Soal UTS Ganjil TA 23/24

Matriks dan Ruang Vektor

Soal 1 (30%) (Matriks/SPL)

Sebuah perusahaan tambang memiliki tiga lokasi penambangan bijih (Lokasi A, Lokasi B, dan Lokasi C). Setiap lokasi mengekstraksi tiga jenis bijih yang berbeda: emas, perak, dan tembaga. Setiap jenis bijih harus memenuhi permintaan harian tertentu, dan masing-masing lokasi hanya dapat mengekstraksi dalam jumlah terbatas per hari. Berikut adalah informasi lebih lanjut:

  1. Kapasitas Produksi Harian di Setiap Lokasi (dalam ton):

    • Lokasi A: dapat mengekstraksi 60 ton emas, 40 ton perak, dan 30 ton tembaga per hari.
    • Lokasi B: dapat mengekstraksi 50 ton emas, 60 ton perak, dan 20 ton tembaga per hari.
    • Lokasi C: dapat mengekstraksi 30 ton emas, 30 ton perak, dan 40 ton tembaga per hari.

  2. Permintaan Harian (dalam ton):

    • Emas: 100 ton
    • Perak: 90 ton
    • Tembaga: 70 ton

Berapa jumlah bijih yang harus diambil dari setiap lokasi agar permintaan harian terpenuhi tanpa melebihi kapasitas penambangan harian di setiap lokasi?

Pertanyaan:

  1. Susun sistem persamaan untuk menentukan jumlah bijih yang diambil dari setiap lokasi sehingga permintaan terpenuhi.
  2. Selesaikan sistem persamaan ini dengang menggunakan Metode Invers Matriks untuk menemukan solusi yang memenuhi permintaan harian.

Soal 2 (30%) (Transformasi)

Sebuah perusahaan tambang sedang melakukan pemetaan 3D dari tiga titik tambang potensial untuk mengevaluasi formasi geologi di bawah permukaan tanah. Titik-titik ini ditentukan dalam sistem koordinat 3D sebagai berikut:

  • Titik P: (10, 20, 30)
  • Titik Q: (15, 25, 35)
  • Titik R: (20, 30, 40)

Agar pemetaan ini sesuai dengan sistem koordinat pabrik pengolahan, perusahaan perlu melakukan transformasi pada titik-titik tersebut dengan menerapkan rotasi dan skala.

  1. Matriks Transformasi Rotasi 3D: Untuk memutar titik-titik ini di sekitar sumbu \(z\) sebesar 45 derajat, perusahaan menggunakan matriks rotasi sebagai berikut:

    \[ R_z = \begin{bmatrix} \cos 45^\circ & -\sin 45^\circ & 0 \\ \sin 45^\circ & \cos 45^\circ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

  2. Matriks Transformasi Skala: Setelah rotasi, titik-titik juga akan di-skala dengan faktor 2 pada sumbu \(x\), faktor 1 pada sumbu \(y\), dan faktor 0.5 pada sumbu \(z\). Matriks skala ini dinyatakan sebagai:

    \[ S = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0.5 \end{bmatrix} \]

  3. Transformasi Akhir: Transformasi akhir yang diterapkan pada setiap titik adalah hasil perkalian matriks rotasi dan skala:

    \[ T = S \cdot R_z \]

Pertanyaan:

  1. Tentukan koordinat baru dari titik-titik \(P\), \(Q\), dan \(R\) setelah transformasi \(T\) diterapkan.
  2. Gambarkan perubahan posisi titik-titik ini dalam ruang 3D sebelum dan setelah transformasi.
  3. Analisis: Apakah transformasi ini lebih mengarah pada kompresi, ekspansi, atau rotasi pada data lokasi tambang? Jelaskan hasil yang Anda peroleh.

Soal 3 (40%) (Nilai Eigen dan Vektor Eigen)

Perusahaan tambang XYZ sedang melakukan analisis stabilitas pada tiga lapisan struktur batuan di area tambang. Tim geoteknik perusahaan perlu menentukan pola pergerakan dari setiap lapisan batuan ketika terkena tekanan untuk memahami risiko longsor atau keruntuhan. Data ini disajikan dalam bentuk matriks transformasi yang menggambarkan respons deformasi dari ketiga lapisan batuan terhadap tekanan.

Matriks transformasi yang menggambarkan hubungan deformasi antar lapisan batuan adalah sebagai berikut:

\[ A = \begin{bmatrix} 4 & -2 & 1 \\ -2 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \end{bmatrix} \]

Pertanyaan:

  1. Tentukan nilai eigen dari matriks \(A\) dan interpretasikan nilai tersebut dalam konteks stabilitas struktur batuan.

  2. Tentukan vektor eigen yang terkait dengan masing-masing nilai eigen dan interpretasikan artinya dalam konteks pergerakan struktur batuan. Misalnya, arah vektor eigen menunjukkan arah deformasi yang dominan pada lapisan batuan.

  3. Berdasarkan nilai dan vektor eigen yang diperoleh, diskusikan apakah lapisan batuan memiliki arah pergerakan yang stabil atau tidak stabil ketika terkena tekanan dari berbagai arah.

LS0tDQp0aXRsZTogIlNvYWwgVVRTIEdhbmppbCBUQSAyMy8yNCINCnN1YnRpdGxlOiAiTWF0cmlrcyBkYW4gUnVhbmcgVmVrdG9yIg0KYXV0aG9yOiAiQmFrdGkgU2lyZWdhciwgUy5TaS4sIE0uU2MiDQpkYXRlOiAgImByIGZvcm1hdChTeXMuRGF0ZSgpLCAnJUIgJWQsICVZJylgIg0Kb3V0cHV0Og0KICBybWRmb3JtYXRzOjpyZWFkdGhlZG93bjogICAjIGh0dHBzOi8vZ2l0aHViLmNvbS9qdWJhL3JtZGZvcm1hdHMNCiAgICBzZWxmX2NvbnRhaW5lZDogdHJ1ZQ0KICAgIHRodW1ibmFpbHM6IHRydWUNCiAgICBsaWdodGJveDogdHJ1ZQ0KICAgIGdhbGxlcnk6IHRydWUNCiAgICBsaWJfZGlyOiBsaWJzDQogICAgZGZfcHJpbnQ6ICJwYWdlZCINCiAgICBjb2RlX2ZvbGRpbmc6ICJzaG93Ig0KICAgIGNvZGVfZG93bmxvYWQ6IHllcw0KICAgIGNzczogInN0eWxlLmNzcyINCi0tLQ0KDQo8aW1nIHNyYz0iaHR0cHM6Ly9naXRodWIuY29tL2RzY2llbmNlbGFicy9pbWFnZXMvYmxvYi9tYXN0ZXIvQ292ZXJfQWxpbi5wbmc/cmF3PXRydWUiIHdpZHRoPSIzMDAiIHN0eWxlPSJkaXNwbGF5OiBibG9jazsgbWFyZ2luOiBhdXRvOyIgYWx0PSIiPg0KDQoNCiMgU29hbCAxICgzMCUpIChNYXRyaWtzL1NQTCkgDQoNClNlYnVhaCBwZXJ1c2FoYWFuIHRhbWJhbmcgbWVtaWxpa2kgdGlnYSBsb2thc2kgcGVuYW1iYW5nYW4gYmlqaWggKExva2FzaSBBLCBMb2thc2kgQiwgZGFuIExva2FzaSBDKS4gU2V0aWFwIGxva2FzaSBtZW5nZWtzdHJha3NpIHRpZ2EgamVuaXMgYmlqaWggeWFuZyBiZXJiZWRhOiBlbWFzLCBwZXJhaywgZGFuIHRlbWJhZ2EuIFNldGlhcCBqZW5pcyBiaWppaCBoYXJ1cyBtZW1lbnVoaSBwZXJtaW50YWFuIGhhcmlhbiB0ZXJ0ZW50dSwgZGFuIG1hc2luZy1tYXNpbmcgbG9rYXNpIGhhbnlhIGRhcGF0IG1lbmdla3N0cmFrc2kgZGFsYW0ganVtbGFoIHRlcmJhdGFzIHBlciBoYXJpLiBCZXJpa3V0IGFkYWxhaCBpbmZvcm1hc2kgbGViaWggbGFuanV0Og0KDQoxLiAqKkthcGFzaXRhcyBQcm9kdWtzaSBIYXJpYW4gZGkgU2V0aWFwIExva2FzaSAoZGFsYW0gdG9uKToqKg0KDQogICAtICoqTG9rYXNpIEE6KiogZGFwYXQgbWVuZ2Vrc3RyYWtzaSA2MCB0b24gZW1hcywgNDAgdG9uIHBlcmFrLCBkYW4gMzAgdG9uIHRlbWJhZ2EgcGVyIGhhcmkuDQogICAtICoqTG9rYXNpIEI6KiogZGFwYXQgbWVuZ2Vrc3RyYWtzaSA1MCB0b24gZW1hcywgNjAgdG9uIHBlcmFrLCBkYW4gMjAgdG9uIHRlbWJhZ2EgcGVyIGhhcmkuDQogICAtICoqTG9rYXNpIEM6KiogZGFwYXQgbWVuZ2Vrc3RyYWtzaSAzMCB0b24gZW1hcywgMzAgdG9uIHBlcmFrLCBkYW4gNDAgdG9uIHRlbWJhZ2EgcGVyIGhhcmkuDQoNCjIuICoqUGVybWludGFhbiBIYXJpYW4gKGRhbGFtIHRvbik6KioNCg0KICAgLSBFbWFzOiAxMDAgdG9uDQogICAtIFBlcmFrOiA5MCB0b24NCiAgIC0gVGVtYmFnYTogNzAgdG9uDQoNCkJlcmFwYSBqdW1sYWggYmlqaWggeWFuZyBoYXJ1cyBkaWFtYmlsIGRhcmkgc2V0aWFwIGxva2FzaSBhZ2FyIHBlcm1pbnRhYW4gaGFyaWFuIHRlcnBlbnVoaSB0YW5wYSBtZWxlYmloaSBrYXBhc2l0YXMgcGVuYW1iYW5nYW4gaGFyaWFuIGRpIHNldGlhcCBsb2thc2k/DQoNCioqUGVydGFueWFhbjoqKg0KDQoxLiBTdXN1biBzaXN0ZW0gcGVyc2FtYWFuIHVudHVrIG1lbmVudHVrYW4ganVtbGFoIGJpamloIHlhbmcgZGlhbWJpbCBkYXJpIHNldGlhcCBsb2thc2kgc2VoaW5nZ2EgcGVybWludGFhbiB0ZXJwZW51aGkuDQoyLiBTZWxlc2Fpa2FuIHNpc3RlbSBwZXJzYW1hYW4gaW5pIGRlbmdhbmcgbWVuZ2d1bmFrYW4gTWV0b2RlIEludmVycyBNYXRyaWtzIHVudHVrIG1lbmVtdWthbiBzb2x1c2kgeWFuZyBtZW1lbnVoaSBwZXJtaW50YWFuIGhhcmlhbi4NCg0KDQoNCiMgU29hbCAyICgzMCUpIChUcmFuc2Zvcm1hc2kpDQoNClNlYnVhaCBwZXJ1c2FoYWFuIHRhbWJhbmcgc2VkYW5nIG1lbGFrdWthbiBwZW1ldGFhbiAzRCBkYXJpIHRpZ2EgdGl0aWsgdGFtYmFuZyBwb3RlbnNpYWwgdW50dWsgbWVuZ2V2YWx1YXNpIGZvcm1hc2kgZ2VvbG9naSBkaSBiYXdhaCBwZXJtdWthYW4gdGFuYWguIFRpdGlrLXRpdGlrIGluaSBkaXRlbnR1a2FuIGRhbGFtIHNpc3RlbSBrb29yZGluYXQgM0Qgc2ViYWdhaSBiZXJpa3V0Og0KDQotICoqVGl0aWsgUDoqKiAoMTAsIDIwLCAzMCkNCi0gKipUaXRpayBROioqICgxNSwgMjUsIDM1KQ0KLSAqKlRpdGlrIFI6KiogKDIwLCAzMCwgNDApDQoNCkFnYXIgcGVtZXRhYW4gaW5pIHNlc3VhaSBkZW5nYW4gc2lzdGVtIGtvb3JkaW5hdCBwYWJyaWsgcGVuZ29sYWhhbiwgcGVydXNhaGFhbiBwZXJsdSBtZWxha3VrYW4gdHJhbnNmb3JtYXNpIHBhZGEgdGl0aWstdGl0aWsgdGVyc2VidXQgZGVuZ2FuIG1lbmVyYXBrYW4gKipyb3Rhc2kqKiBkYW4gKipza2FsYSoqLg0KDQoNCjEuICoqTWF0cmlrcyBUcmFuc2Zvcm1hc2kgUm90YXNpIDNEKio6IFVudHVrIG1lbXV0YXIgdGl0aWstdGl0aWsgaW5pIGRpIHNla2l0YXIgc3VtYnUgJHokIHNlYmVzYXIgNDUgZGVyYWphdCwgcGVydXNhaGFhbiBtZW5nZ3VuYWthbiBtYXRyaWtzIHJvdGFzaSBzZWJhZ2FpIGJlcmlrdXQ6DQoNCiAgICQkDQogICBSX3ogPSBcYmVnaW57Ym1hdHJpeH0gXGNvcyA0NV5cY2lyYyAmIC1cc2luIDQ1XlxjaXJjICYgMCBcXCBcc2luIDQ1XlxjaXJjICYgXGNvcyA0NV5cY2lyYyAmIDAgXFwgMCAmIDAgJiAxIFxlbmR7Ym1hdHJpeH0gPSBcYmVnaW57Ym1hdHJpeH0gXGZyYWN7XHNxcnR7Mn19ezJ9ICYgLVxmcmFje1xzcXJ0ezJ9fXsyfSAmIDAgXFwgXGZyYWN7XHNxcnR7Mn19ezJ9ICYgXGZyYWN7XHNxcnR7Mn19ezJ9ICYgMCBcXCAwICYgMCAmIDEgXGVuZHtibWF0cml4fQ0KICAgJCQNCg0KMi4gKipNYXRyaWtzIFRyYW5zZm9ybWFzaSBTa2FsYSoqOiBTZXRlbGFoIHJvdGFzaSwgdGl0aWstdGl0aWsganVnYSBha2FuIGRpLXNrYWxhIGRlbmdhbiBmYWt0b3IgMiBwYWRhIHN1bWJ1ICR4JCwgZmFrdG9yIDEgcGFkYSBzdW1idSAkeSQsIGRhbiBmYWt0b3IgMC41IHBhZGEgc3VtYnUgJHokLiBNYXRyaWtzIHNrYWxhIGluaSBkaW55YXRha2FuIHNlYmFnYWk6DQoNCiAgICQkDQogICBTID0gXGJlZ2lue2JtYXRyaXh9IDIgJiAwICYgMCBcXCAwICYgMSAmIDAgXFwgMCAmIDAgJiAwLjUgXGVuZHtibWF0cml4fQ0KICAgJCQNCg0KMy4gKipUcmFuc2Zvcm1hc2kgQWtoaXIqKjogVHJhbnNmb3JtYXNpIGFraGlyIHlhbmcgZGl0ZXJhcGthbiBwYWRhIHNldGlhcCB0aXRpayBhZGFsYWggaGFzaWwgcGVya2FsaWFuIG1hdHJpa3Mgcm90YXNpIGRhbiBza2FsYToNCg0KICAgJCQNCiAgIFQgPSBTIFxjZG90IFJfeg0KICAgJCQNCg0KKipQZXJ0YW55YWFuOioqDQoNCjEuIFRlbnR1a2FuIGtvb3JkaW5hdCBiYXJ1IGRhcmkgdGl0aWstdGl0aWsgJFAkLCAkUSQsIGRhbiAkUiQgc2V0ZWxhaCB0cmFuc2Zvcm1hc2kgJFQkIGRpdGVyYXBrYW4uDQoyLiBHYW1iYXJrYW4gcGVydWJhaGFuIHBvc2lzaSB0aXRpay10aXRpayBpbmkgZGFsYW0gcnVhbmcgM0Qgc2ViZWx1bSBkYW4gc2V0ZWxhaCB0cmFuc2Zvcm1hc2kuDQozLiBBbmFsaXNpczogQXBha2FoIHRyYW5zZm9ybWFzaSBpbmkgbGViaWggbWVuZ2FyYWggcGFkYSBrb21wcmVzaSwgZWtzcGFuc2ksIGF0YXUgcm90YXNpIHBhZGEgZGF0YSBsb2thc2kgdGFtYmFuZz8gSmVsYXNrYW4gaGFzaWwgeWFuZyBBbmRhIHBlcm9sZWguDQoNCg0KIyBTb2FsIDMgKDQwJSkgKE5pbGFpIEVpZ2VuIGRhbiBWZWt0b3IgRWlnZW4pDQoNClBlcnVzYWhhYW4gdGFtYmFuZyBYWVogc2VkYW5nIG1lbGFrdWthbiBhbmFsaXNpcyBzdGFiaWxpdGFzIHBhZGEgdGlnYSBsYXBpc2FuIHN0cnVrdHVyIGJhdHVhbiBkaSBhcmVhIHRhbWJhbmcuIFRpbSBnZW90ZWtuaWsgcGVydXNhaGFhbiBwZXJsdSBtZW5lbnR1a2FuIHBvbGEgcGVyZ2VyYWthbiBkYXJpIHNldGlhcCBsYXBpc2FuIGJhdHVhbiBrZXRpa2EgdGVya2VuYSB0ZWthbmFuIHVudHVrIG1lbWFoYW1pIHJpc2lrbyBsb25nc29yIGF0YXUga2VydW50dWhhbi4gRGF0YSBpbmkgZGlzYWppa2FuIGRhbGFtIGJlbnR1ayBtYXRyaWtzIHRyYW5zZm9ybWFzaSB5YW5nIG1lbmdnYW1iYXJrYW4gcmVzcG9ucyBkZWZvcm1hc2kgZGFyaSBrZXRpZ2EgbGFwaXNhbiBiYXR1YW4gdGVyaGFkYXAgdGVrYW5hbi4NCg0KTWF0cmlrcyB0cmFuc2Zvcm1hc2kgeWFuZyBtZW5nZ2FtYmFya2FuIGh1YnVuZ2FuIGRlZm9ybWFzaSBhbnRhciBsYXBpc2FuIGJhdHVhbiBhZGFsYWggc2ViYWdhaSBiZXJpa3V0Og0KDQokJA0KQSA9IFxiZWdpbntibWF0cml4fSA0ICYgLTIgJiAxIFxcIC0yICYgMyAmIC0xIFxcIDEgJiAtMSAmIDIgXGVuZHtibWF0cml4fQ0KJCQNCg0KKipQZXJ0YW55YWFuOioqDQoNCjEuIFRlbnR1a2FuIG5pbGFpIGVpZ2VuIGRhcmkgbWF0cmlrcyAkQSQgZGFuIGludGVycHJldGFzaWthbiBuaWxhaSB0ZXJzZWJ1dCBkYWxhbSBrb250ZWtzIHN0YWJpbGl0YXMgc3RydWt0dXIgYmF0dWFuLg0KICAgDQoyLiBUZW50dWthbiB2ZWt0b3IgZWlnZW4geWFuZyB0ZXJrYWl0IGRlbmdhbiBtYXNpbmctbWFzaW5nIG5pbGFpIGVpZ2VuIGRhbiBpbnRlcnByZXRhc2lrYW4gYXJ0aW55YSBkYWxhbSBrb250ZWtzIHBlcmdlcmFrYW4gc3RydWt0dXIgYmF0dWFuLiBNaXNhbG55YSwgYXJhaCB2ZWt0b3IgZWlnZW4gbWVudW5qdWtrYW4gYXJhaCBkZWZvcm1hc2kgeWFuZyBkb21pbmFuIHBhZGEgbGFwaXNhbiBiYXR1YW4uDQoNCjMuIEJlcmRhc2Fya2FuIG5pbGFpIGRhbiB2ZWt0b3IgZWlnZW4geWFuZyBkaXBlcm9sZWgsIGRpc2t1c2lrYW4gYXBha2FoIGxhcGlzYW4gYmF0dWFuIG1lbWlsaWtpIGFyYWggcGVyZ2VyYWthbiB5YW5nIHN0YWJpbCBhdGF1IHRpZGFrIHN0YWJpbCBrZXRpa2EgdGVya2VuYSB0ZWthbmFuIGRhcmkgYmVyYmFnYWkgYXJhaC4NCg==