广义线性模型

1 广义线性模型

1.1 Logisitic回归：妊娠糖尿病分析

  • 因变量：糖尿病(Diabetes){阳性：pos，阴性：neg}，设阳性为1、阴性为0

  • 自变量：年龄(Age)、体重指数(BMI，kg/m2 )、血糖浓度(Glucose )、舒张压(Diastolic blood pressure，(mm)Hg )、怀孕次数(Number of times pregnant )

  • 数据文件：diabetes.csv，共 724个观察值

1.1.1 划分训练集和测试集

  • 前450条个案为训练集，用于估计Logist模型
  • 后274条个案为测试集，用于评价模型的估计效果
  • 训练集糖尿病率36.44%，测试集糖尿病率为31.02%，两者大致相等。

1.1.2 训练集估计回归方程

term estimate std.error statistic p.value
(Intercept) -7.950 0.97 -8.21 0.00
Age 0.012 0.01 1.00 0.32
BMI 0.089 0.02 4.81 0.00
Glucose 0.032 0.00 7.39 0.00
Pressure -0.005 0.01 -0.50 0.61
Pregnant 0.098 0.04 2.45 0.01

\[ log(\frac{p}{1-p}) =-7.95+0.012\times Age+0.089\times BMI+0.032\times Glucose-0.005\times Pressure+0.098\times Pregnant\]

1.1.3 测试集预测效果评价

pos_pred neg_pred
pos 53 32
neg 21 168

回归方程的AIC值为461.36，由训练集预测混淆矩阵可知：

  • 准确率(accuracy)：80.66%
  • 精确率(precision)：62.35%
  • 召回率(recall)：71.62%
  • \(F_1\)得分(\(F_1\) score)：66.67%

1.1.4 回归模型边际效应

     Age      BMI  Glucose Pressure Pregnant 
    0.26     1.94     0.70    -0.11     2.14

  • 年龄每增加一岁患病风险提高0.26%；体重指数每增加1患病风险提高1.94%；血糖浓度每增加1患病风险提高0.7%；舒张压每增加1患病风险降低0.11%；怀孕次数每增加一次患病风险提高2.14%。

  • 体重指数、血糖浓度、怀孕次数对患病风险呈正向影响，符合预期。

  • 年龄和舒张压对患病风险影响小且不显著，考虑逐步回归选择更合适的模型

1.2 Logisitic回归逐步回归

1.2.1 逐步回归的回归方程

Start: AIC=461.36 Diabetes ~ Age + BMI + Glucose + Pressure + Pregnant

       Df Deviance    AIC
  • Pressure 1 449.62 459.62
  • Age 1 450.35 460.35 449.36 461.36
  • Pregnant 1 455.53 465.53
  • BMI 1 474.67 484.67
  • Glucose 1 515.90 525.90

Step: AIC=459.62 Diabetes ~ Age + BMI + Glucose + Pregnant

       Df Deviance    AIC
  • Age 1 450.43 458.43 449.62 459.62
  • Pregnant 1 455.69 463.69
  • BMI 1 475.95 483.95
  • Glucose 1 515.92 523.92

Step: AIC=458.43 Diabetes ~ BMI + Glucose + Pregnant

       Df Deviance    AIC

450.43 458.43 - Pregnant 1 461.76 467.76 - BMI 1 476.19 482.19 - Glucose 1 522.88 528.88

Call: glm(formula = Diabetes ~ BMI + Glucose + Pregnant, family = binomial, data = diabetes, subset = id.train)

Coefficients: Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
(Intercept) -7.939663 0.819306 -9.691 < 2e-16 BMI 0.085129 0.017658 4.821 1.43e-06 Glucose 0.032675 0.004262 7.666 1.77e-14 Pregnant 0.115033 0.034649 3.320 9e-04

Signif. codes: 0 ‘’ 0.001 ’’ 0.01 ’’ 0.05 ‘.’ 0.1 ’ ’ 1

(Dispersion parameter for binomial family taken to be 1)

Null deviance: 590.34  on 449  degrees of freedom

Residual deviance: 450.43 on 446 degrees of freedom AIC: 458.43

Number of Fisher Scoring iterations: 4

最终的回归方程为Diabetes ~ BMI + Glucose + Pregnant

  • 截距项：-7.939663。

  • “BMI” 变量系数：0.085129。

  • “Glucose” 变量系数：0.032675。

  • “Pregnant” 变量系数：0.115033。

1.2.2 逐步回归的预测效果

  • 对训练集预测正确率为 80.29%，其中阴性预测正确率较高，为 80.89%（负类实际样本为 22 个，预测为负类的有 167 个），阳性预测正确率为 62.35%。说明该模型对阴性样本的预测能力较好，对阳性样本的预测能力相对较差。

    y.pred y pos_pred neg_pred pos 53 32 neg 22 167 Accuracy Precision Recall F1 0.8029197 0.6235294 0.7066667 0.6625000

1.2.3 逐步回归的边际效应

随着变量的变化，糖尿病患病概率会相应地发生变化。总体而言，该逐步回归模型在糖尿病预测方面具有一定的有效性，但仍有改进空间。

    BMI     Glucose    Pregnant

0.018661159 0.007162621 0.025216463 BMI Glucose Pregnant 0.014024913 0.005383113 0.018951593