Correcciones estadística aplicada a las finanzas

Autor/a

Profesor Alberto Bernat González

Fecha de publicación

06/11/2024

Email: abernat@uemc.es

LinkedIn: https://www.linkedin.com/in/albertobernat/

Examen de Estadística Financiera (Primera parte)

  1. Disponemos de los datos de dos series temporales cuyos valores son los siguientes: desviación de \(x = 14.8989\), desviación de \(y = 13.2787\), covarianza \((x, y) = 32.8664\), y coeficiente de determinación de la regresión lineal igual a \(0.1661\). ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?
  1. El coeficiente de determinación de la regresión lineal tiene un valor igual a 0,1661.
  2. La pendiente de la recta de regresión lineal simple es igual a 0,1481.
  3. La pendiente de la recta de regresión lineal simple es igual a -0,6225.
  4. Ninguna es correcta.
Respuesta

La respuesta correcta es la b.

Para determinar la pendiente correcta, debe aplicarse la fórmula de la pendiente de regresión.

Aplicamos la fórmula:

\[b=\frac{\sigma_{x,y}}{\sigma_x^2}\]

Y, calculamos

\[b=\frac{32.8684}{14.8989^2}=0.14807\approx 0.1481\]

Para calcular el coeficiente de determinación,

En este caso aplicando la fórmula del coeficiente de determinación de la regresión lineal,

\[r^2 =\frac{\sigma_{x,y}^2}{\sigma_x^2\cdot \sigma_y^2}\]

y calculando con los datos del problema,

\[r^2 =\frac{32.8684^{2\:}}{14.8989^2\cdot 13.2787^{2\:}}=0.02760\dots \:\] El coeficiente de determinación tiene un valor igual a 0.02760 (y no de 0,1661).

  1. Hemos observado que los precios de dos activos varían en sentido inverso. Entonces:
  1. La covarianza tiene signo positivo.
  2. Las desviaciones típicas de ambos activos son negativas.
  3. La covarianza tiene signo negativo.
  4. Las desviaciones típicas de los dos activos tendrán signos distintos.
Respuesta

La respuesta correcta es la c.

Una covarianza negativa indica que los activos tienden a moverse en sentido contrario.

  1. Sean dos activos financieros con una covarianza de \(0.005\), una desviación típica del primero del \(20\%\) y del segundo del \(10\%\). ¿Cuál es el valor del coeficiente de correlación entre ambos?
  1. \(0.005\)
  2. \(3.45\)
  3. \(0.25\)
  4. Ninguna es correcta.
Respuesta

La respuesta correcta es la c.

El coeficiente de correlación se calcula dividiendo la covarianza entre el producto de las desviaciones típicas:

Aplicamos la fórmula:

\[\rho_{x,y}=\frac{\sigma_{x,y}}{\sigma_x\cdot\sigma_y}\]

y, calculamos

\[\rho_{x,y} = \frac{0.005}{0.20 \times 0.10} = 0.25\]

  1. En la ecuación de la regresión lineal \(Y = a + bX\):
  1. Las variables \(X\) e \(Y\) son independientes.
  2. \(Y\) es la variable dependiente y \(X\) es la variable independiente.
  3. \(X\) es la variable dependiente e \(Y\) es la variable independiente.
  4. Ninguna es correcta.
Respuesta

La respuesta correcta es la b.

En un modelo de regresión, \(Y\) representa la variable dependiente y \(X\) la variable independiente.

  1. ¿Qué significa el coeficiente de determinación?
  1. Nos da la medida de asociación lineal entre las variables.
  2. Nos da una medida de la bondad de ajuste del sistema. En concreto cómo varía la variable exógena en función de la variable endógena.
  3. Nos dice qué cantidad del total de la variación de la variable exógena viene explicada por el movimiento de la variable endógena.
  4. Nos dice qué porcentaje del total de la variación de la variable endógena ha sido explicada por la variable exógena.
Respuesta

La respuesta correcta es la d.

El coeficiente de determinación nos informa de la bondad de ajuste del modelo de regresión lineal. Se trata de un valor entre 0 y 1 y representa el porcentaje de explicación de la variable exógena sobre el total de la variación de la variable endógena. Cuanto más se acerque a 1 menor influencia tienen los errores sobre el movimiento de la endógena.

  1. Suponga que un fondo de inversión ha generado una rentabilidad anual del \(15\%\), con una varianza de \(408\). Por otro lado, el índice de mercado ha tenido una rentabilidad del \(4\%\) y una varianza de \(5.6568\). La covarianza entre ambos activos es \(48\). Marque la respuesta correcta.
  1. La relación lineal entre el fondo y el índice de mercado es perfecta y positiva.
  2. La relación lineal entre el fondo y el índice de mercado es perfecta y negativa.
  3. La relación lineal entre el fondo y el índice de mercado muestra una clara independencia.
  4. No contamos con datos suficientes.
Respuesta

La respuesta correcta es la a.

En este caso aplicando la fórmula del coeficiente de CORRELACIÓN entre el fondo (x) y el índice de mercado (y),

\[\rho_{x,y} =\frac{\sigma_{x,y}}{\sigma_x\cdot \sigma_y}\] y, calculando

\[\rho_{x,y} =\frac{48}{\sqrt{5.6568}\cdot \sqrt{408}}\approx 0.99913\dots \]

Obtenemos un coeficiente de CORRELACIÓN positivo y muy próximo a 1; esto sugiere una relación lineal perfecta y positiva entre el fondo y el índice.

  1. ¿Qué medida nos proporciona una idea del riesgo de un activo?
  1. La covarianza
  2. La media aritmética ponderada
  3. La volatilidad
  4. La moda
Respuesta

La respuesta correcta es la c.

La desviación típica, también llamada desviación estándar (en inglés, standard deviation), es una medida estadística que refleja la variabilidad o dispersión de un conjunto de datos respecto a su media. En el ámbito de las finanzas, esta medida se utiliza para evaluar el riesgo financiero de un activo o portafolio, y se le conoce comúnmente como volatilidad. Así, podemos considerar que los términos desviación típica, desviación estándar y volatilidad son sinónimos cuando nos referimos a la medición de la incertidumbre o riesgo en el rendimiento financiero.

  1. La rentabilidad de la cartera de un inversor ha sido la siguiente:
Activo Euros Rentabilidad
X 50.000 2%
Y 30.000 5%

¿Cuál fue la rentabilidad de la cartera?

  1. 4.576%
  2. 3.875%
  3. 4.125%
  4. 3.125%
Respuesta

La respuesta correcta es la b.

La rentabilidad de la cartera es la media ponderada de las rentabilidades:

\[E_p=\frac{50000}{80000}\cdot 0.02+\frac{30000}{80000}\cdot 0.05=0.03125\left(3.125\%\right)\]

o, de otra forma; podemos calcular primero los porcentajes sobre el total de la inversión que se destinan a cada uno de los dos activos de la cartera:

  • Peso del activo uno

\[w_1=\frac{50000}{80000}=0.625\left(62.5\%\right)\]

  • Peso del activo dos

\[w_2=\frac{30000}{80000}=0.375\left(37.5\%\right)\]

y calculamos

\[E_p=0.625\cdot 0.02+0.375\cdot 0.05=0.03125\left(3.125\%\right)\]

  1. Calcular el coeficiente de determinación (\(R^2\)) con los siguientes datos:
X Y
11.42 7.84
11.76 7.95
11.75 7.88
11.90 7.94
  1. \(0.8436\)
  2. \(0.5051\)
  3. \(0.7117\)
  4. Ninguna respuesta es correcta.
Respuesta

La respuesta correcta es la c.

Para resolver este problema en la Casio FC-200V:

  1. Entra en modo de Regresión Lineal y registra cada par de datos \((X, Y)\).

  • Función “STAT”

  • Type

    A+BX : EXE

  1. Calcula el coeficiente de correlación \(R\) con los datos ingresados.
  • SHIFT + Función “STAT” = S-MENU

Obtendrás aproximadamente que \(R\) = 0.8436.

  1. Para hallar \(R^2\), eleva \(R\) al cuadrado (presionando x^2). El valor de \(R^2\) es 0.7117, lo que corresponde a la opción c.

Para calcular el R cuadrado (\(R^2\)) sin calculadora, podemos organizarnos en una tabla que contenga los datos necesarios para realizar los cálculos manualmente.

  1. ¿Cuál de las siguientes opciones corresponde a la definición de desviación típica?
  1. Raíz cuadrada del sumatorio de las distancias de cada dato respecto a la mediana, elevadas al cuadrado y divididas por el número de datos.
  2. Raíz cuadrada del sumatorio de las diferencias de cada dato respecto a la media, elevadas al cuadrado y divididas por el número de datos.
  3. Raíz cuadrada de la covarianza.
  4. Ninguna es correcta.
Respuesta

La respuesta correcta es la b.

La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza, que se calcula como el promedio de las diferencias al cuadrado respecto a la media.

Examen de Estadística Financiera (segunda parte)

  1. El coeficiente de determinación o \(R^2\):
  1. Toma valores entre -1 y 1.
  2. Toma valores entre -1 y 0.
  3. Nos mide la bondad de ajuste de la recta de regresión.
  4. Nos ofrece la pendiente de la recta de regresión.
Respuesta

La respuesta correcta es la c.

El coeficiente de determinación \(R^2\) mide la bondad de ajuste de la recta de regresión y toma valores entre 0 y 1.

  1. Las rentabilidades trimestrales de dos activos han sido las siguientes:
Trimestre Activo X Activo Y
1° Trimestre 4% 3%
2° Trimestre 8% 3%
3° Trimestre 10% 15%
4° Trimestre -10% -1%

La covarianza es:

  1. +65,4
  2. +34
  3. -72,3
  4. -125,43
Respuesta

La respuesta correcta es la b.

En primer lugar calcularemos el coeficiente de correlación con la calculadora CASIO FC200V, utilizamos para ello la función STAT introducimos los datos para el Type A+Bx,

Activo X Activo Y
1 4 3
2 8 3
3 10 15
4 -10 -1

utilizando del submenú S-MENU, de la regresión lineal (7:Reg) obtengo el valor de r (coeficiente de correlación)

\[r=\sigma_{x,y}=0.7255\]

En segundo lugar, calculo de la desviación poblacional de la variable x

\[\sigma_{x}=7.8102\]

En tercer lugar, calculo de la desviación poblacional de la variable y

\[\sigma_{y}=6.0000\] En cuarto y último lugar, partimos de la fórmula del coeficiente de correlación

\[\rho_{x,y} =\frac{\sigma_{x,y}}{\sigma_x\cdot \sigma_y}\]

de donde despejamos el valor de la covarianza que se encuentra en el numerador

\[\sigma_{x,y}=\rho_{x,y}\cdot{\sigma_x\cdot \sigma_y}\]

y, calculando

\[\sigma_{x,y}=0.7255\cdot7.8102\cdot 6.0000\]

obtendremos que el valor de la covarianza es de aproximadamente un 33.4.

\[\sigma_{x,y}=33.9978\approx33.4\]

  1. Un activo que ofrece poco riesgo tendrá:
  1. Una desviación típica muy grande.
  2. Una varianza negativa.
  3. Una desviación típica muy pequeña.
  4. Una covarianza con signo positivo.
Respuesta

La respuesta correcta es la c.

Un activo con poco riesgo tiene una desviación típica baja, lo cual indica menor variabilidad; o, lo que es lo mismo, una menor volatilidad (riesgo financiero).

  1. Si estimamos el modelo de regresión lineal \(Y = a + bX\), y obtenemos un coeficiente de determinación \(R^2 = 0.5\), ¿qué significa?
  1. La variable independiente apenas explica el comportamiento de la variable dependiente.
  2. La variable dependiente explica el 50% del movimiento de la variable independiente.
  3. El parámetro \(b\) es la raíz cuadrada de 0,5.
  4. La variación de los resultados del modelo de regresión lineal explica el 50% del movimiento en media de la variable dependiente.
Respuesta

La respuesta correcta es la d.

Un \(R^2\) de 0,5 indica que el modelo explica el 50% de la variabilidad de la variable dependiente en relación con la independiente.

  1. Suponga que un fondo de inversión ha generado una rentabilidad anual del \(15\%\), con una varianza de \(408\). Por otro lado, el índice de mercado ha generado una rentabilidad del \(4\%\) con una varianza de \(5,6568\). La covarianza entre ambos activos es \(48\). Marque la respuesta correcta.
  1. La relación lineal entre el fondo y el índice de mercado es perfecta y positiva.
  2. La relación lineal entre el fondo y el índice de mercado es perfecta y negativa.
  3. La relación lineal entre el fondo y el índice de mercado muestra una clara independencia.
  4. No contamos con datos suficientes.
Respuesta

La respuesta correcta es la a.

La respuesta correcta es la a.

En este caso aplicando la fórmula del coeficiente de CORRELACIÓN entre el fondo (x) y el índice de mercado (y),

\[\rho_{x,y} =\frac{\sigma_{x,y}}{\sigma_x\cdot \sigma_y}\] y, calculando

\[\rho_{x,y} =\frac{48}{\sqrt{5.6568}\cdot \sqrt{408}}\approx 0.99913\dots \]

Obtenemos un coeficiente de CORRELACIÓN positivo y muy próximo a 1; esto sugiere una relación lineal perfecta y positiva entre el fondo y el índice.

  1. Si tenemos una covarianza negativa, señale la respuesta correcta:
  1. La covarianza y una de las desviaciones debe ser negativa.
  2. Una de las desviaciones tiene que ser negativa.
  3. La covarianza nunca es negativa.
  4. Las variables se relacionan en sentido opuesto.
Respuesta

La respuesta correcta es la d.

Si tenemos una covarianza negativa entre dos variables, esto indica que, en promedio, cuando una variable aumenta, la otra tiende a disminuir, y viceversa. Para confirmar esta relación, analizamos la fórmula del coeficiente de correlación (\(r\)), que se define como:

\[ r = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{\sigma_X \cdot \sigma_Y} \]

donde:

  • \(\text{Cov}(X, Y)\) representa la covarianza entre las variables \(X\) e \(Y\),

  • \(\sigma_X\) y \(\sigma_Y\) son las desviaciones estándar de \(X\) e \(Y\).

Nota

En estadística, el coeficiente de correlación entre dos variables \(X\) e \(Y\) puede representarse TAMBIÉN como \(\rho_{x,y}\) mediante la siguiente fórmula:

\[ \rho_{x,y} = \frac{\sigma_{x,y}}{\sigma_x \cdot \sigma_y} \]

donde:

  • \(\rho_{x,y}\) es el coeficiente de correlación entre dos variables \(X\) e \(Y\)

  • \(\sigma_{x,y}\) es la covarianza entre las variables \(X\) e \(Y\),

  • \(\sigma_x\) y \(\sigma_y\) son las desviaciones estándar (o volatilidades de las variables \(X\) e \(Y\), respectivamente.

La covarianza puede ser positiva o negativa, reflejando si las variables tienden a moverse en la misma dirección o en direcciones opuestas. Sin embargo, las desviaciones estándar \(\sigma_X\) y \(\sigma_Y\) siempre son positivas, ya que son el resultado de una raíz cuadrada y, por tanto, se encuentran en el rango \((0, +\infty)\).

Importante

Así, el signo de \(r\) dependerá únicamente de la covarianza. Si la covarianza es negativa, \(r\) también será negativo, indicando una relación en sentido opuesto entre las variables.

  1. Sea la recta de regresión \(Y=1.3 + 1.9X\). ¿Qué valor de la variable dependiente, en media, esperaríamos si la variable independiente vale \(2.4\)?
  1. 5,86
  2. 6,24
  3. 2,48
  4. Ninguna es correcta.
Respuesta

La respuesta correcta es la b.

Sustituyendo en la ecuación: \(Y = 1.3 + 1.9 \times 2.4 = 5.86\).

  1. Si las cotizaciones del índice IBEX y de TEF, durante una determinada semana se recogen en la siguiente tabla:
IBEX-35 TEF
Lunes 10.280,00 17,56
Martes 10.583,40 17,93
Miércoles 10.556,50 17,91
Jueves 10.636,90 18,02
Viernes 10.829,20 18,37

¿Qué tipo de dependencia existe entre ambos valores?

  1. Dependencia directa
  2. Dependencia inversa
  3. Independencia
  4. Con estos datos no se puede encontrar una relación
Respuesta

La respuesta correcta es la a.

Para resolver este problema en la Casio FC-200V:

  1. Entra en modo de Regresión Lineal y registra cada par de datos \((X, Y)\).

  • Función “STAT”

  • Type

    A+BX : EXE

La tabla debe de quedarte así

X Y
1 10.280,00 17,56
2 10.583,40 17,93
3 10.556,50 17,91
4 10.636,90 18,02
5 10.829,20 18,37
  1. Calcula el coeficiente de correlación \(R\) con los datos ingresados.

  • SHIFT + Función “STAT” = S-MENU

  • 7: Reg

  • 3: r

Obtendrás aproximadamente que el coeficiente de correlación \(R\) es del 0.9917; luego esto indica que prácticamente la correlación entre el Ibex y la acción de telefónica es directa, ya que es positiva; y casi perfecta, ya que su valor se encuentra muy próximo a la unidad (+1).

  1. Un inversor ha obtenido las siguientes rentabilidades en su cartera de activos:
Activo Euros Rentabilidad
Activo 1 80.000 3,5%
Activo 2 20.000 1,0%
Activo 3 50.000 2,5%
  1. 3,01%
  2. 2,83%
  3. 2,71%
  4. 2,15%
Respuesta

La respuesta correcta es la b. Cálculo de la Ponderación de los Activos y Rentabilidad Media Ponderada

Primero, calculamos la ponderación del activo 1 dentro de la cartera:

\[ w_1 = \frac{80.000}{150.000} = 0.53333 \quad (53.33\%) \]

Luego, calculamos la ponderación del activo 2 dentro de la cartera:

\[ w_2 = \frac{20.000}{150.000} = 0.13333 \quad (13.33\%) \]

A continuación, calculamos la ponderación del activo 3 dentro de la cartera:

\[ w_3 = \frac{50.000}{150.000} = 0.33333 \quad (33.33\%) \]

Finalmente, aplicamos la fórmula de la rentabilidad media ponderada de la cartera:

\[ R_p = w_1 \cdot r_1 + w_2 \cdot r_2 + \dots + w_n \cdot r_n \]

Sustituyendo los valores:

\[ R_p = 0.5333 \cdot 0.035 + 0.1333 \cdot 0.01 + 0.3333 \cdot 0.025 = 0.028331 \quad (2.83\%) \]

  1. En la ecuación de regresión lineal \(Y = 1.6 - 2.4X\), un \(R^2 = 0.8\) significa:
  1. La variable independiente es el 80% de la variable dependiente.
  2. \(Y\) es el 80% de \(X\) en determinados casos.
  3. El 80% de la variación de la variable \(X\) está determinada linealmente por sus variaciones de la variable \(Y\).
  4. El 80% de la variación de la variable \(Y\) está determinada por la variación de los resultados que puede explicarse por el modelo de regresión lineal.
Respuesta

La respuesta correcta es la d.

El coeficiente de determinación \(R^2\) mide la proporción de la variabilidad total de la variable dependiente (Y) que se puede explicar mediante la relación lineal con la variable independiente (X).

Tip

Valor de \(R^2=0.8\): Esto indica que el 80% de la variabilidad de Y puede ser explicada por el modelo de regresión lineal, es decir, por la relación entre X y Y. El 20% restante de la variabilidad de Y no está explicada por el modelo, lo que podría deberse a otros factores no contemplados en la ecuación o a un componente aleatorio (error).

Desglose de las opciones:

a. La variable independiente es el 80% de la variable dependiente.

  • Incorrecta. El coeficiente \(R^2\) no mide cuánto de la variable dependiente (Y) es explicado por la variable independiente (X). El coeficiente \(R^2\) no dice nada sobre la proporción de Y que es “constituido” por X, sino sobre la variabilidad de Y que puede ser explicada por X.

b. Y es el 80% de X en determinados casos.

  • Incorrecta. Esto también es erróneo porque el coeficiente \(R^2\) no establece una relación proporcional directa entre Y y X. El \(R^2\) no dice que Y sea el 80% de X en ningún caso específico.

c. El 80% de la variación de la variable X está determinada linealmente por sus variaciones de la variable Y.

  • Incorrecta. Esto es incorrecto porque el \(R^2\) no mide cómo la variación de X depende de Y, sino al contrario. El \(R^2\) mide la variación de Y explicada por las variaciones en X, no la variabilidad de X explicada por Y.

d. El 80% de la variación de la variable Y está determinada por la variación de los resultados que puede explicarse por el modelo de regresión lineal.

  • Correcta. Esta opción es la correcta porque refleja la interpretación precisa de \(R^2\). El 80% de la variabilidad en Y se explica por las variaciones en X, según el modelo de regresión lineal. El 20% restante de la variabilidad de Y no está explicado por X, lo que podría ser atribuible a otros factores o ruido en los datos.