Distribución de probabilidad Ji o Chi cuadrado

Notación

\[ X{\sim}\chi^2_{(n)} \]

Nota: La suma de variables aleatorias normales o distribuidas de forma normal o Gaussiana, elevadas al cuadrado sigue o tiene una distribución ji o chi cuadrado; con grados de libertad igual al número de variables aleatorias sumadas

Construcción

\[ \text{Si }X_1,X_2,\ldots,X_n\stackrel{iid}{\sim}N(\mu_x,\sigma^2_x)\text{ entonces }X=\sum_{i=1}^{n}X_i^2{\sim}\chi_{(n)}^2 \]

Parámetros

\[ E(X)=n \] \[ Var(X)=2n \]

Smulación, deducción y ejercicios

library(tidyverse)

## ── Attaching core tidyverse packages ──────────────────────── tidyverse 2.0.0 ──
## ✔ dplyr     1.1.4     ✔ readr     2.1.5
## ✔ forcats   1.0.0     ✔ stringr   1.5.1
## ✔ ggplot2   3.5.1     ✔ tibble    3.2.1
## ✔ lubridate 1.9.3     ✔ tidyr     1.3.1
## ✔ purrr     1.0.2     
## ── Conflicts ────────────────────────────────────────── tidyverse_conflicts() ──
## ✖ dplyr::filter() masks stats::filter()
## ✖ dplyr::lag()    masks stats::lag()
## ℹ Use the conflicted package (<http://conflicted.r-lib.org/>) to force all conflicts to become errors

library(ggfortify)

chi.cuadrado <- function(df,fill="gray",colour="black",p=NULL){
  ggdistribution(
    func=dchisq,
    x=seq(
      from=0,
      to=9*sqrt(2*df),
      by=0.01
    ),
    df=df,
    fill=fill,
    colour=colour,
    p=p
  )
}

chi.cuadrado(
  df=3
)

chi.cuadrado(
  df=3,
  p=chi.cuadrado(
    df=17,
    fill="red",
    colour="orange"
  )
)

chi.cuadrado(
  df=3,
  p=chi.cuadrado(
    df=17,
    fill="red",
    colour="orange",
    p=chi.cuadrado(
      df=31,
      fill="yellow",
      colour="green"
    )
  )
)

Construcción de la variable aleatoria

ji.cuadrado <- function(n,df,fill="orange",color="red"){
  chicuadradosimulada <- replicate(
    n=n,
    expr=sum(
      rnorm(df)**2
    )
  )
  valoresenx <- seq(
    from=0,
    to=max(chicuadradosimulada),
    by=0.01
  )
  densidadchicuadrado <- dchisq(
    x=valoresenx,
    df=df
  )
  chicuadradoteorica <- data.frame(x=valoresenx,y=densidadchicuadrado)
  ggplot() + 
    geom_histogram(
      mapping=aes(
        x=chicuadradosimulada,
        y=after_stat(density),
      ),
      bins=round(x=sqrt(x=n),digits=0),
      fill=fill,
      color=color
    ) + 
    geom_line(
      data=chicuadradoteorica,
      mapping=aes(x=x,y=y),
      color="black",
      alpha=0.7,
      linewidth=2
    )
}

ji.cuadrado(n=10000,df=3)

ji.cuadrado(n=10000,df=17,fill="yellow",color="green")

ji.cuadrado(n=10000,df=31,fill="blue",color="magenta")

Cálculo de probabilidades

• \(P_{\chi_3^2}(X=1)\)

densidad.chicuadrado <- function(x, df) {
  ggdistribution(
    func=dchisq,
    x=seq(
      from=0,
      to=6*sqrt(2*df),
      by=0.01
    ),
    df=df,
    colour="blue",
    p=ggdistribution(
      func=dchisq,
      x=seq(
        from=x-0.05,
        to=x+0.05,
        by=0.01
      ),
      df=df,
      fill="blue"
    )
  ) +
    labs(
      subtitle=bquote(
        P(chi[.(df)]^2==.(x))==.(round(
          x=dchisq(
            x=x,
            df=df
          ),
          digits=4
        ))
      )
    )
}

densidad.chicuadrado(x=1,df=3)

• \(P_{\chi_3^2}(X{\leq}1)\)

distribucion.chicuadrado <- function(q, df, lower.tail=TRUE) {
  ggdistribution(
    func=dchisq,
    x=seq(
      from=0,
      to=6*sqrt(2*df),
      by=0.01
    ),
    df=df,
    colour="blue",
    p=ggdistribution(
      func=dchisq,
      x=if(lower.tail==TRUE){
      seq(
        from=0,
        to=q,
        by=0.01
      )
    } else {
      seq(
        from=q,
        to=6*sqrt(2*df),
        by=0.01
      )
    },
      df = df,
      fill = "blue"
    )
  ) +
    labs(
      subtitle=bquote(
        P(chi[.(df)]^2 <= .(q)) == .(round(
          x=pchisq(
            q=q,
            df=df,
            lower.tail=lower.tail
          ),
          digits=4
        ))
      )
    )
}

distribucion.chicuadrado(q=1,df=3,lower.tail=TRUE)

• \(P_{\chi_3^2}(1{\leq}X{\leq}5)\)

probabilidad.chicuadrado <- function(q1, q2, df) {
  ggdistribution(
    func=dchisq,
    x=seq(
      from=0,
      to=6*sqrt(2*df),
      by=0.01
    ),
    df=df,
    colour="blue",
    p=ggdistribution(
      func=dchisq,
      x=seq(
        from=q1,
        to=q2,
        by=0.01
      ),
      df = df,
      fill = "blue"
    )
  ) +
    labs(
      subtitle=bquote(
        P(chi[.(df)]^2 <= .(q2)) - P(chi[.(df)]^2 <= .(q1)) == .(round(
          x=pchisq(
            q=q2,
            df=df
          )-pchisq(
            q=q1,
            df=df
          ),
          digits=4
        ))
      )
    )
}

probabilidad.chicuadrado(q1=1,q2=5,df=3)

Tarea

• \(P_{\chi_5^2}(X{\geq}3)\)

• \(P_{\chi_7^2}(X{\geq}5)\)

• \(P_{\chi_9^2}(X{\geq}7)\)

• \(P_{\chi_11^2}(X{\geq}9)\)