Ejercicio 1: Cota de error de \(f(x)=10e^{3x}cos(4x)\) en los puntos \(x_0=1,x_1=1,x_2=8.3\) . Primero calculamos el término asociado al error

\[- \frac{5 \left(x - 8.3\right) \left(x - 4.2\right) \left(x - 1\right) \left(44 \sin{\left(4 t \right)} + 117 \cos{\left(4 t \right)}\right) e^{3 t}}{3}\]

Ahora estimamos cada uno de los términos, si consideramos que el problema se está analizando en el intervalor de \([1,8.3]\) entonces como se hizo en clase, se encontró el máximo del polinomio cúbico implicado, esto equivalente a encontrar los ceros de \(3 x^{2} - 27.0 x + 47.36\); encontrando los ceros de esta ecuación cuadrática, se obtiene que el máximo del polinomio \(\left(x - 8.3\right) \left(x - 4.2\right) \left(x - 1\right)\) es 22.85 aproximadamente.

La parte restante usamos el hecho que el seno y el coseno son menores que 1 sumado a que la exponencial es una función creciente:

\[|\left(44 \sin{\left(4 t \right)} + 117 \cos{\left(4 t \right)}\right) e^{3 t}|\leq(44+117)e^{3\times 8.3}=10489589079583.107\]

Uniendo los dos resultados anteriores obtenemos la cota simple \[10489589079583.107 \times 22.85\times \frac{5}{3}=399478517447456.75\]

## [2.38733974966789, 6.61266025033211] x
## 14.8690138346313
## -22.8490138346313
## 399478517447456.75

Ejercicio 2: Considerando que pasa por esos puntos, entonces al evaluar \(S_0\) y \(S_1\) en sus respectivos extremos, obtenemos

\[ 1+A-B=1\rightarrow A=B\\ 1+D-\dfrac{3}{4}+E=0\rightarrow E=-\dfrac{1}{4}-D \]

Ahora, considerando las condiciones de la primera y segunda derivada se tiene que:

\[ A-3B=D\\ -6B=-\dfrac{3}{2}\rightarrow B=\dfrac{1}{4}\\ A=\dfrac{1}{4},D=\dfrac{1}{4}-3\times \dfrac{1}{4}=-\dfrac{1}{2},E=-\dfrac{1}{4}-(-\dfrac{1}{2})=\dfrac{1}{4} \]

Entonces \[S_0(x)=1+\frac{1}{4}(x-1)-\frac{1}{4}(x-1)^3,\\ S_1(x)=1-\frac{1}{2}(x-2)-\frac{3}{4}(x-2)^2+\frac{1}{4}(x-2)^3\]

Ejercicio 3: Siguiendo la fórmula obtendríamos el siguiente sistema cuadrado:

\[ \begin{pmatrix} 6760.0036 & 1018.862 & 164.92\\ 1018.862 & 164.92 & 30.2\\ 164.92 & 30.2 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_2\\ a_1\\ a_0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 6453.942\\ 949.06\\ 148.5 \end{pmatrix} \]