Mariana TascĆ³n, Laura Gomez, Laura Dominguez

GrĆ”ficos y correlaciĆ³n

Este grĆ”fico nos muestra los histogramas de las dos variables en cuestiĆ³n, el diagrama de dispersiĆ³n de los datos y el coeficiente de correlacion que hay entre estas, el cual es bastante alto. Este coeficioente nos indica que las variables estĆ”n fuertemente correlacionadas y por lo tanto tiene sentido establecer el modelo de regresiĆ³n lineal simple.

modelo1<-lm(GPA~Absences,data=datos)
summary(modelo1)
## 
## Call:
## lm(formula = GPA ~ Absences, data = datos)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -1.00037 -0.25727  0.01052  0.24920  1.21547 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)  3.35101    0.01464   228.9   <2e-16 ***
## Absences    -0.09936    0.00087  -114.2   <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.3602 on 2390 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.8451, Adjusted R-squared:  0.8451 
## F-statistic: 1.304e+04 on 1 and 2390 DF,  p-value: < 2.2e-16

Mediante el summary del modelo 1 podemos sacar los datos que nos van a permitir hallar la ecuaciĆ³n del modelo de regresiĆ³n lineal y el coeficiente de determinaciĆ³n, para asĆ­ ver la relaciĆ³n de variabilidad entre las variables; que en este caso son el GPA, siendo la variable de respuesta o la dependiente y, las Ausencias, siendo la variable explicativa o independiente. Dentro del modelo se estĆ”n probando las siguientes pruebas de hipotesis:

Ho: Ī²0 = 0

Ha: Ī²1 ā‰  0

Mediante el intercepto y la pendiente, logramos obtener que la ecuaciĆ³n es:

GPA= 3.351 - 0.099 * Ausencias + Īµ

AdemĆ”s, con el dato del coeficiente de determinaciĆ³n, que es 0.8451, podemos concluir que los cambios dados en el puntaje de GPA se explican en un 84,51% por el cambio en el nĆŗmero de ausencias que hay en la muestra de estudiantes. Otro dato bastante importante que podemos deducir del modelo es si las variables son significativas. Como el valor P es menor a 2.2e-16 y a su vez eso es menor al nivel de significacia, que es 0.05, podemos decir que rechazamos Ho y que las variables sĆ­ son significativas.

modelo<-lm(GPA~.-StudentID-Gender-Ethnicity-ParentalEducation-Tutoring-ParentalSupport-Extracurricular-Sports-Music-Volunteering,data=datos)
summary(modelo)
## 
## Call:
## lm(formula = GPA ~ . - StudentID - Gender - Ethnicity - ParentalEducation - 
##     Tutoring - ParentalSupport - Extracurricular - Sports - Music - 
##     Volunteering, data = datos)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -1.10726 -0.19616  0.00959  0.19915  1.53913 
## 
## Coefficients:
##                  Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)      3.423265   0.090478  37.835   <2e-16 ***
## Age             -0.007183   0.005345  -1.344    0.179    
## StudyTimeWeekly  0.026011   0.001086  23.953   <2e-16 ***
## Absences        -0.084367   0.001049 -80.433   <2e-16 ***
## GradeClass      -0.142823   0.007263 -19.664   <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.2937 on 2387 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.8972, Adjusted R-squared:  0.897 
## F-statistic:  5206 on 4 and 2387 DF,  p-value: < 2.2e-16

Mediante el modelo, tratamos de buscar un nĆŗmero mayor del coeficiente de determinaciĆ³n comparado al modelo anterior, mediante el uso de mas variables. Una vez eliminamos las variables cualitativas de la base de datos en el modelo, vemos cĆ³mo este coeficiente aumenta en una medida muy baja mediante el uso de las variables nuevas que tomamos en cuenta como edad, tiempo de estudio o el puntaje de la clase. Sin embargo, al aumentar se concluye que las variables sĆ­ son significativas y esto se prueba igual que en el modelo anterior con el valor P, el cual sigue siendo menor al nivel de significancia 0.05. Es por esto que se utilizarĆ” este modelo para el resto de cĆ”lculos, pues la variabilidad del GPA se explica en un 89,72% por la variabilidad de las variables nombradas anteriormente.

Supuestos

Linealidad

mean(modelo$residuals)
## [1] 3.363905e-18

Mediante este supuesto se busca probar si el modelo es lineal. Como se evidencia en el resultado, la media de los residuos es muy cercana a cero, probando asi que el modelo cumple el supuesto de linealidad.

Normalidad

shapiro.test(modelo$residuals)
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  modelo$residuals
## W = 0.99779, p-value = 0.001997

Mediante este supuesto se busca probar si el modelo cumple con una distribuciĆ³n normal. Esto puede evidenciarse mediante grĆ”ficos o mediante el valor P, como es este caso. Las pruebas de hipotesis que estan bajo este supuesto son:

Ho: la distribuciĆ³n es normal

Ha: la distribuciĆ³n no es normal

Como el valor P es 0.001997, lo cual es menor a 0.05, se rechaza Ho, concluyendo que la distribuciĆ³n no es normal.

En cuanto a la justificaciĆ³n mediante grĆ”ficos, hacemos un Q-Q plot de normalidad. La grĆ”fica compara la distribuciĆ³n de los residuos para evaluar si se distribuyen normalmente. Como en la grĆ”fica se evidencia que los puntos caen cerca de la lĆ­nea diagonal pero aun asi hay unos bastante alejados de los otros, se sugiere que los residuos no siguen una distribuciĆ³n normal.

Homocedasticidad

bptest(modelo)
## 
##  studentized Breusch-Pagan test
## 
## data:  modelo
## BP = 86.284, df = 4, p-value < 2.2e-16

Mediante este supuesto se busca probar si las varianzas de los residuos son iguales. Esto puede evidenciarse mediante el valor P. Las pruebas de hipotesis que estan bajo este supuesto son:

Ho: existe homogeneidad de varianzas

Ha: existe homogeneidad de varianzas

Como el valor P es menor a 2.2e-16, lo cual es menor a 0.05, se rechaza Ho, concluyendo que los residuos son homocedasticos.

Independencia de residuos

dwtest(modelo,alternative = "two.sided")
## 
##  Durbin-Watson test
## 
## data:  modelo
## DW = 1.9691, p-value = 0.4491
## alternative hypothesis: true autocorrelation is not 0

Mediante este supuesto se busca probar si los residuos son independientes. Esto puede evidenciarse mediante el valor P. Las pruebas de hipotesis que estan bajo este supuesto son:

Ho: los residuos son independientes

Ha: los residuos no son independientes

Como el valor P es 0.4491, lo cual es mayor a 0.05, no se rechaza Ho, concluyendo que los residuos son independientes.Esto quiere decir que hay ausencia de autocorrelaciĆ³n entre las variables o que es igual a cero.