广义线性模型
1 广义线性模型
1.1 Logisitic回归：妊娠糖尿病分析
因变量：糖尿病(Diabetes){阳性：pos，阴性：neg}，设阳性为1、阴性为0
自变量：年龄(Age)、体重指数(BMI，kg/m2 )、血糖浓度(Glucose )、舒张压(Diastolic blood pressure，(mm)Hg )、怀孕次数(Number of times pregnant )
数据文件：diabetes.csv，共 724个观察值
1.1.1 划分训练集和测试集
- 前450条个案为训练集，用于估计Logist模型
- 后274条个案为测试集，用于评价模型的估计效果
- 训练集糖尿病率36.44%，测试集糖尿病率为31.02%，两者大致相等。
1.1.2 训练集估计回归方程
| term | estimate | std.error | statistic | p.value |
|---|---|---|---|---|
| (Intercept) | -7.950 | 0.97 | -8.21 | 0.00 |
| Age | 0.012 | 0.01 | 1.00 | 0.32 |
| BMI | 0.089 | 0.02 | 4.81 | 0.00 |
| Glucose | 0.032 | 0.00 | 7.39 | 0.00 |
| Pressure | -0.005 | 0.01 | -0.50 | 0.61 |
| Pregnant | 0.098 | 0.04 | 2.45 | 0.01 |
\[ log(\frac{p}{1-p}) =-7.95+0.012\times Age+0.089\times BMI+0.032\times Glucose-0.005\times Pressure+0.098\times Pregnant\]
1.1.3 测试集预测效果评价
| pos_pred | neg_pred | |
|---|---|---|
| pos | 53 | 32 |
| neg | 21 | 168 |
回归方程的AIC值为461.36，由训练集预测混淆矩阵可知：
- 准确率(accuracy)：80.66%
- 精确率(precision)：62.35%
- 召回率(recall)：71.62%
- \(F_1\)得分(\(F_1\) score)：66.67%
1.1.4 回归模型边际效应
Age BMI Glucose Pressure Pregnant
0.26 1.94 0.70 -0.11 2.14 年龄每增加一岁患病风险提高0.26%；体重指数每增加1患病风险提高1.94%；血糖浓度每增加1患病风险提高0.7%；舒张压每增加1患病风险降低0.11%；怀孕次数每增加一次患病风险提高2.14%。
体重指数、血糖浓度、怀孕次数对患病风险呈正向影响，符合预期。
年龄和舒张压对患病风险影响小且不显著，考虑逐步回归选择更合适的模型
1.2 Logisitic回归逐步回归
1.2.1 逐步回归的回归方程
Start: AIC=461.36
Diabetes ~ Age + BMI + Glucose + Pressure + Pregnant
Df Deviance AIC
- Pressure 1 449.62 459.62
- Age 1 450.35 460.35
<none> 449.36 461.36
- Pregnant 1 455.53 465.53
- BMI 1 474.67 484.67
- Glucose 1 515.90 525.90
Step: AIC=459.62
Diabetes ~ Age + BMI + Glucose + Pregnant
Df Deviance AIC
- Age 1 450.43 458.43
<none> 449.62 459.62
- Pregnant 1 455.69 463.69
- BMI 1 475.95 483.95
- Glucose 1 515.92 523.92
Step: AIC=458.43
Diabetes ~ BMI + Glucose + Pregnant
Df Deviance AIC
<none> 450.43 458.43
- Pregnant 1 461.76 467.76
- BMI 1 476.19 482.19
- Glucose 1 522.88 528.88第一次迭代时包含Age、BMI 、GLUCOSE 、PRESSURE 、PREGNANT五个变量，AIC = 461.36
第二次迭代包含Age、BMI 、GLUCOSE 、PREGNANT四个变量，AIC = 459.62
第三次迭代包含BMI 、GLUCOSE 、PREGNANT三个变量，AIC = 458.43
由于AIC越小越好，所以第三次迭代效果最好，方程包含三个变量
1.2.2 逐步回归的预测效果
Call:
glm(formula = Diabetes ~ BMI + Glucose + Pregnant, family = binomial,
data = diabetes, subset = id.train)
Coefficients:
Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
(Intercept) -7.939663 0.819306 -9.691 < 2e-16 ***
BMI 0.085129 0.017658 4.821 1.43e-06 ***
Glucose 0.032675 0.004262 7.666 1.77e-14 ***
Pregnant 0.115033 0.034649 3.320 9e-04 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
(Dispersion parameter for binomial family taken to be 1)
Null deviance: 590.34 on 449 degrees of freedom
Residual deviance: 450.43 on 446 degrees of freedom
AIC: 458.43
Number of Fisher Scoring iterations: 4由结果可得三个变量的参数通过检验，皆显著不为0.
y.pred
y pos_pred neg_pred
pos 53 32
neg 22 167用回归方程来预测结果，之后通过结果生成混淆矩阵。
Accuracy Precision Recall F1
0.8029197 0.6235294 0.7066667 0.6625000 对训练集预测正确率为80.29%，其中阴性预测正确率为80.89%，阳性预测正确率为62.35%
Logistic回归的预测能力略好于朴素贝叶斯，但对阴性预测能力较好，对阳性预测能力较差
1.2.3 逐步回归的边际效应
BMI Glucose Pregnant
0.018661159 0.007162621 0.025216463 BMI Glucose Pregnant
0.014024913 0.005383113 0.018951593 均值边际效应结果是：BMI增加一单位，风险增加0.018661159。Glucose 增加一单位，风险增加0.007162621。 Pregnant增加一单位，风险增加0.025216463 。
平均边际效应结果是：BMI增加一单位，风险增加0.014024913。Glucose 增加一单位，风险增加0.005383113。 Pregnant增加一单位，风险增加0.018951593 。