

  4. Una ejecutiva compra varios juguetes por 249 dólares. Para cada niña compra una muñeca de 3.3 dólares y para cada niño compra un soldadito por 2.90 dólares. ¿Cuántos juguetes de cada tipo compró?

  5. Encuentre las soluciones enteras del sistema: \(w+x+y=50\), \(w+13x+31y=116.\)

  6. Para cualquier entero positivo \(n\) cálcule \(mcd(n,n+1)\) y \(mcm(n,n+1)\).

  7. Encuentre el entero positivo \(n\) más pequeño para el cual el producto \(1260n\) es un cubo perfecto.

  8. Doscientas monedas numeradas del 1 al 200 se colocan en hileras a lo largo de la barra de un cafetería. Se asignan números (del 1 al 200) a doscientos estudiantes y se les pide dar la vuelta a algunas monedas. El estudiantes con el número 1 voltea todas las monedas. El estudiante con el número dos da la vuelta a las monedas en forma alternada, empezando por la segunda. En generar el estudiante con el número \(n\), voltea una moneda cada \(n\), comenzando desde la \(n\)-ésima moneda.

    1. ¿Cuántas veces se volterará la moneda 200?

    2. ¿Habrá otra moneda que se voltee tantas veces como la 200?

    3. ¿Habrá alguna moneda que sea volteada más veces que la moneda 200?

  9. Muestre que para los conjuntos \(A,B,C\subset \mathcal{U}\), se tiene que \(A\times (B-C)=(A\times B)-(A\times C)\).

  10. Si \(A=\{1,2,3,4,5\}\) y existen 6720 funciones inyectivas de \(A\) a \(B\), ¿Cuánto vale \(|B|\)?

  11. Use la estrategía mostrada en los ejercicios del capítulo de funciones para deducir la fórmula para \(\sum_{k=1}^{n} k^3\).

  12. Un investigador del Instituto de Química tiene 5 ayudantes de laboratorio de un proyecto de investigación en el que deben sintetizarse nueve compuestos. ¿De cuántas formas puede asignar el investigador estas síntesis a los cinco ayudantes de modo que cada uno de ellos trabaje al menos con una síntesis?