Inferencia con una muestra
Karla Trejo Delgadillo
2024-10-29
Inferencia para la media con la Estadística Z para muestras grandes
Problema 4.12 del taller de ejercicios
Una compañia farmacéutica afirma que la potencia media de uno de sus antibióticos es 80 por ciento. Se somete aprueba una muestra aleatoria de 100 cápsulas. ¿Presentan datos suficiente evidencia para refutar la afirmación de la compañía?. Use a = 0.05. Construye un IC del 90% para la media poblacional.
Solución
Potencia media del antibiótico
## [1] 68.28424 62.38751 55.20774 97.76450 80.02048 73.58702 69.79551
## [8] 93.95648 76.98853 100.00000 73.24019 73.35974 99.92183 87.40946
## [15] 75.35741 90.25830 81.01872 75.23391 100.00000 78.06036 76.89407
## [22] 85.43011 63.78340 52.60483 71.19687 69.90801 69.61003 64.56331
## [29] 67.67003 81.03511 91.37412 71.81022 80.66349 84.46630 79.23993
## [36] 80.43436 88.96244 75.83649 60.77695 68.79003 63.15915 69.80066
## [43] 72.19007 60.00103 78.50490 71.30282 73.05623 91.17811 86.92872
## [50] 51.94560 100.00000 71.06239 72.40180 88.39661 80.01129 72.56243
## [57] 76.24738 93.71035 100.00000 87.61308 73.54888 84.66578 80.95786
## [64] 89.39416 81.63244 64.48254 65.87545 81.37902 68.30772 77.26661
## [71] 69.20064 72.20163 80.80178 62.04742 81.41879 65.50000 80.93698
## [78] 74.96471 55.57881 87.15964 71.78801 98.25801 80.91071 81.61432
## [85] 77.64093 54.80312 91.11861 73.05082 53.49288 83.30498 66.61415
## [92] 67.92416 68.16321 82.63869 86.38360 72.49188 100.00000 128.23914
## [99] 92.30127 73.05915Prueba de normalidad
Sea \(X=\) Potencia media de 100 cápsulas del antibiótico.
H0: \(X\) tiene distribución normal vs. Ha: \(X\) no tiene distribución normal
##
## RESULTADOS PARA LA PRUEBA DE NORMALIDAD
## Estadistica ValorCal Pvalor
## 1 Shapiro-Wilk 0.96724401 0.013654583
## 2 Cramer-Von-Misses 0.08915148 0.155736888
## 3 Anderson-Darling 0.55849741 0.145482932
## 4 Shapiro-Francia 0.96377560 0.009196415
## 5 Lilliefort 0.08494660 0.072170069
## Pvalor minimo: 0.009196415
Conclusión: Se rechaza \(H_0\) por lo tanto los datos no proceden de una distribución normal.
Como la variable \(X\) no tiene distribución normal pero el tamaño \(n≥30\), se usará la estadística \(Z\) para muestras grandes para inferir la media de la población.
Inferencia para la media con la estadística Z
Sea \(\mu=\) Potencia media de 100 cápsulas del antibiótico.
\(H_0\): = 80 vs. \(H_a: \mu \neq 80\)
## RESULTADOS CON LA ESTADISTICA Z PARA MUESTRAS GRANDES
## Estadistica Valor
## 1 n 100.0000000
## 2 Media 77.5809319
## 3 DesvEst 12.7093945
## 4 ErrorEst 1.2709394
## 5 LIMedia 75.4904226
## 6 LSMedia 79.6714413
## 7 Zc -1.9033701
## 8 Pvalor 0.9715039Conclusión:El p-valor de 0.9715 indica que no hay suficiente evidencia para rechazar la hipótesis nula de que la media poblacional es 80%. Esto significa que no se puede concluir que la potencia media es diferente de 80% con los datos de esta muestra.
Inferencia para la media con la Estadística Z para muestras grandes
Problema 4.13 del taller de ejercicios
De acuerdo a ciertos informes, la lluvia ácida, causada por la reacción de ciertos contaminantes del aire con el agua de la lluvia, parece ser un problema creciente en algunas áreas. (La lluvia ácida afecta las tierras de cultivo y causa corrosión den los metales expuestos.) La lluvia pura que cae a través de aire limpio registra un valor pH (el pH es una medida de la acidez; o es ácido y 14 es alcalino) de 5.7. Supongamos que se analiza el pH de muestras de agua de 40 caídas de lluvia. ¿ El pH medio es mayor a 4? Construya un I.C. del 95% para la media poblacional.
Solución
Potencia media del antibiótico
## [1] 1.2253098 2.0672164 1.9099819 3.1298012 2.1304381 2.9480351
## [7] 3.7820837 2.5137672 3.1368552 3.5087637 1.3408798 2.4031105
## [13] 4.7358633 2.3860235 7.0021627 1.3945033 3.4333100 0.1924998
## [19] 3.7243812 3.2860349 2.3230757 4.4841937 1.3943896 2.2124155
## [25] 3.0099182 1.0196558 2.1142286 0.1174863 11.6749142 2.3590096
## [31] 3.7285934 9.0844387 4.4304754 1.7272755 7.4382514 2.5867994
## [37] 0.1070606 1.4222501 4.6387072 9.3321116Prueba de normalidad
Sea \(X=\) pH medio de 40 caídas de lluvia
H0: \(X\) tiene distribución normal vs. Ha: \(X\) no tiene distribución normal
##
## RESULTADOS PARA LA PRUEBA DE NORMALIDAD
## Estadistica ValorCal Pvalor
## 1 Shapiro-Wilk 0.8387669 4.857072e-05
## 2 Cramer-Von-Misses 0.3679951 5.191154e-05
## 3 Anderson-Darling 2.1400982 1.539098e-05
## 4 Shapiro-Francia 0.8338931 1.075946e-04
## 5 Lilliefort 0.1969073 4.531317e-04
## Pvalor minimo: 1.539098e-05
Conclusión: Se observa que los p-valores obtenidos son muy pequeños (menores que 0.05) por lo que se rechaza \(H_0\) indicando que los datos no proceden de una distribución normal.
Como la variable \(X\) no tiene distribución normal pero el tamaño \(n≥30\), se usará la estadística \(Z\) para muestras grandes para inferir la media de la población.
Inferencia para la media con la estadística Z
Sea \(\mu=\) Potencia media de 100 cápsulas del antibiótico.
\(H_0\): = 4 vs. $H_a: < 4
## RESULTADOS CON LA ESTADISTICA Z PARA MUESTRAS GRANDES
## Estadistica Valor
## 1 n 40.0000000
## 2 Media 3.2864068
## 3 DesvEst 2.5159163
## 4 ErrorEst 0.3978013
## 5 LIMedia 2.5067306
## 6 LSMedia 4.0660830
## 7 Zc -1.7938433
## 8 Pvalor 0.9635809Conclusión:El intervalo de confianza sugiere que la media poblacional del pH se encuentra entre 2.5071 y 4.0657. Dado que este intervalo incluye valores menores a 4, esto refuerza la conclusión de que no hay evidencia suficiente para afirmar que el pH medio es mayor a 4, lo que sugiere un problema potencial con la lluvia ácida en la zona analizada.
Inferencia para la media con la Estadística Z para muestras grandes
Problema 4.14 del taller de ejercicios
Los siguientes datos corresponde a los diámetros de una muestra aleatoria de 50 ejes metálicos producidos por un proceso de manufactura particular. Pruebe la hipótesis de que el diámetro medio de la población es mayor a 0.255. Construye un I.C. del 99% para la media poblacional
Solución
Diámetro de 50 ejes metálicos
## [1] 1.000000000 0.290682889 0.262469995 1.952139924 0.116680541 3.000000000
## [7] 0.015725157 0.219826216 0.757443479 0.796680724 0.144435527 1.411115787
## [13] 0.979125107 0.361678632 0.133560204 0.524909992 0.049906611 1.572369698
## [19] 0.855961052 1.006147403 8.000000000 0.305217019 0.027231222 0.815864231
## [25] 3.000000000 1.042915378 0.616881984 1.000000000 0.754839709 1.313933710
## [31] 0.093580422 3.272042419 0.407750520 1.035634269 0.007339042 0.197201920
## [37] 0.611606757 0.873596863 0.640706010 0.033330105 0.835075519 2.710741835
## [43] 1.494514687 0.008849170 1.852687598 0.051994359 1.662733626 1.115058004
## [49] 0.912442373 0.550685577Prueba de normalidad
Sea \(X=\) Diámetro promedio de 50 ejes metálicos
H0: \(X\) tiene distribución normal vs. Ha: \(X\) no tiene distribución normal
##
## RESULTADOS PARA LA PRUEBA DE NORMALIDAD
## Estadistica ValorCal Pvalor
## 1 Shapiro-Wilk 0.6538296 1.341281e-09
## 2 Cramer-Von-Misses 0.7117703 4.697803e-08
## 3 Anderson-Darling 4.0603717 2.964762e-10
## 4 Shapiro-Francia 0.6368875 1.365133e-08
## 5 Lilliefort 0.2310749 4.194356e-07
## Pvalor minimo: 2.964762e-10
Conclusión: Se rechaza \(H_0\) al 5 %, por lo tanto los datos no proceden de una distribución normal.
Como la variable \(X\) no tiene distribución normal pero el tamaño \(n≥30\), se usará la estadística \(Z\) para muestras grandes para inferir la media de la población.
Inferencia para la media con la estadística Z
Sea \(\mu=\) Diámetro promedio de 50 ejes metálicos
\(H_0\): = 0.255 $ vs. \(H_a: \mu < 0.255\)
## RESULTADOS CON LA ESTADISTICA Z PARA MUESTRAS GRANDES
## Estadistica Valor
## 1 n 5.000000e+01
## 2 Media 1.013906e+00
## 3 DesvEst 1.296566e+00
## 4 ErrorEst 1.833621e-01
## 5 LIMedia 5.415968e-01
## 6 LSMedia 1.486216e+00
## 7 Zc 4.138840e+00
## 8 Pvalor 1.745333e-05Conclusión: Se rechaza \(H_0\) al 1%, por lo tanto hay evidencia para decir que el diámetro promedio es mayor a 0.255. El I.C. se encuentra entre 0.54 y 1.48.
Inferencia para la media con la Estadística Z para muestras grandes
Problema 4.28 del taller de ejercicios
Se realizó un estudio en una muestra aleatoria de 30 individuos, y se midió el porcentaje de aumento del contenido de alcohol en la sangre en cada uno de ellos, después de ingerir cuatro cervezas. ¿Creería la afirmación de que el incremento medio es menor del 35%?. Construye un I.C. DEL 95% para el parámetro de interés.
Solución
Aumento de contenido de alcohol en la sangre de 80 personas
## [1] 51.38234 29.98506 69.18763 41.60134 39.55086 42.44797 30.63086 28.56515
## [9] 31.16192 39.92209 45.68054 51.43033 53.25437 50.61173 44.27893 39.85408
## [17] 35.83929 41.26702 35.87898 35.07170 42.42956 34.11946 37.49582 44.59777
## [25] 56.60595 42.04536 41.94896 41.47954 41.57356 41.01021Prueba de normalidad
Sea \(X=\) Aumento de nivel de alcohol en la sangre
H0: \(X\) tiene distribución normal vs. Ha: \(X\) no tiene distribución normal
##
## RESULTADOS PARA LA PRUEBA DE NORMALIDAD
## Estadistica ValorCal Pvalor
## 1 Shapiro-Wilk 0.9235688 0.03322637
## 2 Cramer-Von-Misses 0.1353977 0.03475582
## 3 Anderson-Darling 0.7248209 0.05245598
## 4 Shapiro-Francia 0.9154254 0.02264475
## 5 Lilliefort 0.1806574 0.01367975
## Pvalor minimo: 0.01367975
Conclusión: Se rechaza H0 para los estadísticos de prueba a excepción de Anderson-Darling, el aumento del nivel de alcohol no procede de una distribución normal.
Como la variable \(X\) no tiene distribución normal pero el tamaño \(n≥30\), se usará la estadística \(Z\) para muestras grandes para inferir la media de la población.
Inferencia para la media con la estadística Z
Sea \(\mu=\) Aumento promedio en el nivel de alchol
\(H_0: \mu = 35\) vs. \(H_a: \mu < 35\)
## RESULTADOS CON LA ESTADISTICA Z PARA MUESTRAS GRANDES
## Estadistica Valor
## 1 n 30.0000000
## 2 Media 42.0302798
## 3 DesvEst 8.6114834
## 4 ErrorEst 1.5722346
## 5 LIMedia 38.9487567
## 6 LSMedia 45.1118029
## 7 Zc 4.4715209
## 8 Pvalor 0.9999961Conclusión: No se rechaza H0 al 5 %, por lo tanto, los datos no muestran suficiente evidencia para decir que la disminución promedio en el nivel de colesterol es de más de 25 puntos. El intervalo de confianza indica que la disminución promedio en el nivel de colesterol se encuentra entre 24.63 y 28.02 puntos con una probabilidad de 0.95. El I.C. se encuentra entre 38.9487567 y 45.1118029.