| itle: “Notas de Física” |
| uthor: “Jorge Tilano” |
| ate: “29/10/24” |
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En este capítulo se detallan los elementos de la mecánica, teniendo en cuenta los fundamentos claves, abarcando las magnitudes de la Ciencia y los estándares, el movimiento en una dimensión, el movimiento rectilineo uniforme, el movimiento rectilineo uniformemente acelerado, la caída libre, el movimiento en dos dimensiones, el principio de conservación de la energía, las leyes de Newton y su importancia en la explicación de fenómenos y la indagación, la cantidad de movimiento y los tipos de colisiones, la rotación de cuerpos rígidos, juntamente con sus principos básicos, y las leyes de la mecánica de fluidos.
El presente estudio, se trata de un análisis rico en tablas y gráficas, que permitan comprender mejor los temas, y a su vez, se hace enfasis en el aprendizaje por competencias antes que en priorizar en los contenidos.
Elementos del Movimiento
En primera instancia, se busca desarrollar un conjunto de principios y escenarios posibles donde se pueden usar los principios de la Mecánica Clásica, para explicar el movimiento.
Los movimientos claves abordados, tratan los fundamentos útiles, en el tratado vectorial, dividiendo los movimientos en el plano en sus componentes.
En la sección de energía se simplifican las cosas, ya que el principio de conservación, permite a partir de una ecuación describir esos resultados ya conocidos.
Movimiento Rectílineo Uniforme
Al interpretar el movimiento rectilineo uniforme, a la luz de las leyes de Newton, se encuentra algo muy importante ligado a la ley de la inercia, que es el movimiento equilibrado sin presencia de aceleración. Todo cuerpo tiende a permanecer en movimiento rectilineo uniforme a no ser que haya una fuerza que lo haga cambiar ese estado. Por lo tanto, el movimiento a velocidad constante deriva tres características importantes: (1) El cuerpo sigue una trayectoria rectilinea. (2) La Rapidez del cuerpo es constante, esto es, el cuerpo recorre una distancia fija en el tiempo fijo (distancia y tiempo son proporcionales). (3) No existe aceleración ya que no hay cambios de ritmo en la velocidad del cuerpo. En el ejemplo que sigue se plantea el movimiento de un auto a velocidad de 80 Km/h en una carretera recta durante 7 horas.
t=c(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7)
v=c(40, 80, 200)t=tiempo en horas; x=distancia en kilómetros
x1=v[1]*t; x2=v[2]*t; x3=v[3]*t
ts=c(t,t,t);x=c(x1,x2,x3)plot(ts, x, xlab="Tiempo en horas", ylab="Distancia recorrida en kilómetros", main="Grafica de posición tiempo", col=c("red","red","red","red","red","red","red","red","blue","blue","blue","blue","blue","blue","blue","blue", "green","green","green","green","green","green","green","green"))
A mayor velocidad, el auto recorre mayor distancia. Se puede esperar que tarde menos tiempo en recorrer una distancia fija, al incrementar su velocidad; con un control de la velocidad limite. La pendiente de cada recta da la velocidad, el color verde, en este caso representa la de mayor velocidad. Esto se expresa como v=d/t.
Problemas de Persecución
Supongamos que los autos A a 40 km/h y B a 200 km/h, van en una persecución sobre la misma carretera recta. Si los autos están separados 400 km al iniciar puede pasar que: (1) el auto de 40 persiga al de 200, y no podrá alcanzarlo, la distancia se aumenta a través del tiempo; (2) el auto de 200 persigue al de 40, y logra alcanzarlo despues de cierto tiempo.
Calcule la velocidad relativa del auto a 200 con respecto al auto a 40.
Calcule el tiempo que tarda en alcanzarlo.
Calcule la distancia que recorre cada uno.
Solución
\(v_R=V_B-V_A=(200-40)km/h=160km/h\)
\(t=d/V_R=400km/(160km/h)=2.5h\)
\(x_A=V_A.t=40km/hx2.5h=100km\)
\(x_B=V_B.t=200km/hx2.5h=500km\)
\(x_B-x_A=400km\)
t=c(0,0.5,1,1.5,2,2.5,0,0.5,1,1.5,2,2.5);
x_A=c(0,20,40,60,80,100);x_B=c(0,100,200,300,400,500);
x=c(x_A+400,x_B)plot(t,x,xlab="Tiempo empleado en horas", ylab="Posición de los autos", main="Gráfico de posición tiempo autos A y B", col=c("red","red","red","red","red","red","blue","blue","blue","blue","blue","blue"))
Problemas de Cruce
Supongamos que los autos A a 40 km/h y B a 160 km/h, van en sentido opuesto, hacia el encuentro, en un cruce sobre la misma carretera recta. Si los autos están separados 400 km al iniciar, sucede que los autos se encuentran despues de cierto tiempo.
Calcule la velocidad relativa de proximidad de los autos.
Calcule el tiempo que tardan en encontrarse.
Calcule la distancia que recorre cada uno.
Solución:
La velocidad relativa de proximidad de los autos es \[v_R=V_B+V_A=(160+40)km/h=200km/h\]
el tiempo que tardan en encontrarse los autos es \[t=d/V_R=400km/(200km/h)=2h\]
Se obtiene que:
\[\begin{eqnarray*} x_A &=&V_A \cdot t=40km/hx2h = 80km \\ x_B &=& V_B \cdot t=160km/hx2h = 320km \end{eqnarray*}\]
Es decir,
\[x_B+x_A = 6400km \]
Consideremos los siguientes valores particulares de las variables anteriores:
t=c(0,0.5,1,1.5,2,0,0.5,1,1.5,2);
x_A=c(0,20,40,60,80);x_B=c(0,80,160,240,320);
x=c(400-x_A,x_B)Con lo anterior, la gráfica correspondiente es:
plot(t,x,xlab="Tiempo empleado en horas", ylab="Posición de los autos", main="Gráfico de posición tiempo autos A y B", col=c("red","red","red","red","red","blue","blue","blue","blue","blue"))
La distancia se va acortando entre ellos a razón de 200 km por cada hora de tiempo en movimiento.
Aplicaciones de M. R. U
Entre las aplicaciones importantes del movimiento rectilineo uniforme, se encuentran las que estudian la propagación de ondas como el sonido en un medio gaseoso, líquido ó sólido; y la luz ó la radiación electromagnética en el vacío o en un medio refringente como agua o vidrio.
Ejemplo: Considere que en aire a 15 °C, la velocidad del sonido es de 340 m/seg. Bien, como podemos usar esa información para hallar la distancia a la que se produce el trueno del observador, si la perturbación tarda 1.5 segundos en llegar a este.
En principio, la distancia recorrida es proporcional al tiempo, por lo que x=vt. Entonces, empleando los datos disponibles, se tiene x=340m/seg x 1.5 seg =510 metros. El trueno ocurre a una distancia cerca de medio kilómetro del observador.
A su vez, el relámpago tarda 1.7 microsegundos en ser percibido, lo que deja la sensación de que el destello de luz se produce de forma instantánea, pues, ese tiempo no puede ser discriminado por un ser humano.
Ejemplo: Considere una onda de sonido en el agua, esta se trata de una onda longitudinal que viaja alrededor de 1500 m/seg. En este se quiere medir el tiempo que tarda la onda sonora bajo el agua, en recorrer 600 metros.
Ahora, se trata de medir el tiempo; lo cual, está relacionado con distancia y velocidad en la forma t=d/v. En el caso, de problemas de posición, se tiene la precaución de que posición no es igual a distancia, así que se debe utilizar la relación entre la distancia y la velocidad, señalada anteriormente.
Por tanto, se tiene t=d/v=600m/(1500m/seg)=0.4 seg. Tarda debajo del agua 0.4 segundos, en el aire a 15°C hubiese tardado casi 2 segundos, lo cual, significa una gran diferencia entre la propagación del sonido en los dos medios.
Movimiento Rectilineo Uniformemente Acelerado
El movimiento rectilíneo uniformemente acelerado desde la perspectiva de las leyes de Newton, es el movimiento de desequilibrio que se origina con una aceleración constante, y permite originar las 3 características:
Trayectoria rectilinea, es decir movimiento en un segmento recto.
Velocidad variable, y específicamente, en forma proporcional con el tiempo.
La posición de la partícula, en función del tiempo, puede ser descrita siguiendo una ecuación de segundo grado del tiempo. Su gráfica es una parábola.
Aquí no se estudian problemas de aplicar las ecuaciones, sino la interpretación de cada ecuación con los términos que intervienen en cada una de ellas.
Términos claves del M.R.U.A
Algunos términos básicos para entender esta lección son:
Tiempo: es la duración de un suceso. Se mide en segundos, minutos u horas.
Posición: es el punto que ocupa una partícula en su trayecto.
Distancia: es la longitud de trayectoria seguida por la partícula. No puede ser negativa y depende de una métrica.
Rapidez: es la distancia que recorre la partícula por unidad de tiempo.
Desplazamiento: Es un vector cuya magnitud es la magnitud de la diferencia entre dos posiciones.
Velocidad: es el cociente entre desplazamiento y tiempo. También es una cantidad vectorial como el desplazamiento.
Aceleración: es la cantidad vectorial que mide el cambio de velocidad por unidad de tiempo.
Ejemplos
Para los siguientes móviles, en sistema MKS
\(x_1(t)=3+4t+4t^2\), \(t<=3\)
\(x_2(t)=5+6t+3t^2\), \(t<4\)
\(x_3(t)=7+2t+t^2\), \(t<5\)
\(x_4(t)=10+3t+2t^2\), \(t<4\)
\(x_5(t)=5t^2\), \(t<=3\)
Encuentre:
Posición inicial, velocidad inicial y aceleración en [(1)].
La gráfica de posición, velocidad y aceleración en función del tiempo.
La posición a los 3 segundos.
La velocidad a los 3 segundos.
Si x(t)=20 m, determine el tiempo.
SOLUCIÓN:
Móvil No. 1:
En principio, se contrasta con la ecuación general de posición, dada por
\[X(t) =x_0+v_0t+1/2.a.t^2\]
Por lo tanto, se tiene
Parte (a):
Posición inicial \(X_1(0)=3m\),
velocidad inicial \(V_1(0)=4m/s\)
Teniendo en cuenta que \(1/2a_1=4m/s^2\), el término de la aceleración es \(a_1=8m/s^2\).
Parte (b):
Las gráficas de x y v simultáneas serían
t=seq(from=0, to=3, by=0.1)
x_1=3+4*t+4*t^2
x_2=5+6*t+3*t^2
x_3=7+2*t+t^2
x_4=10+3*t+2*t^2
x_5=5*t^2
plot(t,x_1,type="l",col="red",lwd=1,xlab="Tiempo transcurrido",ylab="Posición", main="Gráficas de Posición tiempo")
lines(t,x_2,col="blue",lwd=1)
lines(t,x_3,col="black",lwd=1)
lines(t,x_4,col="brown",lwd=1)
lines(t,x_5,col="green",lwd=1)
v_1=4+8*t; v_2=6+6*t; v_3=2+2*t; v_4=3+4*t; v_5=10*t;
plot(t,v_1,type="l",col="red",lwd=0.3, xlab="Tiempo transcurrido",ylab="Velocidad", main="Gráficas de Velocidad tiempo")
lines(t,v_2,col="blue",lwd=0.3)
lines(t,v_3,col="black",lwd=0.3)
lines(t,v_4,col="brown",lwd=0.3)
lines(t,v_5,col="green",lwd=0.3)
Todas las gráficas de velocidad en función del tiempo son lineales.
- Las posiciones a los 3 segundos, como se observa en la
gráfica respectiva, serían en metros
\[x_1=3+4(3)+4(3)^2=3+12+36=51\] \[x_2=5+6(3)+3(3)^2=5+18+27=50\] \[x_3=7+2(3)+(3)^2=7+6+9=22\] \[x_4=10+3(3)+2(3)^2=10+9+18=37\] \[x_5=5(3)^2=5(9)=45\] (d) La velocidad a los 3 segundos, serían en \(m/s\)
\[v_1=4+8(3)=4+24=28\] \[v_2=6+6(3)=6+18=24\] \[v_3=2+2(3)=2+6=8\] \[v_4=3+4(3)=3+12=15\] \[v_5=10(3)=30\] (e) Pongamos \(X=20\), en las ecuaciones de posición contra tiempo. De esto surgen las ecuaciones
\[t^2+t-17/4=0\]
\[t^2+2t-5=0\]
\[t^2+2t-13=0\]
\[t^2+3/2t-5=0\]
\[t^2-4=0\]
Si imaginamos la ecuación \(t^2+at+b=0\), entonces la solución válida es \(t=-a/2+\sqrt{a^2/4-b}\). Luego, las soluciones correctas, en segundos, son
\(t_1=-\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{17}{4}}\)
\(t_2=-1+\sqrt{1+5}\)
\(t_3=-1+\sqrt{1+13}\)
\(t_4=-\frac{3}{4}+\sqrt{\frac{9}{16}+5}\)
y \(t_5=2\)
Compruebe que reemplazando estos valores en las ecuaciones originales se obtiene \(x=20\).
Movimiento Parabólico
A la luz de las leyes de Newton, el movimiento parabólico, es un movimiento combinado por dos movimientos: el movimiento horizontal es a velocidad constante, sin aceleración y es un movimiento rectilineo uniforme, es decir, un movimiento equilibrado; y el movimiento vertical es un movimiento de desequilibrio provocado por la aceleración de la gravedad, tiene velocidad variable (la velocidad vertical es una función lineal del tiempo) y su aceleración en cualquier punto es igual a la aceleración de la gravedad con magnitud 9.8 m/seg^2 y dirigida hacia abajo (se toma negativa y de esto surge la trayectoria parabólica con eje sobre la vertical y un punto máximo de altura). Esto indica la caída del cuerpo bajo la presencia del campo gravitatorio, la parábola abre hacia abajo.
En el primer ejemplo se estudia el lanzamiento del proyectil con condiciones iniciales: velocidad inicial, v_0, en m/seg y ángulo de tiro, A, en grados.
v_0=c(10,20,30,40,50,60,70,80);A=c(30,45,60,30,45,60,30,45)Sistema MKS; Altura maxima: H_m; Tiempo de vuelo: T_v; Alcance horizontal: R
H_m=v_0^2*(sin(A*3.14159/180))^2/(2*9.8);
T_v=2*v_0*sin(A*3.14159/180)/9.8;
R= v_0^2*sin(2*A*3.14159/180)/9.8
rs=cbind(v_0,A,H_m, T_v, R);rs## v_0 A H_m T_v R
## [1,] 10 30 1.275508 1.020407 8.836989
## [2,] 20 45 10.204068 2.886148 40.816327
## [3,] 30 60 34.438740 5.302194 79.533026
## [4,] 40 30 20.408132 4.081630 141.391830
## [5,] 50 45 63.775426 7.215371 255.102041
## [6,] 60 60 137.754961 10.604387 318.132106
## [7,] 70 30 62.499904 7.142852 433.012481
## [8,] 80 45 163.265090 11.544593 653.061224Graficos de trayectoria
Este es el gráfico que describe simultáneamente, las trayectorias seguidas por los proyectiles
x=cbind(0,R/20,2*R/20,3*R/20,4*R/20,5*R/20,6*R/20,7*R/20,8*R/20,9*R/20,10*R/20,11*R/20,12*R/20,13*R/20,14*R/20,15*R/20,16*R/20,17*R/20,18*R/20,19*R/20,R)
y=tan(A*3.14159/180)*x-4.9/(v_0*cos(A*3.14159/180))^2*x^2
plot(rbind(x[1,],x[2,],x[3,],x[4,],x[5,],x[6,],x[7,],x[8,]),rbind(y[1,],y[2,],y[3,],y[4,],y[5,],y[6,],y[7,],y[8,]),xlab="Recorrido horizontal, x",ylab="Altura alcanzada, y",main="Trayectoria real", col=c("gray","orange","brown", "black","blue","red","green", "purple"))
v_0=c(80,80,80,80,80,80,80,80);A=c(5,15,25,35,45,60,70,80)H_m=v_0^2*(sin(A*3.14159/180))^2/(2*9.8);
T_v=2*v_0*sin(A*3.14159/180)/9.8;
R1= v_0^2*sin(2*A*3.14159/180)/9.8
rs=cbind(v_0,A,H_m, T_v, R1);rs## v_0 A H_m T_v R1
## [1,] 80 5 2.480363 1.422950 113.4028
## [2,] 80 15 21.873367 4.225614 326.5304
## [3,] 80 25 58.320298 6.899885 500.2736
## [4,] 80 35 107.425124 9.364506 613.6766
## [5,] 80 45 163.265090 11.544593 653.0612
## [6,] 80 60 244.897709 14.139183 565.5682
## [7,] 80 70 288.333570 15.341915 419.7807
## [8,] 80 80 316.684378 16.078491 223.3615Graficos de trayectoria con Velocidad inicial fija
Este es el gráfico que describe simultáneamente, las trayectorias seguidas por los proyectiles
x1=cbind(0,R1/20,2*R1/20,3*R1/20,4*R1/20,5*R1/20,6*R1/20,7*R1/20,8*R1/20,9*R1/20,10*R1/20,11*R1/20,12*R1/20,13*R1/20,14*R1/20,15*R1/20,16*R1/20,17*R1/20,18*R1/20,19*R1/20,R1)
y=tan(A*3.14159/180)*x1-4.9/(v_0*cos(A*3.14159/180))^2*x1^2plot(rbind(x[1,],x[2,],x[3,],x[4,],x[5,],x[6,],x[7,],x[8,]),rbind(y[1,],y[2,],y[3,],y[4,],y[5,],y[6,],y[7,],y[8,]),xlab="Recorrido horizontal, x",ylab="Altura alcanzada, y",main="Trayectoria real a velocidad fija", col=c("gray","orange","brown", "black","blue","red","green", "purple"))
En el anterior gráfico, se observa que al aumentar el ángulo de tiro, la altura máxima aumenta, pero, el ángulo que produce el mayor alcance horizontal es el de 45 grados, cuando se mantiene constante la velocidad inicial.
v_0=c(20,30,40,50,60,70,80,90);A=c(45,45,45,45,45,45,45,45)H_m=v_0^2*(sin(A*3.14159/180))^2/(2*9.8);
T_v=2*v_0*sin(A*3.14159/180)/9.8;
R2= v_0^2*sin(2*A*3.14159/180)/9.8
rs=cbind(v_0,A,H_m, T_v, R2);rs## v_0 A H_m T_v R2
## [1,] 20 45 10.20407 2.886148 40.81633
## [2,] 30 45 22.95915 4.329222 91.83673
## [3,] 40 45 40.81627 5.772296 163.26531
## [4,] 50 45 63.77543 7.215371 255.10204
## [5,] 60 45 91.83661 8.658445 367.34694
## [6,] 70 45 124.99983 10.101519 500.00000
## [7,] 80 45 163.26509 11.544593 653.06122
## [8,] 90 45 206.63238 12.987667 826.53061Graficos de trayectoria con ángulo de tiro constante de 45°
Este es el gráfico que describe simultáneamente, las trayectorias seguidas por los proyectiles
x=cbind(0,R2/20,2*R2/20,3*R2/20,4*R2/20,5*R2/20,6*R2/20,7*R2/20,8*R2/20,9*R2/20,10*R2/20,11*R2/20,12*R2/20,13*R2/20,14*R2/20,15*R2/20,16*R2/20,17*R2/20,18*R2/20,19*R2/20,R2)
y=tan(A*3.14159/180)*x-4.9/(v_0*cos(A*3.14159/180))^2*x^2plot(rbind(x[1,],x[2,],x[3,],x[4,],x[5,],x[6,],x[7,],x[8,]),rbind(y[1,],y[2,],y[3,],y[4,],y[5,],y[6,],y[7,],y[8,]),xlab="Recorrido horizontal, x",ylab="Altura alcanzada, y",main="Trayectoria real con angulo fijo a 45°", col=c("gray","orange","brown", "black","blue","red","green", "purple"))
En el anterior gráfico, se observa que al aumentar la velocidad, la altura máxima aumenta así como el alcance horizontal del proyectil, cuando se mantiene constante el ángulo de lanzamiento.
v_0=c(20,30,40,50,60,70,80,90);A=c(30,30,30,30,30,30,30,30)H_m=v_0^2*(sin(A*3.14159/180))^2/(2*9.8);
T_v=2*v_0*sin(A*3.14159/180)/9.8;
R3= v_0^2*sin(2*A*3.14159/180)/9.8
rs=cbind(v_0,A,H_m, T_v, R3);rs## v_0 A H_m T_v R3
## [1,] 20 30 5.102033 2.040815 35.34796
## [2,] 30 30 11.479574 3.061222 79.53290
## [3,] 40 30 20.408132 4.081630 141.39183
## [4,] 50 30 31.887706 5.102037 220.92474
## [5,] 60 30 45.918297 6.122444 318.13162
## [6,] 70 30 62.499904 7.142852 433.01248
## [7,] 80 30 81.632528 8.163259 565.56732
## [8,] 90 30 103.316168 9.183666 715.79614Graficos de trayectoria con ángulo de tiro constante de 30°
Este es el gráfico que describe simultáneamente, las trayectorias seguidas por los proyectiles
x=cbind(0,R3/20,2*R3/20,3*R3/20,4*R3/20,5*R3/20,6*R3/20,7*R3/20,8*R3/20,9*R3/20,10*R3/20,11*R3/20,12*R3/20,13*R3/20,14*R3/20,15*R3/20,16*R3/20,17*R3/20,18*R3/20,19*R3/20,R3)
y=tan(A*3.14159/180)*x-4.9/(v_0*cos(A*3.14159/180))^2*x^2plot(rbind(x[1,],x[2,],x[3,],x[4,],x[5,],x[6,],x[7,],x[8,]),rbind(y[1,],y[2,],y[3,],y[4,],y[5,],y[6,],y[7,],y[8,]),xlab="Recorrido horizontal, x",ylab="Altura alcanzada, y",main="Trayectoria real con angulo fijo a 30°", col=c("gray","orange","brown", "black","blue","red","green", "purple"))
En el anterior gráfico, se observa que al aumentar la velocidad, la altura máxima aumenta así como el alcance horizontal del proyectil, cuando se mantiene constante el ángulo de lanzamiento. Se conserva el patrón sea cual sea el ángulo.
El Plano Inclinado
En esta sección, se discuten los elementos del plano inclinado, con sus características esenciales, realizando un enfásis especial en las propiedades importantes de este sistema mecánico, que permite estudiar en forma precisa la aceleración y velocidad, bajo los efectos de la aceleración de la gravedad local.
Esta clase de preparación, trata los aspectos puestos en común para el plano inclinado. Para ello, se realiza un abordaje de las competencias claves del uso comprensivo del conocimiento científico, la explicación de fenómenos y la indagación, con lo cual, se busca favorecer una Física Práctica basada en experiencias.
En esta gráfica, se observa el tiempo de descenso de un bloque y una esfera, por un plano inclinado de longitud fija, para distintos valores del desplazamiento horizontal o lado adyacente, en un plano inclinado. Esta gráfica corresponde a un diagrama de dispersión del tiempo, en el que se observa el tiempo que emplean bloque y esfera para descender sobre un plano inclinado. Al aumentar el desplazamiento horizontal, el tiempo de descenso tambien aumenta, pero la esfera avanza más rápido, con mayor velocidad y con mayor aceleración.
x=c(58,69,78)
t_b=c(0.470,0.526,0.604)
t_e=c(0.372,0.480,0.518)Velocidades y Aceleración CGS
Las velocidades medias y aceleración medias, en el sistema CGS (centimetros, gramos y segundos), se calculan: la velocidad media tomando la longitud del plano L en centímetros \(L=94\) y dividiendo esa cantidad por el tiempo de descenso, tanto del bloque como de la esfera, para cada valor de x, el lado adyacente; y la aceleración de bloque y esfera sería la razón entre dos veces la velocidad media entre el tiempo de descenso. Para ello, pongamos el índice
L=94
i=c(1,2,3)Se reemplaza i como indice para cada valor tabulado.
v_b=L/t_b
v_e=L/t_e
a_b=2*v_b/t_b
a_e=2*v_e/t_e## Velocidad media del bloque:## [1] 200.00 178.71 155.63## [1] 252.69 195.83 181.47## [1] 851.06 679.51 515.33## [1] 1358.55 815.96 700.66En este caso, las salidas de esta formulación, son las siguientes
ss=cbind(x,v_b,v_e,a_b,a_e)
ss <- data.frame(ss)
kable(ss, align="c") %>% #Knitr Puedes utilizar: c, l , r
kable_styling() %>% #library(kableExtra).... Solo para knit to html
kable_classic_2(full_width = F) #library(kableExtra)....Solo para knit to html| x | v_b | v_e | a_b | a_e |
|---|---|---|---|---|
| 58 | 200.00 | 252.69 | 851.06 | 1358.55 |
| 69 | 178.71 | 195.83 | 679.51 | 815.96 |
| 78 | 155.63 | 181.47 | 515.33 | 700.66 |
ss=cbind(x,v_b,v_e,a_b,a_e)
ss <- data.frame(ss)
kable(ss, align="l") %>% #Knitr Puedes utilizar: c, l , r
kable_styling() %>% #library(kableExtra).... Solo para knit to html
kable_classic_2(full_width = F) #library(kableExtra)....Solo para knit to html| x | v_b | v_e | a_b | a_e |
|---|---|---|---|---|
| 58 | 200.00 | 252.69 | 851.06 | 1358.55 |
| 69 | 178.71 | 195.83 | 679.51 | 815.96 |
| 78 | 155.63 | 181.47 | 515.33 | 700.66 |
ss %>%
kbl() %>%
kable_paper(full_width = F) %>%
column_spec(4, color = spec_color(ss$a_b[1:2]),
link = "https://haozhu233.github.io/kableExtra/") %>%
column_spec(3, color = "white",
background = spec_color(ss$v_e[1:2], end = 0.7),
popover = paste("am:", ss$am[1:2]))%>% #Knitr Puedes utilizar: c, l , r
kable_styling() %>% #library(kableExtra).... Solo para knit to html
kable_classic_2(full_width = F) #library(kableExtra)....Solo para knit to html## Warning in ensure_len_html(color, nrows, "color"): The number of provided
## values in color does not equal to the number of rows.## Warning in ensure_len_html(background, nrows, "background"): The number of
## provided values in background does not equal to the number of rows.| x | v_b | v_e | a_b | a_e |
|---|---|---|---|---|
| 58 | 200.00 | 252.69 | 851.06 | 1358.55 |
| 69 | 178.71 | 195.83 | 679.51 | 815.96 |
| 78 | 155.63 | 181.47 | 515.33 | 700.66 |
Estas son las velocidades y aceleraciones, por caso, para bloque y esfera.
L=94
x=c(58,69,78)
t_b=c(0.470,0.526,0.604)
t_e=c(0.372,0.480,0.518)
v_b=L/t_b
v_b =round(v_b, 2)
v_e=L/t_e
v_e=round(v_e,2)
x<-c(x,x)
y=c(v_b,v_e)
plot(x,y, xlab="Lado adyacente", ylab="velocidad media", main="Diagrama de velocidades", col=c("red","red", "red","blue","blue", "blue")) 
#gather data from columns 2 and 3
x_v_bv_e <- gather(ss[,1:3], key="Tipo", value="velocidad", 2:3)
x_v_bv_e <- data.frame(x_v_bv_e)names(x_v_bv_e)## [1] "x" "Tipo" "velocidad"#https://ggplot2.tidyverse.org/reference/geom_point.html
#https://rpubs.com/hllinas/toc
ggplot(x_v_bv_e, aes(x = x, y= velocidad)) + #1
#geom_point(size=20, shape=5) +
geom_point(size=3) +
geom_point(aes(colour = Tipo))+
labs(x="Longitud adyacente",y= "Velocidad media") +
ggtitle("Diagrama de dispersión")+
theme_bw(base_size = 30) + # Presentación del fondo
facet_wrap(~"Variable Velocidad") #Divisón en paneles
L=94
x=c(58,69,78)
t_b=c(0.470,0.526,0.604)
t_e=c(0.372,0.480,0.518)
a_b=2*L/t_b^2
a_b =round(a_b, 2)
a_e=2*L/t_e^2
a_e=round(a_e,2)
x<-c(x,x)
y=c(a_b,a_e)
plot(x,y, xlab="Lado adyacente", ylab="Aceleración media", main="Diagrama de aceleraciones", col=c("red","red", "red","blue","blue", "blue")) 
Principio de Conservación de Energía
Existen dos enunciados claves del principio de conservación de energía:
“La energía no se crea ni se destruye, sino que se transforma”.
“La energía total de un sistema físico se conserva, las energías parciales tienden a cambiar, es decir, no permanecen fijas”.
En el enunciado (1) subyace la idea de que la energía sufre transformaciones pero no desaparece. Esto quiere decir, que la energía sólo puede sufrir transformaciones de un tipo a otro tipo, pero no puede crearse.
En el enunciado (2) está la idea práctica usada sobre todo en sistemas mecánicos donde se idealiza, asumiendo que la energía total es mecánica y por ende, sufre transformaciones dentro del sistema mecánico.
A su vez, existen dos clases de energía ligadas al sistema físico mecánico; estas son: la energía potencial y la energía cinética. La energía potencial es energía almacenada en virtud de la posición del objeto; existe en forma potencial gravitacional y viene dada por E_p=mgh, tambien existe en forma potencial elástica y viene dada por E_p=1/2kx^2, que es la energía, por ejemplo, almacenada por un resorte, donde k es la constante elástica y x es el estiramiento tambien llamado elongación.
La energía mecánica en el sistema idealizado se conserva, es decir, se puede escribir así
\(mgh_max = 1/2mv_max^2\)
\(mgh+1/2mv^2 = cte\)
$mgh_1+1/2mv_1^2 = mgh_2+1/2mv_2^2 $
Entre estos sistemas se estudian: el movimiento parabólico, el péndulo simple, el tiro vertical, la caída libre desde cierta altura, el plano inclinado; que algunos de estos ya fueron estudiados anteriormente.
Energía en el Movimiento Parabólico
A pesar de que el tratamiento del movimiento parabólico suele hacerse por componentes, esto es, en forma vectorial; el tratamiento de la energía es más simple, ya que combina las componentes en forma escalar.
Considere el caso de lanzar un proyectil con velocidad inicial v_0 y ángulo de elevación A. El principio idealizado de la conservación de la energía establece que la energía mecánica en cualquier punto de su trayectoria siempre es la misma.
La primera relación del movimiento parabólico desde el nivel de referencia, tomado arbitrariamente como h=0 (aunque no se tome como 0 este se cancela), es:
\(1/2mv_0^2 = mgh_max+1/2mv_x^2\)
Se hacen las siguientes precisiones: primero, el arranque del proyectil es a velocidad total v_0, de alli su energía mecánica inicial es la energía cinética máxima; segundo, al alcanzar la altura máxima h_max, el proyectil tiene energía potencial y energía cinética pero sólo su componente horizontal.
Se tienen los siguientes hechos:
$v_0^2 = v_0y^2 + v_0x^2 $ (fórmula pitogórica)
\(v_0x = v_x\) (la velocidad horizontal es fija, por ser un M.R.U.).
De esto, al reemplazar y simplificar, se concluye que
\(1/2mv_0y^2 = mgh_max\)
Luego, \(h_max = v_0y^2/(2g)\).
Es decir, \(h_max = v_0^2 sin^2(A)/(2g)\)
Esta es la misma expresión estudiada en secciones anteriores.
Veamos ahora el tiempo de vuelo del proyectil. Para ello, consideremos la ecuación de energía
\(1/2mv_0^2 = mgh+1/2mv_t^2\)
Con los siguientes hechos:
\(v_0^2 = v_0y^2 + v_0x^2\)
\(v_t^2 = v_y^2 + v_x^2\)
\(v_0x = v_x\)
\(v_y = v_0y + gt\)
Al reemplazar, se obtiene:
\(1/2m(v_0y^2 + v_0x^2) = mgh+1/2m(v_y^2 + v_x^2)\)
\(1/2m(v_0y^2 + v_0x^2) = mgh+1/2m[(v_0y+gt)^2 + v_0x^2)]\)
Al simplificar, se obtiene:
\(1/2mv_0y^2 = mgh+1/2m(v_0y+gt)^2\)
\(1/2mv_0y^2 = mgh+1/2m(v_0y^2 + 2gv_0yt+g^2t^2)\)
Al simplificar nuevamente, se obtiene
\(0=mgh+1/2m(2gv_0yt + g^2t^2)\)
Al dividir por mg, se tiene
\(0 = h +v_0yt + 1/2gt^2\)
Como la h es arbitraria, se puede tomar h=0 y obtener la ecuación del tiempo de vuelo, esto es:
\(v_0yt+1/2gt^2 = 0\)
Factorizando t, queda en la forma:
\(t(v_0y+1/2gt) = 0\)
La solución trivial es \(t=0\), y la otra solución es: \(T_v=-2v_0y/g\)
Es decir, \(T_v= -2v_0 sin(A)/g\).
El signo menos indica que en la ecuación g debe introducirse como una constante negativa.
El alcance sigue la forma convencional, dada por
\(R= v_0x T_v =v_0^2 sin(2A)/g\)
En el primer ejemplo se estudia el lanzamiento del proyectil con condiciones iniciales: velocidad inicial, v_0, en m/seg y ángulo de tiro, A, en grados, y masa M.
M=0.01;
g=-9.8;
v_0=c(10,20,30,40,50,60,70,80);A=c(30,45,60,30,45,60,30,45);
h=c(1,1,1,1,1,1,1,1);Sistema MKS;
Energía Máxima, E;
Velocidad inicial vertical, v_0y;
Velocidad inicial horizontal, v_0x;
Tiempos para h, t;
Velocidad Compuesta para h, v_t;
Distancia horizontal, x;
E=1/2*M*v_0^2;
v_0y=v_0*cos(A*3.14159/180);
v_0x=v_0*sin(A*3.14159/180);
t_1=(-v_0y-(v_0y^2+2*g*h)^(1/2))/g;
t_2=(-v_0y+(v_0y^2+2*g*h)^(1/2))/g;
v_t1=(v_0x^2+(v_0y+g*t_1)^2)^(1/2);
v_t2=(v_0x^2+(v_0y+g*t_2)^2)^(1/2);
x_1=v_0x*t_1;
x_2=v_0x*t_2;
rs=cbind(E=round(E,2), v_0y=round(v_0y,2),v_0x=round(v_0x,2),t_1=round(t_1,2),t_2=round(t_2,2),v_t1=round(v_t1,2),v_t2=round(v_t2,2),x_1=round(x_1,2),x_2=round(x_2,2));rs## E v_0y v_0x t_1 t_2 v_t1 v_t2 x_1 x_2
## [1,] 0.5 8.66 5.00 1.64 0.12 8.97 8.97 8.22 0.62
## [2,] 2.0 14.14 14.14 2.81 0.07 19.50 19.50 39.79 1.03
## [3,] 4.5 15.00 25.98 2.99 0.07 29.67 29.67 77.76 1.77
## [4,] 8.0 34.64 20.00 7.04 0.03 39.75 39.75 140.81 0.58
## [5,] 12.5 35.36 35.36 7.19 0.03 49.80 49.80 254.10 1.00
## [6,] 18.0 30.00 51.96 6.09 0.03 59.84 59.84 316.39 1.74
## [7,] 24.5 60.62 35.00 12.36 0.02 69.86 69.86 432.43 0.58
## [8,] 32.0 56.57 56.57 11.53 0.02 79.88 79.88 652.06 1.00Conservación de Energía en el Plano Inclinado
Otro sistema físico es el plano inclinado, el cual, tambien permite hacer un estudio simple mediante el principio de conservación de la energía. En el plano inclinado, con formato general, es decir, incluyendo la fricción, es un sistema físico que da una clara corrección del principio de conservación de la energía. También, bloque y esfera, son dos sistemas diferentes: el primero, por deslizamiento tiene fricción, y el segundo por rodadura no tiene fricción.
En el sistema MKS, se estudia el deslizamiento de un bloque, teniendo en cuenta la fricción. En este caso, se tienen los insumos
g: Magnitud de la gravedad local
h: Altura del plano inclinado
M: Masa del bloque
m_u: Coeficiente de fricción cinética
A: Angulo de inclinación del plano
E: Energía total del sistema
v_f: velocidad final del bloque al descender completamente
g=9.8
h=c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)
M=c(0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1)
m_u=c(0.02,0.04,0.06,0.08,0.1,0.12,0.14,0.16,0.18,0.1)
A=c(30,32,34,36,40,45,50,55,60,70)
E=M*g*h
v_f=((E-m_u*M*g*cos(A*3.14159/180)*h/sin(A*3.14159/180))/(M/2))^(1/2)
cs=cbind(h,M,m_u, A, E, v_f)
cs## h M m_u A E v_f
## [1,] 1 0.1 0.02 30 0.98 4.349832
## [2,] 2 0.1 0.04 32 1.96 6.057283
## [3,] 3 0.1 0.06 34 2.94 7.319120
## [4,] 4 0.1 0.08 36 3.92 8.352684
## [5,] 5 0.1 0.10 40 4.90 9.290899
## [6,] 6 0.1 0.12 45 5.88 10.172904
## [7,] 7 0.1 0.14 50 6.86 11.003752
## [8,] 8 0.1 0.16 55 7.84 11.799710
## [9,] 9 0.1 0.18 60 8.82 12.572507
## [10,] 10 0.1 0.10 70 9.80 13.742859plot(h,E,xlab="Altura del plano (metros)", ylab="Energía total (Julios)", main="Dependencia de Energía y Altura")
plot(v_f,E,xlab="Velocidad Final (metros/seg)", ylab="Energía total (Julios)", main="Dependencia de Energía y velocidad final")
En el sistema MKS, otro caso es cuando se estudia la rodadura de una esfera, teniendo en cuenta la energía cinética traslacional y la energía cinética rotacional. En este caso, se tienen los insumos
g: Magnitud de la gravedad local
h: Altura del plano inclinado
M: Masa de la esfera
R: Radio de la esfera
A: Angulo de inclinación del plano
E: Energía total del sistema
v_f: velocidad final del bloque al descender completamente
g=9.8
h=c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)
M=c(0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1)
R=c(0.02,0.04,0.06,0.08,0.1,0.12,0.14,0.16,0.18,0.1)
A=c(30,32,34,36,40,45,50,55,60,70)
E=M*g*h
v_f=(E/(10*M/7))^(1/2)
cs=cbind(h,M,R, A, E, v_f)
cs## h M R A E v_f
## [1,] 1 0.1 0.02 30 0.98 2.619160
## [2,] 2 0.1 0.04 32 1.96 3.704052
## [3,] 3 0.1 0.06 34 2.94 4.536518
## [4,] 4 0.1 0.08 36 3.92 5.238320
## [5,] 5 0.1 0.10 40 4.90 5.856620
## [6,] 6 0.1 0.12 45 5.88 6.415606
## [7,] 7 0.1 0.14 50 6.86 6.929646
## [8,] 8 0.1 0.16 55 7.84 7.408104
## [9,] 9 0.1 0.18 60 8.82 7.857481
## [10,] 10 0.1 0.10 70 9.80 8.282512plot(h,E,xlab="Altura del plano (metros)", ylab="Energía total (Julios)", main="Dependencia de Energía y Altura")
plot(v_f,E,xlab="Velocidad Final (metros/seg)", ylab="Energía total (Julios)", main="Dependencia de Energía y Velocidad final")
Energía en el péndulo simple
El sistema físico del péndulo simple tiene una conotación importante en el estudio de la energía mecánica. En este sistema físico se observa como la energía mecánica disminuye a partir del rozamiento del aire.
Un péndulo simple se compone de un hilo inextensible sin masa que soporta una masa pequeña, llamada lenteja, la cuál se saca de la posición vertical y se pone a oscilar debido a la acción de la aceleración de la gravedad.
Suponga que la masa se aleja de la posición de equilibrio, que se encuentra en la vertical, tal como se muestra en la siguiente gráfica.
x=seq(from=-1, to=1, by=0.1)
x_1=seq(from=0,to=0.1,by=0.1)
x_2=seq(from=0,to=0.7,by=0.1)
x_3=seq(from=-0.1,to=0,by=0.1)
y_1=5*x_1
y_2=-x_2
y_3=-5*x_3
r=1
y=-(r^2-x^2)^(1/2)
plot(x,y,xlab="Posición horizontal", ylab="Posición Vertical", main="Péndulo Simple", col=c("black","black","black","black","black","black","black","black","black","black","black","black","black","black","black","black","black","red","black","black","black"))
lines(x_1,y_1)
lines(x_2,y_2)
lines(x_3,y_3)
La oscilación va ocupando los puntos y se puede afirmar desde la teoría ideal, que la energía mecánica permanece fija; lo cual se puede escribir como
\(E=mgH\), donde H es la altura máxima, que es en los extremos.
\(E=1/2mV^2\), donde V es la velocidad máxima, en el centro.
\(E=mgh + 1/2mv^2\), donde h y v pertenecen a cualquier punto.
H=0.3
g=9.8
m=0.1
E=m*g*H
V=(2*E/m)^(1/2)
h=seq(from=0,to=0.3,by=0.02)
v=(2*(m*g*H-m*g*h)/m)^(1/2)
v_s=cbind(H,E,V,h,v);v_s## H E V h v
## [1,] 0.3 0.294 2.424871 0.00 2.4248711
## [2,] 0.3 0.294 2.424871 0.02 2.3426481
## [3,] 0.3 0.294 2.424871 0.04 2.2574322
## [4,] 0.3 0.294 2.424871 0.06 2.1688707
## [5,] 0.3 0.294 2.424871 0.08 2.0765356
## [6,] 0.3 0.294 2.424871 0.10 1.9798990
## [7,] 0.3 0.294 2.424871 0.12 1.8782971
## [8,] 0.3 0.294 2.424871 0.14 1.7708755
## [9,] 0.3 0.294 2.424871 0.16 1.6565023
## [10,] 0.3 0.294 2.424871 0.18 1.5336232
## [11,] 0.3 0.294 2.424871 0.20 1.4000000
## [12,] 0.3 0.294 2.424871 0.22 1.2521981
## [13,] 0.3 0.294 2.424871 0.24 1.0844353
## [14,] 0.3 0.294 2.424871 0.26 0.8854377
## [15,] 0.3 0.294 2.424871 0.28 0.6260990
## [16,] 0.3 0.294 2.424871 0.30 0.0000000plot(h,v,xlab="altura en metros", ylab="velocidad en m/seg", main="Grafica de velocidad altura")
Energía en el Sistema Masa-Resorte
En el sistema de masa resorte se tiene un resorte sujeto en un extremo y en el otro extremo una masa oscilante capaz de hacer oscilar el resorte, ya sea en forma horizontal sobre una superficie o verticalmente en el aire libre.
Las energías asociadas al sistema masa resorte son dos: la energía cinética y la energía potencial elástica; estas dos al ser sumadas producen la energía mecánica. En terminos matemáticos, se tiene \(E_c=1/2mv^2\) \(E_p=1/2kx^2\) \(E=E_c+E_p\), donde \(E_c\) es la energía cinética asociada al movimiento, donde m es la masa y v es la velocidad de la masa, \(E_p\) es la energía potencial gravitacional asociada a la energía latente del resorte, que es almacenada en el resorte al sufrir elongación x y k es la constante elástica del resorte usualmente en \(N/m\); y \(E\) es la energía mecánica asociada a la energía total del sistema.
Ejemplo: Suponga que un resorte ideal tiene energía total constante de vibración dada por 300 ergios. La masa del resorte es de 20 grs y la constante de elasticidad del resorte es de \(100dinas/cm\). Obtenga para distintos valores una tabla donde represente la transformación de energía del sistema mecánico.
E=300
k=100
m=20
A=(2*E/k)^(1/2)
v_max=(2*E/m)^(1/2)
x=c(-A, -0.8*A, -0.6*A, -0.4*A, -0.2*A, 0, 0.2*A, 0.4*A, 0.6*A, 0.8*A, A)
v=(2*(E-1/2*k*x^2)/m)^(1/2)
E_c=1/2*m*v^2
E_p=1/2*k*x^2
E=E_c+E_p
cbind(x,v,E_c,E_p,E)## x v E_c E_p E
## [1,] -2.4494897 7.539457e-08 5.684342e-14 300 300
## [2,] -1.9595918 3.286335e+00 1.080000e+02 192 300
## [3,] -1.4696938 4.381780e+00 1.920000e+02 108 300
## [4,] -0.9797959 5.019960e+00 2.520000e+02 48 300
## [5,] -0.4898979 5.366563e+00 2.880000e+02 12 300
## [6,] 0.0000000 5.477226e+00 3.000000e+02 0 300
## [7,] 0.4898979 5.366563e+00 2.880000e+02 12 300
## [8,] 0.9797959 5.019960e+00 2.520000e+02 48 300
## [9,] 1.4696938 4.381780e+00 1.920000e+02 108 300
## [10,] 1.9595918 3.286335e+00 1.080000e+02 192 300
## [11,] 2.4494897 7.539457e-08 5.684342e-14 300 300plot(c(x,x,x),c(E_c,E_p,E),col=c("red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","black","black","black", "black","black","black", "black","black","black","black","black", "green","green","green","green","green","green","green","green","green","green","green"))
Energía en el Tiro Vertical
Se reconoce el tiro vertical como el lanzamiento de un proyectil hacia arriba, generalmente desde el nivel del piso. Se sabe de este movimiento que se trata de un movimiento mecánico, en el cual, la energía cinética se transforma en potencial.
Se puede escribir, el balance de energía, dentro del sistema MKS, como
\(E=1/2mV_m^2\), donde E es la energía, m es la masa y V_m es la velocidad vertical inicial del lanzamiento.
E=mgH, en el formato ideal, ignorando la resistencia del aire. En este caso, H es la altura máxima alcanzada.
\(E=mgh + 1/2mv^2\), en el caso intermedio, este es el formato ideal que expresa la conservación de la energía mecánica.
En el sistema MKS, se estudia el tiro vertical ideal de un cuerpo, teniendo en cuenta que la fricción del aire se desprecia. En este caso, se tienen los insumos
g: Magnitud de la gravedad local
\(V_m\): Velocidad inicial del cuerpo.
H: Altura máxima que alcanza
h: Altura del cuerpo
M: Masa del bloque
E: Energía total del sistema
v= Velocidad a la altura h
g=9.8
V_m=20
h=c(0.2,2,3,4,5,6,7,8,9,10,10.204)*2
M=c(0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1)
E=1/2*M*V_m^2
H=E/(M*g)
v=((E-M*g*h)/(M/2))^(1/2)
E_c=1/2*M*v^2
E_p=M*g*h
cs=cbind(h, M, E_c, E_p, E, H, v)
round(cs,1)## h M E_c E_p E H v
## [1,] 0.4 0.1 19.6 0.4 20 20.4 19.8
## [2,] 4.0 0.1 16.1 3.9 20 20.4 17.9
## [3,] 6.0 0.1 14.1 5.9 20 20.4 16.8
## [4,] 8.0 0.1 12.2 7.8 20 20.4 15.6
## [5,] 10.0 0.1 10.2 9.8 20 20.4 14.3
## [6,] 12.0 0.1 8.2 11.8 20 20.4 12.8
## [7,] 14.0 0.1 6.3 13.7 20 20.4 11.2
## [8,] 16.0 0.1 4.3 15.7 20 20.4 9.3
## [9,] 18.0 0.1 2.4 17.6 20 20.4 6.9
## [10,] 20.0 0.1 0.4 19.6 20 20.4 2.8
## [11,] 20.4 0.1 0.0 20.0 20 20.4 0.1v_1=c(v,v,v)
E_t=c(E_p,E_c,E)
plot(v_1,E_t,xlab="Velocidad (metros/seg)", ylab="Energías(Julios)", main="Dependencia de Energías",col=c("blue","blue", "blue", "blue", "blue", "blue", "blue", "blue", "blue", "blue", "blue", "red","red","red", "red", "red", "red", "red", "red", "red", "red", "red","green", "green","green", "green", "green", "green", "green", "green", "green", "green", "green"))
La energía mecánica es la energía constante, la energía potencial corresponde a la curva decreciente y la energía cinética es la curva creciente que aumenta con la velocidad.
g=9.8
V_m=20
h=c(0.2,2,3,4,5,6,7,8,9,10,10.204)*2
M=c(0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1)
E=1/2*M*V_m^2
v=((E-M*g*h)/(M/2))^(1/2)
plot(h,v,xlab="Altura del cuerpo (metros)", ylab="Velocidad del cuerpo (metros/seg)", main="Velocidad contra altura")
A medida que la altura aumenta, la velocidad disminuye, hasta alcanzar la altura máxima, esto es, la energía cinética se va transformando en energía potencial.
Energía en la Caída de los Cuerpos
Se reconoce el movimiento de caída libre desde el reposo al descenso de un cuerpo, bajo la aceleración de la gravedad.
Se sabe de este movimiento que se trata de un movimiento mecánico, en el cual, la energía potencial se transforma en cinética; que es el caso inverso del tiro vertical.
Se puede escribir, el balance de energía, dentro del sistema MKS, como
E=mgH, es la energía total, que corresponde a la energía mecánica inicial.
\(E=1/2mV_m^2\), donde E es la energía, m es la masa y V_m es la velocidad vertical final del lanzamiento.
\(E=mgh + 1/2mv^2\), en el caso intermedio, este es el formato ideal que expresa la conservación de la energía mecánica.
En el sistema MKS, se estudia el objeto en caída libre ideal de un cuerpo, teniendo en cuenta que la fricción del aire se desprecia. En este caso, se tienen los insumos
g: Magnitud de la gravedad local
H: Altura inicial del cuerpo en caída
\(V_m\): Velocidad final del cuerpo.
h: Altura del cuerpo en cualquier instante
M: Masa del cuerpo
E: Energía total del sistema
v= Velocidad a la altura h
g=9.8
H=20
h=c(0.2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)*2
M=c(0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1)
E=M*g*H
v=((E - M*g*h)/(M/2))^(1/2)
E_c=1/2*M*v^2
E_p=M*g*h
E=E_c+E_p
cs=cbind(h, M, E_c, E_p, E, H, v)
cs## h M E_c E_p E H v
## [1,] 0.4 0.1 19.208 0.392 19.6 20 19.600000
## [2,] 2.0 0.1 17.640 1.960 19.6 20 18.782971
## [3,] 4.0 0.1 15.680 3.920 19.6 20 17.708755
## [4,] 6.0 0.1 13.720 5.880 19.6 20 16.565023
## [5,] 8.0 0.1 11.760 7.840 19.6 20 15.336232
## [6,] 10.0 0.1 9.800 9.800 19.6 20 14.000000
## [7,] 12.0 0.1 7.840 11.760 19.6 20 12.521981
## [8,] 14.0 0.1 5.880 13.720 19.6 20 10.844353
## [9,] 16.0 0.1 3.920 15.680 19.6 20 8.854377
## [10,] 18.0 0.1 1.960 17.640 19.6 20 6.260990
## [11,] 20.0 0.1 0.000 19.600 19.6 20 0.000000v_1=c(v,v,v)
E_t=c(E_p,E_c,E)
plot(v_1,E_t,xlab="Velocidad (metros/seg)", ylab="Energías(Julios)", main="Dependencia de Energías",col=c("blue","blue", "blue", "blue", "blue", "blue", "blue", "blue", "blue", "blue", "blue", "red","red","red", "red", "red", "red", "red", "red", "red", "red", "red","green", "green","green", "green", "green", "green", "green", "green", "green", "green", "green"))
La energía mecánica es la energía constante, la energía potencial corresponde a la curva decreciente y la energía cinética es la curva creciente que aumenta con la velocidad.
g=9.8
H=20
v=c(0.0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,9.7)*2
M=c(0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1)
E=M*g*H
h=((E - 1/2*M*v^2)/(M*g))
plot(v,h,xlab="Velocidad del cuerpo (metros/seg)",ylab="Altura del cuerpo (metros)", main="Velocidad contra altura")
Al ir aumentando la velocidad, la altura del cuerpo va disminuyendo, esto es, la energía potencial se va transformando en energía cinética.
Cantidad de Movimiento
La cantidad de movimiento ó ímpetu es un vector denotado por P, el cual se define como el producto de la masa y la velocidad. Para introducir el concepto se debe tener en cuenta que \(P=mv\), es una cantidad vectorial y por lo tanto, su tratamiento obedece a una descomposición por componentes.
En forma general, la cantidad de movimiento de un sistema de objetos, que chocan a velocidades constantes, permanece constante. Las colisiones o choques entre dos objetos, se clasifican en: choques elásticos, que son aquellos donde adicionalmente se conserva la energía; y los choques perfectamente inelásticos donde no se conserca la energía, pero las masas quedan unidas, de modo que se suman sus masas y se calcula una única velocidad final.
Por lo tanto, se tienen dos ecuaciones, para los choques elásticos
\(m_1v_{1i}+m_2 v_{2i}=m_1v_{1f}+m_2 v_{2f}\)
\(\frac{1}{2}m_1v_{1i}^2+\frac{1}{2}m_2 v_{2i}^2=\frac{1}{2}m_1v_{1f}^2+\frac{1}{2}m_2 v_{2f}^2\)
Suponga que dos masas \(m_1\) y \(m_2\) chocan de frente, y que el choque es elástico. Calcule las velocidades finales \(v_{1f}\) y \(v_{2f}\) después del choque. Tenga en cuenta, que se trata de magnitudes en el sistema MKS, esto es, longitudes en metros, masas en kilogramos, tiempos en segundos.
Caso simple del choque elástico
Se estudian masas iguales y una de las esferas se encuentra quieta.
m_1=c(0.01,0.02,0.03,0.04)
m_2=c(0.01,0.02,0.03, 0.04)
v_1i=c(5, 6, 7, 9)
v_2i=0
P=m_1*v_1i+m_2*v_2i
E=1/2*m_1*v_1i^2+1/2*m_2*v_2i^2
v_2f1=(m_2/m_1*P+(2*E*(m_1+m_2)*m_2/m_1-m_2/m_1*P^2)^0.5)/((m_1+m_2)*m_2/m_1)
v_1f1=(P-m_2*v_2f1)/m_1
v_2f2=(m_2/m_1*P-(2*E*(m_1+m_2)*m_2/m_1-m_2/m_1*P^2)^0.5)/((m_1+m_2)*m_2/m_1)
v_1f2=(P-m_2*v_2f2)/m_1
cbind(P, E, v_1f1, v_2f1, v_1f2, v_2f2)## P E v_1f1 v_2f1 v_1f2 v_2f2
## [1,] 0.05 0.125 0.000000e+00 5 5 3.469447e-16
## [2,] 0.12 0.360 0.000000e+00 6 6 0.000000e+00
## [3,] 0.21 0.735 -9.251859e-16 7 7 -4.625929e-16
## [4,] 0.36 1.620 0.000000e+00 9 9 -6.938894e-16Se puede ver que la solución trivial es la segunda. La esfera 1 le transmite su energía y cantidad de movimiento a la esfera 2, por eso, la esfera 1 queda quieta.
Caso de masas diferentes del choque elástico frontal
Se estudian masas desiguales y una de las esferas se encuentra quieta.
m_1=c(0.01,0.02,0.03,0.04)
m_2=c(0.03,0.04,0.02, 0.01)
v_1i=c(5, 6, 7, 9)
v_2i=0
P=m_1*v_1i+m_2*v_2i
E=1/2*m_1*v_1i^2+1/2*m_2*v_2i^2
v_2f1=(m_2/m_1*P+(2*E*(m_1+m_2)*m_2/m_1-m_2/m_1*P^2)^0.5)/((m_1+m_2)*m_2/m_1)
v_1f1=(P-m_2*v_2f1)/m_1
v_2f2=(m_2/m_1*P-(2*E*(m_1+m_2)*m_2/m_1-m_2/m_1*P^2)^0.5)/((m_1+m_2)*m_2/m_1)
v_1f2=(P-m_2*v_2f2)/m_1
cbind(P, E, v_1f1, v_2f1, v_1f2, v_2f2)## P E v_1f1 v_2f1 v_1f2 v_2f2
## [1,] 0.05 0.125 -2.5 2.5 5 4.625929e-16
## [2,] 0.12 0.360 -2.0 4.0 6 0.000000e+00
## [3,] 0.21 0.735 1.4 8.4 7 0.000000e+00
## [4,] 0.36 1.620 5.4 14.4 9 -4.440892e-15Se puede ver que la solución trivial es la segunda.
Caso de masas diferentes y velocidades diferentes del choque elástico frontal
Se estudian masas desiguales y una de las esferas se encuentra quieta.
m_1=c(0.01,0.02,0.03,0.04)
m_2=c(0.03,0.04,0.02, 0.01)
v_1i=c(5, 6, 7, 9)
v_2i=c(-2,-3, -5, -8)
P=m_1*v_1i+m_2*v_2i
E=1/2*m_1*v_1i^2+1/2*m_2*v_2i^2
v_2f1=(m_2/m_1*P+(2*E*(m_1+m_2)*m_2/m_1-m_2/m_1*P^2)^0.5)/((m_1+m_2)*m_2/m_1)
v_1f1=(P-m_2*v_2f1)/m_1
v_2f2=(m_2/m_1*P-(2*E*(m_1+m_2)*m_2/m_1-m_2/m_1*P^2)^0.5)/((m_1+m_2)*m_2/m_1)
v_1f2=(P-m_2*v_2f2)/m_1
cbind(P, E, v_1f1, v_2f1, v_1f2, v_2f2)## P E v_1f1 v_2f1 v_1f2 v_2f2
## [1,] -0.01 0.185 -5.5 1.5 5 -2
## [2,] 0.00 0.540 -6.0 3.0 6 -3
## [3,] 0.11 0.985 -2.6 9.4 7 -5
## [4,] 0.28 1.940 2.2 19.2 9 -8Se puede ver que la solución trivial es la segunda.
Caso general de choque elástico no frontal
Se estudian masas desiguales y velocidades en el plano XY.
Se tiene que la cantidad de movimiento se conserva por componentes y la energía global se mantiene fija, tambien por componentes. En el siguiente caso se colocan las velocidades en sus componentes, esto es, las velocidades iniciales \(v_1i=5i+6j\) y \(v_2i=-2i-3j\), en forma vectorial.
m_1=c(0.01,0.02,0.03,0.04)
m_2=c(0.03,0.04,0.02, 0.01)
v_1i=cbind(c(5, 6))
v_2i=cbind(c(-2,-3))
P_x=m_1*v_1i[1,1]+m_2*v_2i[1,1]
P_y=m_1*v_1i[2,1]+m_2*v_2i[2,1]
E_x=1/2*m_1*(v_1i[1,1]^2)+1/2*m_2*(v_2i[1,1]^2)
E_y=1/2*m_1*(v_1i[2,1]^2)+1/2*m_2*(v_2i[2,1]^2)
v_2f1x=(m_2/m_1*P_x+(2*E_x*(m_1+m_2)*m_2/m_1-m_2/m_1*P_x^2)^0.5)/((m_1+m_2)*m_2/m_1)
v_1f1x=(P_x-m_2*v_2f1x)/m_1
v_2f2x=(m_2/m_1*P_x-(2*E_x*(m_1+m_2)*m_2/m_1-m_2/m_1*P_x^2)^0.5)/((m_1+m_2)*m_2/m_1)
v_1f2x=(P_x-m_2*v_2f2x)/m_1
v_2f1y=(m_2/m_1*P_y+(2*E_y*(m_1+m_2)*m_2/m_1-m_2/m_1*P_y^2)^0.5)/((m_1+m_2)*m_2/m_1)
v_1f1y=(P_y-m_2*v_2f1y)/m_1
v_2f2y=(m_2/m_1*P_y-(2*E_y*(m_1+m_2)*m_2/m_1-m_2/m_1*P_y^2)^0.5)/((m_1+m_2)*m_2/m_1)
v_1f2y=(P_y-m_2*v_2f2y)/m_1
v_1f1=(v_1f1x^2+v_1f1y^2)^0.5
v_2f1=(v_2f1x^2+v_2f1y^2)^0.5
v_1f2=(v_1f2x^2+v_1f2y^2)^0.5
v_2f2=(v_2f2x^2+v_2f2y^2)^0.5
P=(P_x^2+P_y^2)^0.5
cbind(P_x, P_y, E_x, E_y, v_1f1, v_2f1, v_1f2, v_2f2)## P_x P_y E_x E_y v_1f1 v_2f1 v_1f2 v_2f2
## [1,] -0.01 -0.03 0.185 0.315 9.300538 2.121320 7.81025 3.605551
## [2,] 0.02 0.00 0.330 0.540 7.401201 4.013865 7.81025 3.605551
## [3,] 0.11 0.12 0.415 0.630 1.341641 10.089599 7.81025 3.605551
## [4,] 0.18 0.21 0.520 0.765 3.255764 14.649232 7.81025 3.605551(25+36)^0.5## [1] 7.81025(4+9)^0.5## [1] 3.605551Se puede ver que la solución trivial es la segunda, la que antecede a la raíz un signo menos.
En la práctica, siempre va a existir una solución igual a la original, por lo que se descarta.
Mecánica de Fluidos
La Mecánica de fluidos abarca la Estática y la Dinámica de líquidos y gases. En la Estática se estudian los fluidos en reposo y en la dinámica se estudian los fluidos en movimiento.
En la Estática se estudian tres principios claves: la ley de Dalton, el principio de Arquímedes, el principio de Pascal.
Antes de abarcar este estudio es necesario comprender algunos conceptos claves, como densidad, presión y tipos de presiones.
Densidad, Masa y Volumen
Masas iguales de aluminio y oro tienen una importante diferencia física: ocupan un volumen diferente. El aluminio ocupa un poco más de 7 veces el espacio que ocupa el oro. La diferencia estriba en que el oro es más denso que el aluminio, luego ocupa un espacio más reducido. Este concepto es la densidad. Se define la densidad como la cantidad de masa que posee un material por unidad de volumen. Así que la densidad se expresa en \(kg/m^3\) o \(g/cm^3\).
La densidad es un concepto clave en mecánica de fluidos, ya que aparece en diferentes procedimientos desarrollados a cerca del reposo o movimiento de líquidos o gases.
Se entiende como densidad la razón entre la masa de una sustancia y su volumen. Esto puede escribirse como \(D=\frac{m}{v}\), donde m es la masa y v es el volumen de dicha sustancia o material. Es común expresar la densidad en el el sistema MKS ó en el sistema CGS, pero no en una mezcla de éstos, por ejemplo, masa en kilogramos y volumen en centímetros cúbicos. Por lo tanto, suele expresarse en \(\frac{kg}{m^3}\) ó \(\frac{gr}{cm^3}\), donde se toma la densidad del agua como \(\frac{1gr}{cm^3}=\frac{1000kg}{m^3}\). Esto quiere decir que al pasar del sistema CGS al sistema MKS se multiplica por 1000.
En las tablas siguientes aparecen densidades relativas de sólidos y fluidos, tomadas del libro Fundamentos de Física de Serway y Vuille, octava edición vol.1.
Debido a que las sustancias tienen diferentes densidades no se pueden producir formatos de cambiar el volumen a litros, pues, sólo para el agua 1 litro equivale a 1 kilogramo. Esto no puede generalizarse a otras sustancias porque ocuparían un volumen diferente por kilogramo de sustancia.
Sustancia=c("Aluminio", "Hierro", "Cobre", "Plata", "Plomo", "Oro", "Platino")
D.Relativa=c(2.7,7.86, 8.92,10.5,11.3,19.3,21.4)
cbind(Sustancia, D.Relativa)## Sustancia D.Relativa
## [1,] "Aluminio" "2.7"
## [2,] "Hierro" "7.86"
## [3,] "Cobre" "8.92"
## [4,] "Plata" "10.5"
## [5,] "Plomo" "11.3"
## [6,] "Oro" "19.3"
## [7,] "Platino" "21.4"Sustancia=c("Agua", "Glicerina", "Alcohol etílico", "Benceno", "Mercurio", "Aire", "Oxígeno", "Hidrógeno", "Helio" )
D.Relativa=c(1, 1.26, 0.806, 0.879, 13.6, 0.00129, 0.00143,0.0000899, 0.000179 )
cbind(Sustancia, D.Relativa)## Sustancia D.Relativa
## [1,] "Agua" "1"
## [2,] "Glicerina" "1.26"
## [3,] "Alcohol etílico" "0.806"
## [4,] "Benceno" "0.879"
## [5,] "Mercurio" "13.6"
## [6,] "Aire" "0.00129"
## [7,] "Oxígeno" "0.00143"
## [8,] "Hidrógeno" "8.99e-05"
## [9,] "Helio" "0.000179"Ejemplo #1 Se tienen 5 sustancias desconocidas con volúmenes (\(m^3\)) y densidades respectivas (\(kg/m^3\)). Ordene sus masas de mayor a menor. V=(1.5,2.5,3.5,4.5,6.2) D=(23000,18500,15460,12300,9465) Solución Primero, se calculan las masas de cada sustancia utilizando la fórmula \(M = ρV\).
V=c(1.5,2.5,3.5,4.5,6.2)
D=c(23000,18500,15460,12300,9465)
M=V*D
cbind(V,D,M)## V D M
## [1,] 1.5 23000 34500
## [2,] 2.5 18500 46250
## [3,] 3.5 15460 54110
## [4,] 4.5 12300 55350
## [5,] 6.2 9465 58683Las masas ordenadas de mayor a menor son sustancias 5, 4, 3, 2 y 1; esto es, el volumen guardó una relación directa con la masa.
V=c(1.5,2.5,3.5,4.5,6.2)
D=c(23000,18500,15460,12300,9465)
M=V*D
plot(V,M, main="Masa de sustancias frente a volumen")
Si se hubiese tomado densidad fija, se encontraría que la masa aumenta en forma directa con el volumen de sustancia.
Ejemplo #2 Se tienen diferentes masas de sustancias (kg), ¿Cuál ocupa el mayor volumen y cuál el menor? Dadas las densidades en \(kg/M^3\).
M=c(3,7,12,18,23)
D=c(9800,12000,15000,18000,23200)
Solución
Primero, se calculan los volúmenes de cada sustancia utilizando la fórmula \(V =M/D\)
M=c(3,7,12,18,23)
D=c(9800,12000,15000,18000,23200)
V=M/D
cbind(M,D,V*10^6)## M D
## [1,] 3 9800 306.1224
## [2,] 7 12000 583.3333
## [3,] 12 15000 800.0000
## [4,] 18 18000 1000.0000
## [5,] 23 23200 991.3793El volumen de la tabla se transforma en cc. Luego, el mayor corresponde a la sustancia 4 y el volumen menor a la sustancia 1
Ejemplo #3 Considere varios tanques cilíndricos que tienen alturas h, en centimetros, y radios r en centimetros. Calcule la cantidad de masa que puede contener cada uno si se llenan con agua salada, cuya densidad es \(1.03g/cm^3\).
h=c(20,25,35,45,60)
r=c(10, 8, 7, 5, 3)
Solución
Primero, se calcula el volumen del tanque mediante la fórmula para el cilindro \(V=πr^2h\).
h=c(20,25,35,45,60)
r=c(10, 8, 7, 5, 3)
V=3.14159*r^2*h
D=1.03
M=D*V
cbind(h,r,V,M)## h r V M
## [1,] 20 10 6283.180 6471.675
## [2,] 25 8 5026.544 5177.340
## [3,] 35 7 5387.827 5549.462
## [4,] 45 5 3534.289 3640.317
## [5,] 60 3 1696.459 1747.352plot(V,M,main="Relación lineal entre masa y volumen")
Ejemplo #4 Unas esferas macizas y homogéneas de aluminio tienen masas dadas a continuación, en gramos. Calcular el volumen que ocupa y el radio de cada una de ellas.
M=c(20,40,60, 80 ,100)
Solución
Primero, se calcula el volumen a través de la fórmula \(V =M/D\).
M=c(20,40,60, 80 ,100)
D=2.7
V=M/D
r=(V/(4/3*3.14159))^{1/3}
cbind(M,V,r)## M V r
## [1,] 20 7.407407 1.209278
## [2,] 40 14.814815 1.523594
## [3,] 60 22.222222 1.744080
## [4,] 80 29.629630 1.919608
## [5,] 100 37.037037 2.067836plot(M, r,main="Radios en centímetros según la Masa")
A mayor masa mayor volumen y mayor radio, manteniendo fija la densidad del metal.
Ejemplo #5: Suponga que se toman 4 metales: 14 kgs de aluminio, 39 kgs de hierro, 52 kgs de plata y 95 kgs de oro. Con ayuda de la tabla de densidades, obtenga los volumenes de las sustancias, en \(m^3\).
Sean las sustancias en orden como aparecen, DMKS la densidad en kilogramos por metro cúbico, M la masa en kilogramos y V el volumen en metro cúbico.
sustancia=c(1,2,3,4)
DMKS=c(2700,7860,10500,19300)
M=c(14,39,52,95)
V=M/DMKS
cbind(sustancia,DMKS,M,V)## sustancia DMKS M V
## [1,] 1 2700 14 0.005185185
## [2,] 2 7860 39 0.004961832
## [3,] 3 10500 52 0.004952381
## [4,] 4 19300 95 0.004922280No siempre el más masivo ocupa un mayor volumen. En este caso, el más denso resulta en menor volumen a pesar de tratarse de una mayor masa.
Ejemplo #6: Suponga que se toman 4 metales y se miden sus volúmenes: 5cc de aluminio, 4cc de hierro, 3cc de plata y 2cc de oro. Con ayuda de la tabla de densidades, obtenga las masas de las sustancias, en gramos.
Sean las sustancias en orden como aparecen, DCGS la densidad en gramos por centímetro cúbico, V el volumen en centímetro cúbico y M la masa en gramos.
sustancia=c(1,2,3,4)
DCGS=c(2.7,7.86,10.5,19.3)
V=c(5,4,3,2)
M=DCGS*V
cbind(sustancia,DCGS,V,M)## sustancia DCGS V M
## [1,] 1 2.70 5 13.50
## [2,] 2 7.86 4 31.44
## [3,] 3 10.50 3 31.50
## [4,] 4 19.30 2 38.60En general, el sólido o sustancia más densa tendrá mayor masa, y por lo tanto, tendrá un mayor peso.
Presión, Fuerza y Area
Ahora, se estudia el concepto de presión, que también es una razón, pero esta vez, expresa el cociente entre fuerza y área. En el sistema internacional de unidades, la presión se expresa en pascales, que es la presión de 1 newton de fuerza actuando perpendicularmente en un área de 1 metro cuadrado.
Para entender el concepto de presión imagine dos situaciones: una lámina pisada por el tacón de una mujer, y la misma lámina pisada por la misma mujer sin tacones con zapatos lisos.
En el caso de zapatos lisos la fuerza actua en un área mayor produciendo menor presión que la que se produce sobre la lámina por el tacón de la mujer, debido a la mayor concentración de la fuerza.
Pasamos a la definición, la presión P es igual a la razón entre fuerza F y área A. Se toma F como un vector perpendicular a la superficie de área A, y por lo tanto, si F no es perpendicular a la superficie modificaría por la componente perpendicular al plano de la superficie.
Imagine las fuerzas en newton, las presiones en kilopascales y las áreas en metros cuadrados.
Determinar la fuerza total sobre un área de superficie perpendicular, en cada caso.
P=seq(from=100,to=275,by=25)
A=seq(from=2, to=16,by=2)
F= P*A
cbind(P,A, F)## P A F
## [1,] 100 2 200
## [2,] 125 4 500
## [3,] 150 6 900
## [4,] 175 8 1400
## [5,] 200 10 2000
## [6,] 225 12 2700
## [7,] 250 14 3500
## [8,] 275 16 4400Se observa que la fuerza como producto de la presión y el área, aumenta al aumentar alguno de esos dos factores. En este caso, aumentan presión y área simultaneamente, provocando mayor fuerza.
Ejemplo #1: Estudie la presión provocada por una mujer de 60 kgs que apoya su peso en un área A dada en metros cuadrados. Primero, la fuerza es constante y expresada en pascales.
F=60*9.8
A=c(1, 2, 3, 4, 5)*10^(-4)
P=F/A
cbind(F, A, P)## F A P
## [1,] 588 1e-04 5880000
## [2,] 588 2e-04 2940000
## [3,] 588 3e-04 1960000
## [4,] 588 4e-04 1470000
## [5,] 588 5e-04 1176000Se observa que manteniendo la fuerza constante, la presión aumenta al concentrar la fuerza en un área más pequeña. Estas presiones están entre 1 y 6 megapascales (MPa), la presión es inversamente proporcional al área.
Un ejemplo de la presión es la presión atmosférica. La presión atmosférica es el peso de la columna de aire que nos rodea por unidad de área. La presión de 1 atmósfera equivale a 1,013 × 105 Pa ó a 14,7 lb/in2 (libras por pulgadas cuadradas) ó a 76 cm Hg (centímetros de mercurio). Existen dos clases de presión relacionadas entre sí. Estas son la presión absoluta y la presión manométrica o hidrostática. La Presión absoluta es la presión total sobre un punto de un fluido, y es igual a la suma de la presión atmosférica y la presión manométrica. La presión hidrostática es la presión debido a una columna de fluido de altura h. \(P_H = ρgh\). Luego, \(P_a = P_{atm} + P_H\), es la presión absoluta de un punto del fluido.
Ejemplo #2 Encuentre la presión media ejercida por unas mujeres contra el piso, si sus pesos, en Newton, son
W=c(684, 696, 720)
y se encuentran concentrados en una región de área en \(cm^2\).
A=c(1.3, 1.5, 1.7).
Exprese su respuesta en atmósferas.
Solución
Se aplica la definición,
\(P = F/A\)
W=c(684, 696, 720)
A=c(1.3, 1.5, 1.7)*10^{-4}
P=W/A
Pf=P/101300
cbind(W,A,Pf)## W A Pf
## [1,] 684 0.00013 51.94016
## [2,] 696 0.00015 45.80454
## [3,] 720 0.00017 41.80942plot(A, Pf, main="Presión según área de contacto")
Estas presiones son equivalentes en atmósferas, y son suficientemente grandes para hacerle daño a una persona.
Se observa que la presión es inversamente proporcional al área; es decir, a mayor área es menor la presión. Por lo tanto, un área de contacto más pequeña provocará la presión más alta.
Ejemplo # 2 Los manómetros empleados para medir el aire en los neumáticos marcan lo que se llama presión manométrica, la diferencia entre la presión absoluta y la presión atmosférica. Los neumáticos de un automóvil de peso dado \(W=25000 N\), se inflan a diferentes presiones manométricas \(P_m\) en kilopascales.
P_m=c(225, 235, 245, 265, 270).
¿Cuál será el área que cada neumático está en contacto con el pavimento, en cada caso?
Solución
Se tiene el área de contacto por llanta, en \(m^2\), será
\(A = (F/P_m)/4\)
W=25000
P_m=c(225, 235, 245, 265, 270)*1000
A = (W/P_m)/4
cbind(W,P_m,A)## W P_m A
## [1,] 25000 225000 0.02777778
## [2,] 25000 235000 0.02659574
## [3,] 25000 245000 0.02551020
## [4,] 25000 265000 0.02358491
## [5,] 25000 270000 0.02314815plot(P_m, A, main="Area de contacto, $m^2$ según Presión interna")
Luego, para una sola llanta el área es inversamente proporcional a la presión interna del neumático.
Ejemplo #3 Un zapato de fútbol puede ser elaborado con 3, 4 ó 6 taches cada uno con un área de \(0.9 cm^2\). Evalúe la presión media ejercida por un futbolista de masa 67 kg, cuando se para sobre sus dos pies. Interprete.
Solución
La fuerza es igual al peso, es decir,
\(F = mg = 67 kg * 9.8 m/s^2 = 656.6 N\)
El área total sobre la cuál actúa la fuerza es
$A = 2n 0.9 cm^2 $
donde n es el número de taches.
n=c(3, 4, 6)
F=656.6
A=2*n*0.9*10^{-4}
P=F/A
cbind(n,A,P)## n A P
## [1,] 3 0.00054 1215925.9
## [2,] 4 0.00072 911944.4
## [3,] 6 0.00108 607963.0plot(n,P,main="Presión total según número de taches")
Entonces, la presión contra el suelo es mayor a menor cantidad de taches. Los guayos optimizan el valor necesario para mejor desempeño.
Ejemplo # 4 Encuentre la presión debida a una columna de agua pura y aguas saladas sobre el fondo de profundidades en metros. ¿Qué altura de una columna de mercurio produce la misma presión? Solución En este caso, es la presión hidrostática dada por la expresión
$P_H = ρ g h $
A continuación, se dan las cantidades en el sistema MKS.
D=c(1000,1030, 1238)
g=9.8
h=c(26, 34, 43)
P_H=D*g*h
y=P_H*76/101300
cbind(D,h,P_H,y)## D h P_H y
## [1,] 1000 26 254800.0 191.1629
## [2,] 1030 34 343196.0 257.4817
## [3,] 1238 43 521693.2 391.3986plot(h,y, main="Altura en cmHg respecto a la profundidad del agua")
Es decir, la altura de mercurio es proporcional a la altura del agua.
La prensa hidráulica
El principio de la prensa hidráulica consiste en transmitir la presión de un émbolo pequeño a otro émbolo grande multiplicando la fuerza. Este mecanismo sirve para levantar grandes pesos.
Ejemplo # 1 Los radios de los émbolos de una prensa hidráulica casera, se analizan en formatos, tal que se pueda levantar una pesa de 100N al ejercer una fuerza de 25 newton en el émbolo menor. Los datos se dan a continuación
r1=c(3,4,5,6,7)
r2=c(5.5,7.5,11.0,11.5,14.5)
¿Qué émbolos pueden cumplir la condición dada?
Solución
Se aplica la ecuación de la prensa
n=c(1,2,3,4,5)
r1=c(3,4,5,6,7)
r2=c(5.5,7.5,11.0,11.5,14.5)
A_1=3.14159*r1^2
A_2=3.14159*r2^2
F_1=25
F_2=F_1*A_2/A_1
cbind(n,r1,r2,F_2)## n r1 r2 F_2
## [1,] 1 3 5.5 84.02778
## [2,] 2 4 7.5 87.89062
## [3,] 3 5 11.0 121.00000
## [4,] 4 6 11.5 91.84028
## [5,] 5 7 14.5 107.27041plot(n,F_2,main="Fuerza por Formato")
Los formatos 3 y 5 cumplen con la condición de proporcionar la fuerza minima de 100 newton.
Ejemplo # 2 El radio del émbolo menor de una prensa es de 15 cm, si sobre él se aplica una fuerza de 65 N se obtiene en el otro émbolo una fuerza F en Newton, ¿cuál es el radio de éste émbolo?
F_2=c(800,1250,3260,4000,4500)
Solución
Se aplica la ecuación de la prensa
\(A_1 = πr_1^2 = 225 π cm^2\)
\(A_2=A_1*F_2/F_1\)
F_1=65
F_2=c(800,1250,3260,4000,4500)
A_1=225*3.14159
A_2=F_2*A_1/F_1
r_2=(A_2/3.14159)^{1/2}
cbind(F_2,A_2,r_2)## F_2 A_2 r_2
## [1,] 800 8699.788 52.62348
## [2,] 1250 13593.418 65.77935
## [3,] 3260 35451.635 106.22907
## [4,] 4000 43498.938 117.66968
## [5,] 4500 48936.306 124.80754plot(F_2,r_2,main="Radio del émbolo cms según Fuerza provocada")
Para provocar mayor fuerza, se debe aumentar el radio del émbolo.
Ejemplo # 3 Las áreas de los pistones grande y pequeño de una prensa hidráulica son dados en \(cm^2\), respectivamente. ¿Cuál es la ventaja mecánica ideal de la prensa? ¿Qué fuerza se tendrá que ejercer para levantar una carga dada, en Newton?
A_1=c(13,15,17,29,35)
A_2=c(25, 36, 50, 65, 80)
F_2=c(60,60,60,60, 60)
Solución
La ventaja mecánica de la prensa es \(v=A_2/A_1\)
Para calcular la fuerza se aplica la ecuación de la prensa
A_1=c(13,15,17,29,35)
A_2=c(25, 36, 50, 65, 80)
F_2=c(60,60,60,60, 60)
v=A_2/A_1
F_1=F_2*A_1/A_2
cbind(A_1,A_2,F_2,v,F_1)## A_1 A_2 F_2 v F_1
## [1,] 13 25 60 1.923077 31.20000
## [2,] 15 36 60 2.400000 25.00000
## [3,] 17 50 60 2.941176 20.40000
## [4,] 29 65 60 2.241379 26.76923
## [5,] 35 80 60 2.285714 26.25000plot(v,F_1,main="Fuerza de Potencia en Newton según la ventaja")
En general, a mayor ventaja tenga la prensa, menor será la fuerza de potencia que se debe aplicar.
Ejemplo # 4 El tubo de entrada que suministra presión de aire para operar un gato hidráulico tiene un diámetro d. El pistón de salida es de 8d en diámetro. ¿Qué fuerza se tendrá que usar para levantar unos autos que pesan w=c(13500,16000,20000,25000) en Newton?
Solución
w=c(13500,16000,20000,25000)
d1=10
d2=8*d1
F_1=w/d2^2*d1^2
cbind(w,F_1)## w F_1
## [1,] 13500 210.9375
## [2,] 16000 250.0000
## [3,] 20000 312.5000
## [4,] 25000 390.6250plot(w,F_1,main="Fuerza de potencia según peso")
En este caso, se le da un valor a d1 para poder procesar la fórmula, este valor es arbitrario y siempre arrojará el mismo resultado. Se observa que a mayor peso se requiere una fuerza de potencia mayor.
Fuerzas de Empuje
La fuerza de empuje es una fuerza que aparece cuando un cuerpo es parcial o totalmente sumergido en un fluido.
El principio de Arquímedes dice que la fuerza de empuje sobre un cuerpo parcial o totalmente sumergido principalmente en un líquido, es igual al peso del fluido desalojado por el cuerpo.
Matemáticamente, se puede expresar como:
\(F_E = ρ_f V g\), donde ρ_f es la densidad del fluido, V es el volumen desalojado por el cuerpo y g es la aceleración debida a la gravedad (\(g = 9.8 m/s^2\)).
El peso aparente es el peso reducido del cuerpo debido a la fuerza de empuje, y se calcula como la diferencia entre el peso y la fuerza de empuje.
Matemáticamente, se expresa como:
\(W_A = W – F_E = (ρ – ρ_f) V g\), donde ρ es la densidad del material y el cuerpo está totalmente sumergido.
Para el caso en que el cuerpo flota parcialmente, se aplica la ecuación:
\(F_E = W\), es decir, \(ρ_f V_f g = ρ V g\), donde \(V_f\) es el volumen de fluido desalojado.
Esta ecuación puede ser modificada al considerar el peso total.
Ejemplo # 1 Suponga varios cuerpos con volumenes de \(V=c(35,25,20,15,10)\) dm³, y densidad de \(7.86g/cm³\), ¿cuál es el empuje que recibe sumergido en agua de mar \(D=1030 kg/m^3\) y su peso aparente?
Solución
Primero, se calcula la fuerza de empuje F_E con ayuda de la fórmula y el peso aparente W_A, ambas en Newton.
V=c(35,25,20,15,10)*10^{(-3)}
D_f=1030
g=9.8
F_E=D_f*V*g
D=7860
W_A=D*V*g-F_E
cbind(V,F_E,W_A)## V F_E W_A
## [1,] 0.035 353.29 2342.69
## [2,] 0.025 252.35 1673.35
## [3,] 0.020 201.88 1338.68
## [4,] 0.015 151.41 1004.01
## [5,] 0.010 100.94 669.34Se observa que a mayor volumen, mayor fuerza de empuje y mayor peso aparente.
Ejemplo # 2 Varios cuerpos se pesan en el aire y se registra el peso de cada uno de ellos \(W=c(22,32,42,52,78)\) N y sus volumenes son \(V=c(25,30,35,40,45)\) dm³, se sumergen cada uno en un líquido diferente y se registran los pesos aparentes \(W_A=c(20,27,37,47,73)\) N. ¿Cuáles son las densidades de los líquidos?
Solución De acuerdo con la relación
\(W_A = W – F_E\),
se tiene: \(F_E = W - W_A\).
W=c(220,320,420,520,780)
V=c(25,30,35,40,45)*10^{-3}
W_A=c(20,27,37,47,73)
g=9.8
F_E=W-W_A
D_f=F_E/(V*g)
cbind(W,W_A,V,F_E,D_f)## W W_A V F_E D_f
## [1,] 220 20 0.025 200 816.3265
## [2,] 320 27 0.030 293 996.5986
## [3,] 420 37 0.035 383 1116.6181
## [4,] 520 47 0.040 473 1206.6327
## [5,] 780 73 0.045 707 1603.1746Ejemplo # 3 Se dan los pesos de varios cuerpos en el aire \(W=c(25,35,46,57,72)\) N y en el agua \(W_A=c(23,30,40,50,65)\)N, ¿cuál es la densidad de cada uno?
Solución
Primero, se utiliza la expresión del peso aparente
\(W_A = (ρ – ρ_f) V g\),
Pero, \(V = F_E / (ρ_f g)\).
Reemplazando en la ecuación anterior queda:
\(W_A = (ρ – ρ_f) F_E /ρ_f\).
De donde
$ρ = (ρ_f W_A / F_E) + ρ_f $
W=c(25,35,46,57,72)
W_A=c(23,30,40,50,65)
F_E=W-W_A
ρ_f= 1000
ρ=ρ_f*W_A/F_E+ρ_f
cbind(W,W_A,F_E,ρ)## W W_A F_E ρ
## [1,] 25 23 2 12500.000
## [2,] 35 30 5 7000.000
## [3,] 46 40 6 7666.667
## [4,] 57 50 7 8142.857
## [5,] 72 65 7 10285.714Ejemplo # 4 Calcular el peso aparente de 5 cuerpos cuyo volumen de inmersión total en agua y cuya densidad se dan a continuación.
\(V=c(20,30,40,50,75)\) 10^{-3} m^3 y \(ρ=c(5600,7600,10500,19300,21300)\) kg/m^3
V=c(20,30,40,50,75)*10^{-3}
ρ=c(5600,7600,10500,19300,21300)
g=9.8
ρ_f=1000
W_A=ρ*V*g-ρ_f*V*g
cbind(V,ρ,W_A)## V ρ W_A
## [1,] 0.020 5600 901.6
## [2,] 0.030 7600 1940.4
## [3,] 0.040 10500 3724.0
## [4,] 0.050 19300 8967.0
## [5,] 0.075 21300 14920.5Principio de Continuidad
El gasto o caudal de un fluido, en ausencia de escapes, es siempre constante. Esta relación midel el volumen del flujo por unidad de tiempo \(Q=V/t\), donde V es el volumen y t es el tiempo. Esta relación comúnmente se expresa como \(Av=C\), donde A es el área de la tubería o sección transversal del líquido o gas en movimiento y v es la velocidad del fluido.
Tambien suele ponerse en la forma \(A_1v_1=A_2v_2\)
Ejemplo #1 En la sección ancha de una tubería el área es de \(140 cm^2\) y la velocidad del agua es de \(10cm/seg\). Determine el caudal y la velocidad cuando pasa por la parte estrecha, a la misma altura, si el área de la sección angosta es de \(50cm^2\). ¿Cuántos litros fluyen por la tubería en 2 minutos? Las mediciones en el sistema cgs son
A_1=140
v_1=10
Q=A_1*v_1
A_2=50
v_2=Q/A_2
c(Q,v_2)## [1] 1400 28Dado que el valor del caudal es 1400 cc por seg, esto es 1.4 litros por segundo, entonces, en 2 minutos ó 120 segundos fluyen
t=120
Q=1.4
V=Q*t
V## [1] 168Es decir, en dos minutos, fluyen por la tubería 168 litros.
Ejemplo # 2 Por un tubo pasa agua a una velocidad de 7 m/s. Si la sección del tubo es de \(5 cm²\), ¿cuál es el caudal de la corriente?
Solución
El flujo, gasto o caudal es
$Q = A V $
\(Q = (5 cm^2) (700 cm/s)\)
\(Q= 3500 cm^3/s\)
Ejemplo # 3 Por un arroyo de 15m² de sección circula agua a razón de 12 m/s. ¿Cuál será el volumen del agua que pasó en 40 s?
Solución
Puesto que \(V = Q t\) y \(Q = A v\), se tiene que:
$V = A v t $
\(V= (15 m^2) (12 m/s) (40 s)\)
\(V= 7200 m^3\)
Es decir, en 40 segundos fluyen por el arroyo 7.2 millones de litros.
Ejemplo # 4 Por un tubo de acueducto circula agua potable. Considere dos secciones \(A_1= 13 cm²\) y \(A_2= 4 cm²\), ¿cuál será la velocidad del agua en la sección estrecha, si en la sección ancha es de 2 m/s?
Solución Se aplica la ecuación de continuidad
\(A_1 v_1 = A_2 v_2\)
\((13 cm^2) (2 m/s) = (4 cm^2) v_2\)
\(v_2 = (13*2 m/s)/4 = 6.5 m/s\)
Ejemplo # 5 El caudal de una pluma es de \(45 cm ³/s\), si la pluma se gradúa de tal forma que el área de las secciones de salida del agua son de \(3 cm ²\) y \(15 cm ²\), calcular las velocidades en cada sección.
Solución
Se aplica la ecuación de continuidad:
\(A_1 v_1 = A_2 v_2 = cte\)
Reemplazando, se obtiene:
\(3 cm^2 v_1 = 15 cm^2 v_2 = 45 cm^3/s\)
Resolviendo,
$v_1 = 45/3 cm/s $
\(v_1= 15 cm/s = 0.15 m/s\)
\(v_2 = 45/15 cm/s\)
\(v_2= 3 cm/s = 0.03 m/s\)
Ejemplo # 6 Calcular el radio de la sección circular de un tubo por el cual pasa agua a una velocidad de 75 cm/s, siendo su caudal de \(30 dm³/s\).
Solución
Se aplica la ecuación de continuidad
\(A_1 v_1 = cte\).
Reemplazando, se obtiene:
$A_1 = Q / v_1 $
\(A_1= (30000 cm^3/s) / (75 cm/s)\)
\(A_1= 400 cm^2\)
\(r=(A/3.14159)^{1/2}\)
\(r=11.28 cm\)
Principio de Bernoulli
Este principio que lleva el nombre de su descubridor Daniel Bernoulli, expresa la conservación de energía en un fluido sin escapes. Este principio expresa que la densidad de energía mecánica de cualquier fluido confinado en movimiento, se mantiene constante, de acuerdo a la relación
\(P+1/2\rho v^2+\rho g h=C\)
O también
\(P_1+1/2\rho v_1^2+\rho g h_1=P_2+1/2\rho v_2^2+\rho g h_2\)
Ejemplo # 1 Al encender el motor de un drone este comienza el vuelo generando una diferencia de presión de 15 kpa entre el aire abajo del drone y el aire arriba, lo que hace posible que se mantenga en el aire. Si la velocidad del aire en la parte inferior del drone es de 70 m/s. Determine la rapidez del aire en la parte de arriba, asumiendo que la diferencia de alturas superior e inferior es de 20cms.
Solución
La ecuación de Bernoulli para los fluidos es:
\(P_1 + ρ v_1^2/2 + ρ g h_1 = P_2 + ρ v_2^2/2 + ρ g h_2\).
Al considerar \(h1+0.2m = h2\), y \(DP=P_1-P_2=15kpa\), se tiene que:
Luego, para las unidades en el sistema MKS, se tiene
DP=15000
ρ=1.29
Dh=0.2
g=9.8
v_1=70
v_2=((((DP)-ρ*g*(Dh))+ρ*v_1^2/2)*2/ρ)^{1/2}
v_2## [1] 167.7853La velocidad del aire, en la parte superior del drone es 167.78 m/s aproximadamente.
Ejemplo # 2 Una cascada de 26 metros de altura vierte agua a una presa donde el agua llega a una velocidad desconocida. Calcule la velocidad en la parte baja, si en la parte alta el agua fluye a 5 m/s.
Solución
Utilizando la ecuación de Bernoulli, sistema MKS,
\(P_1+ρ*g*h_1+1/2ρv_1^2=P_2+ρ*g*h_2+1/2ρv_2^2\)
con
\(P_1 - P_2 = 0\),
\(v_1 = 5\) y \(h_2 +26 ≈ h_1\), se tiene que:
\(0 = ρ (v_2^2-V_1^2)/2+ρg(h_2-h_1)\).
De donde
\(v_2 =(-2g(h_2-h_1)+v_1^2)^{1/2}\)
\(v_2^2=(545m^2/s^2)^{1/2}\)
\(v_2= 23.34 m/s\).
La velocidad final de caída es de 23.34 m/s; su energía cinética aumenta al ir descendiendo.
Ejemplo # 3 Un tanque abierto en la parte superior tiene una abertura de 1 cm de radio el cual se encuentra a 8 m por debajo del nivel del agua contenida en el recipiente. ¿Qué volumen de líquido saldrá por minuto a través de dicha abertura?
Solución
En este caso se aplica la ecuación de Bernoulli, con diferencia de presión igual a cero, y de este modo
se obtiene la ecuación de Torricelli
\(v_2 =(2gh_1)^{1/2}\)
\(v_2= (156.8)^{1/2} m/s\)
\(v_2= 12.52 m/s\).
El flujo está dado por
\(Q = v_2 A_2\)
\(Q= (12.52 m/s) π (1 × 10^{-2} m)^2\)
\(Q= 3.93 × 10^{-3} m^3/s\).
Ejemplo # 4 Calcular la velocidad de salida de un líquido por un orificio situado a 2 m de la superficie libre del líquido.
Solución
Se utiliza el teorema de Torricelli, es decir,
\(v =(2gh)^{1/2}\)
\(v= (19.6*2)^{1/2} m/s\)
\(v= 6.26 m/s\)
La velocidad de salida del líquido es de 6.26 m/seg.
Eventos Termodinámicos
En este capítulo se estudian los elementos que componen la termodinámica. Este capítulo consta de 10 secciones que son: la Temperatura y el calor, la calorimetría, la teoría cinética de lo gases, la dilatación térmica, las leyes de los gases, los procesos termodinámicos, el primer principio de la termodinámica, el segundo principio de la termodinámica, los ciclos termodinámicos y la eficiencia térmica.
Escalas de Temperatura
Exiten 4 escalas de temperatura: Celsius (C), Fahrenheit (F), Kelvin (K) y Rankine.
Para construir una escala de temperatura se debe asignar el punto de fusión y el punto de ebullición de la misma sustancia, comúnmente agua.
Por ejemplo, en la escala celsius el punto de fusión del agua es 0 y el punto de ebullición del agua es 100; en la escala fahrenheit el punto de fusión del agua es 32 y el punto de ebullición es 212; en la escala kelvin el punto de fusión del agua es 273.15 y el punto de ebullición 373.15; y por último, en la escala rankine el punto de fusión del agua es 491.67 y el punto de ebullición del agua es 671.67.
Tc=c(-273.15,-50,0, 30, 80,100, 120, 250, 340)
Tf=9/5*Tc+32
Tr=Tf+459.67
Tk=Tc+273.15
round(cbind(Tc, Tf, Tr, Tk),2)## Tc Tf Tr Tk
## [1,] -273.15 -459.67 0.00 0.00
## [2,] -50.00 -58.00 401.67 223.15
## [3,] 0.00 32.00 491.67 273.15
## [4,] 30.00 86.00 545.67 303.15
## [5,] 80.00 176.00 635.67 353.15
## [6,] 100.00 212.00 671.67 373.15
## [7,] 120.00 248.00 707.67 393.15
## [8,] 250.00 482.00 941.67 523.15
## [9,] 340.00 644.00 1103.67 613.15Tf=c(-459.67,-50,0, 32, 80,100, 120, 180, 212)
Tc=5/9*(Tf-32)
Tr=Tf+459.67
Tk=Tc+273.15
round(cbind(Tf, Tc, Tr, Tk),2)## Tf Tc Tr Tk
## [1,] -459.67 -273.15 0.00 0.00
## [2,] -50.00 -45.56 409.67 227.59
## [3,] 0.00 -17.78 459.67 255.37
## [4,] 32.00 0.00 491.67 273.15
## [5,] 80.00 26.67 539.67 299.82
## [6,] 100.00 37.78 559.67 310.93
## [7,] 120.00 48.89 579.67 322.04
## [8,] 180.00 82.22 639.67 355.37
## [9,] 212.00 100.00 671.67 373.15Las escalas kelvin y rankine son escalas absolutas, es decir, en éstas el cero indica ausencia de agitación, lo que se conoce como reposo absoluto.
Ejemplo: Imagine que el profesor desea construir una escala arbitraria para medir temperatura con más precisión y para ello asigna 50 grados al punto de fusión del agua y 450 al punto de ebullición.
Encuentre la temperatura nueva Th en términos de la temperatura celsius Tc.
Convierta una temperatura de 200 c a la escala Th.
Convierta una variación de 0.5 en la escala celsius a variación Th.
Solución
- En principio, la diferencia Th para la región líquida es 450-50=400 y la diferencia Tc para la región líquida es 100.
Luego se tiene \(m=400/100=4\).
Por lo tanto, \(Th-Th1=m(Tc-Tc1)\).
De este modo, \(Th=4Tc+50\).
- Ahora \(Th=4*200+50\).
Esto es, \(Th=800+50\).
\(Th=850\), en la escala arbitraria.
- Para la variación Th se tiene
\(VTh=4*VTc\)
Luego, \(VTh=4*0.5\)
\(VTh=2\).
Una variación de 0.5 en la escala celsius es 4 veces mayor en la escala arbitraria. Por lo tanto, el tener rango mayor hace que se tenga más precisión para medir temperatura.
Leyes de los gases
La teoría de los gases tiene los siguientes supuestos:
⦁ En el gas, las moléculas están tan separadas unas de las otras que no hay fuerzas de interacción entre ellas, es decir, las moléculas no interactúan unas con otras.
⦁ El gas se encuentra lejos de su punto de licuefación y a bajas presiones.
Ley de Boyle
En un gas mantenido a temperatura constante, la presión absoluta P del gas es inversamente proporcional al volumen V ocupado por el gas. Esta relación se expresa matemáticamente, como
$PV = cte $
o equivalentemente \(P_1 V_1 = P_2 V_2\).
Esta relación establece que el producto de la presión absoluta P y el volumen V del gas mantenido a temperatura constante es fijo.
A temperatura constante, cuando la presión absoluta del gas aumenta el volumen ocupado por el gas disminuye; y cuando la presión absoluta del gas disminuye el volumen ocupado por el gas aumenta.
Ejemplo #1 ¿Qué volumen de gas hidrógeno a presión manométrica \(P_m=c(0,50,100, 150, 200)\) kpa se requiere para llenar un tanque de 50000 cm^3 bajo una presión manométrica de 650 kPa?
Solución
Con las presiones en kilopascales y volumen en litros, se tiene
P_m1=c(0,50,100, 150, 200)
P_m2=650
P_at=101.3
P_1=P_at + P_m1
P_2=P_at+P_m2
V_2=50
V_1=P_2*V_2/P_1
cbind(P_1, V_1, P_1*V_1)## P_1 V_1
## [1,] 101.3 370.8292 37565
## [2,] 151.3 248.2816 37565
## [3,] 201.3 186.6120 37565
## [4,] 251.3 149.4827 37565
## [5,] 301.3 124.6764 37565plot(P_1,V_1,xlab="Presión absoluta", ylab="Volumen en litros", main="Volumen frente a Presión")
En estos casos, las unidades de presión y volumen pueden utilizarse de cualquier forma siempre que las presiones se expresen en unidades similares y asimismo los volúmenes.
Ejemplo #2 ¿Cuál es la presión manométrica de 1.5 metros cúbicos de gas mantenidos a temperatura constante si a una presión absoluta de 4 atmósferas el volumen es 4.5 metros cúbicos?
Solución Se aplica la ley de Boyle, puesto que el gas es mantenido a temperatura constante. Entonces,
\(P_1 V_1 = P_2 V_2\).
\(P_1 = P_2 V_2/ V_1\)
Reemplazando, se obtiene
\(P_1= 4*4.5/1.5\) atmósferas.
\(P_1=12\) atmósferas.
En este caso, el producto de la presión absoluta por el volumen debe ser igual a 18 atm* mc. Nótese que el volumen de 4.5 mc debe ser multiplicado por 4 atm. para obtener el producto 36.
La presión manométrica es
\(P_{1m} = P_1 – P_{at}\)
\(P_{1m}= (12 – 1) atm = 11 atm\).
Ejemplo # 3 A continuación aparece una condición \(PV=60cmHg*lt\), para un gas mantenido a temperatura constante (Presión en cm Hg y Volumen en Litros).
Calcular el volumen que ocupa el gas a la presión absoluta de 400 cm Hg y la presión manométrica del gas cuando el volumen sea 0.5 litros.
Solución De acuerdo con la condición de que el gas se mantiene a temperatura constante, el producto PV es constante. Con ayuda de los datos se obtiene \(PV = 60 cmHg* Lt\).
En primer lugar, para una presión de gas de \(P=400 cmHg\), se tiene que:
$V = 60 cmHg*Lt / P $
\(V= 0.15 Lts\).
En segundo lugar, para un volumen de gas de 0.5 lts, se tiene que
$P = 60 cmHg*Lt / V $
\(P= 60/0.5 cmHg = 120 cmHg\)
La presión manométrica final sería \(P_m=P-P_at\), esto es, \(P_m=44 cmHg\).
Ley de Charles
La ley de Charles expresa que a presión constante, el volumen ocupado por un gas es directamente proporcional a su temperatura absoluta. La temperatura absoluta emplea como unidades grados Kelvin (°K).
Matemáticamente, esta relación es equivalente a que el cociente entre el volumen y la temperatura absoluta del gas es igual a una constante, y se expresa como:
$V/T= cte $
o en otra forma,
\(V_1/T_1 = V_2/T_2\)
La relación V contra T es una línea recta que pasa por el origen cuando T está en grados Kelvin.
Para usar esta ecuación el volumen puede estar en cualquier unidad, mientras que la temperatura siempre debe estar en grados kelvin.
\(T_K = T_C + 273\) es la fórmula para pasar de grados Celsius a Kelvin.
Ejemplo # 1 Un globo tiene un volumen de 6 litros a 27 °C. ¿Cuál será su volumen a 87 °C si la presión no cambia?
Solución
Primero, se expresan las temperaturas en grados kelvin.
\(T_1 = 27 °C = (27 + 273) °K = 300 °K\)
y \(T_2 = 87°C = (87 + 273) °K = 360 °K\)
En este caso, se aplica la ley de Charles
\(V_1/T_1=V_2/T_2\)
Al sustituir los valores en la ecuación, se tiene:
\(V_2 = V_1 T_2 / T_1\)
$V_2=6lts*360k/300k $
\(V_2= 7.2 Lts\)
En este caso, el volumen aumenta de 6 a 7.2 litros al aumentar la temperatura de 27 °C a 87°C.
Ejemplo #2 Un tanque está lleno de un gas y se mantiene a presión constante. El gas inicialmente se encuentra ocupando un volumen de 0,25 lts a una temperatura de 27 °C. Esprese en una gráfica, la relación entre volumen y temperatura.
Solución
Ponemos la temperatura en grados kelvin.
$T_1 = 27 °C = (27 + 273) °K = 300 °K $
En este caso,
\(V_1/T_1=V/T\)
Es decir, \(V=0.25/300* T\)
T=seq(from=0,to=600,by=50)
V=0.25/300*T
cbind(T,V)## T V
## [1,] 0 0.00000000
## [2,] 50 0.04166667
## [3,] 100 0.08333333
## [4,] 150 0.12500000
## [5,] 200 0.16666667
## [6,] 250 0.20833333
## [7,] 300 0.25000000
## [8,] 350 0.29166667
## [9,] 400 0.33333333
## [10,] 450 0.37500000
## [11,] 500 0.41666667
## [12,] 550 0.45833333
## [13,] 600 0.50000000plot(T,V,xlab="Temperatura absoluta del gas", ylab="Volumen del gas", main="Ley de Charles")
Ejemplo # 3 Un gas que es mantenido a presión constante disminuye su temperatura absoluta en una fracción de 8/21. Calcule el volumen final cuando el volumen inicial es de 105 litros.
Solución
Al ser la presión constante, se aplica la ley de Charles que afirma que un gas a presión costante tendrá siempre un volumen proporcional a la temperatura del gas, es decir, cuando la temperatura se reduce en una proporcion de 8/21 su volumen también lo hace, pues se tendrá
\(V_f = 8/21* V_i = 8/21 * 105 Lts\)
\(V_f= 40 Lts\).
El volumen de la muestra de gas pasa de 105 litros a 40 litros. El gas se comprime manteniendo su presión fija.
Ley de Gay Lussac
La ley del gas ideal a volumen constante fue formulada por Gay Lussac. Esta ley establece que a volumen constante, la presión de un gas es directamente proporcional a su temperatura absoluta. Matemáticamente, esto quiere decir que el cociente entre la presión absoluta del gas y la temperatura absoluta del gas es una constante \(P/T = cte\); y se expresa como:
\(P_1/T_1=P_2/T_2\)
A volumen constante la relación entre la presión de una muestra de gas y su temperatura es una línea recta con pendiente positiva, que indica que al aumentar la presión aumenta también la temperatura siempre que el volumen del gas permanezca constante. Si se duplica la presión absoluta también se duplicará la temperatura absoluta, pero, si la temperatura absoluta se reduce a la tercera parte también la presión absoluta se reducirá a la tercera parte. Nótese que para emplear la ecuación se utilizan presiones absolutas y temperaturas absolutas.
Ejemplo #1 Una olla a presión inicia la cocción de los alimentos a temperatura y presión estándar de 30°C y 101.3 kpa. Imagine que la olla se sella y se le suministra calor hasta los 80 °C. Obtenga la presión para la nueva temperatura.
En principio, tenemos la temperatura en la escala absoluta
T_1=30+273=303 °k
T_2=80+273=353°k
Dado que la olla presión se sella manteniendo su volumen, esto es, la estructura interna queda con espacio inalterable, entonces se aplica la ley de Gay Lussac \(P_1/T_1=P_2/T_2\) para presiones y temperaturas en sus escalas absolutas.
P_1=101.3
T_1=303
T_2=353
P_2=P_1*T_2/T_1
P_2## [1] 118.0162T=seq(from=0,to=400,by=50)
P=P_1/T_1*T
cbind(T,P)## T P
## [1,] 0 0.00000
## [2,] 50 16.71617
## [3,] 100 33.43234
## [4,] 150 50.14851
## [5,] 200 66.86469
## [6,] 250 83.58086
## [7,] 300 100.29703
## [8,] 350 117.01320
## [9,] 400 133.72937plot(T,P,xlab="Temperatura kelvin", ylab="Presión absoluta kpa", main="Relación entre Presión y Temperatura")
Ejemplo # 2 Un gas es mantenido a volumen constante. Si en principio la muestra de gas se encuentra a una presión manométrica de 240 kPa cuando la temperatura es de 15°C. Encuentre las presiones absolutas a las siguientes temperaturas 40, 80, 120, 150 y 180 °C. Esboce los resultados en una gráfica.
Solución
Se convierten las presiones y temperaturas a las escalas absolutas.
\(P_1 = 240 kPa + 101.3 kPa = 341.3 kPa\)
$T_1 = 15 °C = (15 + 273) °K = 288 °K $
Se aplica la ley de Gay Lussac
\(P_1/T_1=P_2/T_2\),
de la cual se despeja la presión final, Se calcula la presión
\(P_2 = P_1 T_2 / T_1\)
P_1=341.3
T_1=288
T_2=c(40, 80,120,150,180)+273
P_2=P_1*T_2/T_1
cbind(T_2,P_2)## T_2 P_2
## [1,] 313 370.9267
## [2,] 353 418.3295
## [3,] 393 465.7323
## [4,] 423 501.2844
## [5,] 453 536.8365plot(T_2,P_2,xlab="Temperatura absoluta", ylab="Presión absoluta", main="Relación Ley de Gay Lussac")
Ejemplo # 3 El gas dentro de un recipiente es mantenido a volumen constante de 5 lts. La presión absoluta inicial es de 100 cmHg siendo su temperatura absoluta de 300 °K. ¿Cuál será la temperatura final del gas cuando la presión manométrica es de 120 cmHg, suponiendo que es viable?
Solución
Se aplica la ley de Gay Lussac, los datos útiles para la solución son \(P_1=100 cmHg\), \(T_1=300°K\) y \(P_2=120 +76=196cmHg\)
\(P_1/T_1=P_2/T_2\),
de la cual se despeja la temperatura final:
\(T_2 = P_2 T_1 / P_1\)
Reemplazando, se obtiene
\(T_2=196cmHg*300°k/(100cmHg) = 588°K\)
En este caso, la temperatura final de la muestra de gas será de 588 °K, es decir, 315 ° C.
Ley General de los Gases
En las tres variables de estado presión absoluta P, volumen V y temperatura absoluta T; la relación de P, V y T se expresa mediante la llamada ecuación de estado del gas ideal dada por la siguiente fórmula: \(PV = n R T\), donde n es el número de moles del gas y R es la constante universal de los gases.
\(R = 0.0821 lt* atm/(mol* K) = 8.314 J/(mol * K)\).
La ley general del gas ideal, para un número de moles constante, se suele expresar como:
\(P_1V_1/T_1 =P_2V_2/T_2\).
En el caso en que el número de moles n no sea constante se deben escribir los términos \(n_1\) y \(n_2\) en los denominadores de cada lado de la igualdad.
Ejemplo # 1 Un tanque tiene un volumen de 15 lt y se llena con gas bajo una presión absoluta de \(300kpa\) a 27 °C. Si la presión absoluta es \(130 kpa\) y la temperatura es -13 °C. ¿Qué volumen de gas habrá en esa condiciones?
Solución
Después de convertir las temperaturas a la escala absoluta kelvin \(T_1 = 300°K\) y $T_2 = 260 °K $, se aplica la ecuación
\(P_1V_1/T_1 =P_2V_2/T_2\).
El volumen final se despeja de la ecuación anterior:
\(V_2 = P_1V_1*T_2/(P_2T_1)\)
\(V_2= 300kpa * 15 lt* 260k/ (130kpa *300k)\)
\(V_2= 30 Lts\).
Ejemplo # 2 Determine el volumen que ocupa una mol de cualquier gas a presión y temperatura estándar (\(P = 1 atm\) y \(T = 0°C\)).
Solución
Se aplica la ecuación de estado, \(PV = n R T\).
Despejando
$V =nRT/P $
\(V=1 mol* 0.0821 at * lt/(mol* k) * 273k/(1at) = 22.4 Lts\).
Ejemplo # 3 El número de moles de la ecuación de estado expresa la relación entre la masa de gas m y la masa molar M, de este modo, n = m/M. Con esta información, obtenga la masa de gas carbónico CO2, que ocupará un volumen de 0.8 m^3 a una presión absoluta de 150 kPa y a una temperatura de 27 °C. Tenga en cuenta que la masa molar del gas carbónico es \(M = 44 g/mol\).
Solución
Al expresar \(n = m/M\), la ecuación de estado se transforma en
\(PV = (m/M) RT\)
Al despejar m se obtiene
\(m = PVM/(RT)\)
Al reemplazar datos, en escalas del SI, se obtiene
P=150000
V=0.8
R=8.314
M=0.044
T=300
m = P*V*M/(R*T)
m## [1] 2.116911n=m/M
n## [1] 48.11162\(m= 2117 g = 2.117 kg\).
La masa de gas carbónico que ocupará un volumen de 0.8 m^3 a una presión absoluta de 150 kPa y una temperatura de 27°C es de 2.117 kg. Serían 48.11 moles de gas carbónico.
Calorimetría
Los efectos del calor sobre las sustancias son el aumento de la temperatura, la dilatación y el cambio de fase. Entre estas, se puede afirmar que las sustancias responden de manera particular al calor que se les suministra. Por lo tanto, la capacidad de absorber y ceder calor se relaciona con el concepto de calor específico y ligado a este el calor sensible. Por otro lado, en lo que respecta al cambio de fase se asocian conceptos de calor de fusión o calor de vaporización, y a éstos se asocia el concepto de calor latente.
Al suministrar calor a una sustancia pueden ocurrir una de dos cosas: (1) Elevar la temperatura de la sustancia conservando la fase en la que se encuentra y (2) Mantener la temperatura de la sustancia cambiando la fase en la que la sustancia se encuentra.
Calores Específicos y Calor Sensible
Las sustancias tienen calor específico c y este se define como la cantidad de calor que hay que suministrar por gramo de la misma para elevar la temperatura en 1 grado celsius. A menor calor específico la sustancia eleva su temperatura más rapidamente, también puede transmitir calor provocando quemaduras más graves. En términos matemáticos se tiene
\(DQ=c.m.DT\)
Ejemplo #1 A continuación se considera un grupo de 5 sustancias con calores específicos en \(cal/(gr°C)\) simbolizado con c, masa m en gramos y \(DT\) cambio de temperatura. Calcular la cantidad de calor para que ocurra ese cambio de temperatura en esas masas de sustancia.
c=c(0.09,0.11,0.15,0.21,0.37,0.5)
m=c(20,50,30,40,25,15)
DT=c(5,10,15,12,8,3)
DQ=c*m*DT
cbind(c,m,DT,DQ)## c m DT DQ
## [1,] 0.09 20 5 9.0
## [2,] 0.11 50 10 55.0
## [3,] 0.15 30 15 67.5
## [4,] 0.21 40 12 100.8
## [5,] 0.37 25 8 74.0
## [6,] 0.50 15 3 22.5Ejemplo #2 A continuación se considera un grupo de 5 sustancias con calores específicos fijos en \(cal/(gr°C)\) simbolizado con c, masa m en gramos y \(DT\) cambio de temperatura fijo. Calcular la cantidad de calor para que ocurra ese cambio de temperatura en esas masas de sustancia.
c=0.25
m=c(20,50,30,40,25,15)
DT=15
DQ=c*m*DT
cbind(c,m,DT,DQ)## c m DT DQ
## [1,] 0.25 20 15 75.00
## [2,] 0.25 50 15 187.50
## [3,] 0.25 30 15 112.50
## [4,] 0.25 40 15 150.00
## [5,] 0.25 25 15 93.75
## [6,] 0.25 15 15 56.25plot(m,DQ,xlab="masa", ylab="Cantidad de Calor", main="Cantidad de Calor según la masa")
De acuerdo con los resultados al incrementarse la masa se debe suministrar mayor cantidad de calor para provocar un cambio de temperatura específico. En este caso, se puede concluir que la cantidad de calor a suministrar es directamente proporcional a la masa.
Ejemplo #3 A continuación se considera un grupo de 5 sustancias con calores específicos en \(cal/(gr°C)\) simbolizado con c, masa m en gramos fija y \(DT\) cambio de temperatura. Calcular la cantidad de calor para que ocurra ese cambio de temperatura en esas masas de sustancia.
c=0.15
m=50
DT=c(5,10,15,12,8,3)
DQ=c*m*DT
cbind(c,m,DT,DQ)## c m DT DQ
## [1,] 0.15 50 5 37.5
## [2,] 0.15 50 10 75.0
## [3,] 0.15 50 15 112.5
## [4,] 0.15 50 12 90.0
## [5,] 0.15 50 8 60.0
## [6,] 0.15 50 3 22.5plot(DT,DQ,xlab="Variación de Temperatura", ylab="Cantidad de Calor", main="Cantidad de Calor según la variación de temperatura")
Se puede concluir que para elevar más la temperatura se debe suministrar mas calor. Luego, para provocar mayor variación en la temperatura se necesita suministrar mayor cantidad de calor a la sustancia.
Ejemplo #4 ¿Cómo depende el calor suministrado del calor específico?
Al mantener la masa y la variación de temperaturas se les suministra distintas cantidades de calor a las sustancias. Las sustancias con el menor calor específico requieren menor cantidad de calor, calentándose más rápido
c=c(0.15,0.2,0.25, 0.3, 0.35,0.40)
m=50
DT=5
DQ=c*m*DT
cbind(c,m,DT,DQ)## c m DT DQ
## [1,] 0.15 50 5 37.5
## [2,] 0.20 50 5 50.0
## [3,] 0.25 50 5 62.5
## [4,] 0.30 50 5 75.0
## [5,] 0.35 50 5 87.5
## [6,] 0.40 50 5 100.0plot(c,DQ,xlab="Calor específico", ylab="Cantidad de Calor", main="Cantidad de Calor según calor específico")
A mayor calor específico los efectos del calor son menos notorios, ya que la cantidad de calor aumenta al aumentar el calor específico para provocar el mismo efecto en condiciones similares.
Ejemplo #5 Un bloque de metal con calor específico de \(0.15cla/(gr°C)\), masa de 120 gramos y temperatura de 150°C; se vierte en un calorímetro que contiene 200 gramos de agua a 35°C. Determine la temperatura final asumiendo que el calorímetro sufre efectos despreciables por el calor.
Solución
\(c_1.m_1.(TF-T1)=-c_2.m_2.(TF-T_2)\)
Reemplazando se obtiene
\(200gr\times 1Cal/(gr°C)\times(TF-35°C)=-120gr\times 0.15Cal/(gr°C)\times(TF-150°C)\)
\(200(TF-35°C)=-18(TF-150°C)\)
\(218TF=(150\times 18+35\times 200)°C\)
\(TF=9700°C/218\)
\(TF=44.4954 °C\)
Se puede obsevar que el metal sufre mayor cambio absoluto de temperatura que el agua.
Calor Latente
El calor latente no se manifiesta incrementando la temperatura de la sustancia, pero si provocando el cambio de fase, comúnmente de sólido a líquido ó de líquido a gaseoso. El calor de fusión es el calor que se debe suministrar por gramo de sustancia exactamente en el punto de fusión para fundir un framo de masa de dicha sustancia. El calor de vaporización, es una constante más alta y se define como el calor que se debe suministrar a un gramo de sustancia exactamente en el punto de vaporización para pasar de líquido a gas.
Los puntos de fusión y vaporización son temperaturas, donde la tamperatura de vaporización (punto de ebullición) es mayor a la temperatura de fusión (Punto de fusión).
Ejemplo #1 Considere 60 gramos de hielo a 0°C (punto de fusión del agua). ¿Cuánto calor se requiere para fundir los 60 gramos de hielo?
Solución
En este problema se maneja la constante calor de fusión del agua \(H_f=80 Cal/gr\).
Se define el calor latente como \(L_f=m*H_f\).
Al reemplazar se tiene \(L_f=60gr\times 80Cal/gr\).
Luego, \(L_f=4800 Calorías\)
Estas calorías tienen un equivalente mecánico \(1Cal=4.18 J\), donde J equivale a julios.
Para fundir 60 grmaos de hielo a 0 °C se requieren 4800 calorías.
Ejemplo #2 Considere 60 gramos de agua a 0°C (punto de fusión del agua). ¿Cuánto calor se requiere para evaporar los 60 gramos de agua? Calcule el calor necesario para alcanzar el punto de ebullición de 100°C y luego utilice el calor de vaporización del agua \(H_v=540 Cal/gr\).
Solución
En este problema se maneja la constante calor especifico del agua \(c=1 Cal/(gr°C)\).
Se define el calor total como \(Q=DQ+L_f\).
Primero \(DQ=c\times m \times DT\), esto es \(DQ=1cal/(gr°C)*60gr*(100-0)°C\), es decir \(DQ=6000 calorias\).
Segundo el calor latente de vaporización es \(L_v=m*H_v=60 gr\times 540Cal/gr=32400 calorias\).
El calor total es \(Q=38400 Calorías\)
Para vaporizar se requiere mayor cantidad de calor.
Eventos Ondulatorios
En este capítulo se estudian los elementos que componen las ondas, tanto mecánicas como electromagnéticas. Este capítulo consta de 10 secciones que son: el movimiento periódico, el movimiento armónico simple, las ondas sonoras en cuerdas y tubos, Velocidades del sonido, fenómenos en ondas planas, teorías de la naturaleza de la luz, reflexión de la luz, refracción de la luz, lentes e instrumentos ópticos, experimentos de la dualidad de la luz.
El Movimiento Periódico
El movimiento periódico va desde la traslación de los planetas alrededor del Sol ó la Rotación de los planetas sobre sus propios ejes; hasta las vibraciones de los átomos y al interior de éstos.
La tierra tarda un año en completar la vuelta al Sol, es decir, el periodo de traslación de la tierra es de 1 año = 12 meses = 365 días para años normales, y años bisiestos cada 4 años con un día más.
Por ejemplo, el atómo de cesio, durante un segundo, vibra 9192631770 de veces, es decir, provoca casi 10 mil millones de radiaciones durante un segundo.
De este modo, tenemos involucrados los conceptos de vibración, periodo y frecuencia, en primera instancia.
Ejemplo: Suponga que una primera partícula vibra con 30 oscilaciones mas que otra, en un tiempo de 4 minutos. Ahora, se sabe que la frecuencia de la primera partícula, medida en hertz, es \(f_1\). Exprese en una gráfica la frecuencia de la segunda partícula \(f_2\) como función de la primera.
f_1=seq(from=0.2,to=1,by=0.1)
f_2=-0.125+f_1
plot(f_1,f_2,type="l",xlab="frecuencia hertz de la partícula 1", ylab="frecuencia de la partícula 2", main="Relación entre frecuencias")
Las frecuencias se relacionan linealmente, por ejemplo, si la frecuencia de la primera partícula es 0.6 hz, la frecuencia de la segunda partícula es 0.475 hz. Es decir, la diferencia entre las frecuencias de las partículas 1 y 2, se mantiene en 0.125 hz.
Osciladores Armónicos Simples
Un tipo de movimiento periódico osciatorio es el M.A.S. (Movimiento Armónico Simple), el cual cumple una ecuación diferencial, de la cual daremos su formato simple \(a(t)=-\omega^2.x(t)\), que define una proporción directa entre aceleración a y desplazamiento x, característico de los osciladores armónicos.
Esta ecuación con el signo menos define la fuerza recuperadora de magnitud directamente proporcional a la elongación o desplazamiento, pero dirigida en sentido contrario a este.
La solución del oscilador armónico ideal es una convolución sinusoidal \(X(t)=A.sin(\omega t) + B.Cos(\omega t)\) ó lo que es su solución general \(X(t)=A_0.Cos(\omega t + \phi)\).
Una forma particular es \(X_1(t)=A_1.sin(\omega t)\) y otra \(X_2(t)=B_1.Cos(\omega t)\).
Las soluciones general o partículares se conocen como curvas sinusoidales, las cuales definen un periodo, simbolizado por T, dado por \(T=\frac{2.\pi}{\omega}\), donde la cantidad \(\omega\) es la frecuencia natural del sistema, medida en rad/seg.
Las curvas sinusoidales tienen una amplitud, en caso de x, la elongación máxima se llama amplitud y se simboliza por A.
Las ecuaciones armónicas de la velocidad de la partícula, para \(X(t)=A.Cos(\omega t)\), tienen tambien la forma particular \(v(t)=-\omega.A.Sin(\omega t)\), donde la velocidad máxima es \(v_{max}=A.\omega\); y su aceleración sería \(a(t)=-\omega^2.X(t)\), en este caso, \(a(t)=-\omega^2.A.Cos(\omega t)\), donde la aceleración máxima es \(a_{max}=A.\omega^2\).
El principio del oscilador es efectuar un número de oscilaciones que guarda una relación que es directamente proporcional al tiempo; por lo que \(T=\frac{t}{n}\), donde t es el tiempo, generalmente, en segundos y n es el número de vibraciones en el tiempo señalado. Este cumple tambien \(f.T=1\).
Ejemplo: Suponga que un oscilador armónico ideal tiene una amplitud de 20cm, una frecuencia de 0.5 hz, y se sujeta a la condición inicial \(X(t)=20cm\).
Encuentre el periodo, la frecuencia angular, la velocidad máxima y la aceleración máxima.
Escriba las ecuaciones de x, v y a.
Grafique la elongación, modificando el periodo a 4 segundos.
Solución
Primeramente, el periodo es \(T=\frac{1}{f}\), es decir \(T=\frac{1}{0.5hz}\), esto es, \(T=2s\). La frecuencia angular puede ser escrita como \(\omega =2.\pi. f\), es decir, \(\omega=\pi\), en radianes por segundo, al reemplazar \(f=0.5\) hertz. La velocidad máxima es \(v_{max}=A.\omega\), es decir, un valor de \(20\pi\), en centímetros por segundo. La Aceleración máxima es \(a_{max}=A.\omega^2\), que al reemplazar da \(20\pi^2\), en centímetros por segundo cuadrado.
Las ecuaciones para las condiciones dadas, sistema CGS (Centímetros, gramos y segundos), son
\(x(t)=20.Cos(\pi.t)\)
\(v(t)=-20.\pi. Sin(\pi.t)\)
\(a(t)=-20.\pi^2.Cos(\pi. t)\)
- La gráfica de la elongación es
t=seq(from=0, to=16,by=0.1)
x=20*cos(3.14159*t/2)
x1=0.00000001*t
plot(t,x,type="l")
lines(t,x1)
Ondas Sonoras en Cuerdas y Tubos
Para cuerdas y tubos sonoros las vibraciones vienen prefijadas en armónicos, cada uno con una frecuencia específica según su longitud L, donde normalmente el modo fundamental define el primer armónico, que constituye la frecuencia más baja y los otros armónicos son múltiplos enteros de la frecuencia fundamental (pero no todos los enteros, sólo los positivos y )
La cuerda sonora tiene nodos fijos en los extremos, es decir, puntos no vibrantes y por esto, se tiene que el modo fundamental es definido con la frecuencia \(f_0=v/\lambda_0\), de un huso donde \(\lambda_0=2L/1\), es decir, \(f_0=v/(2L)\). Ahora el segundo armónico se define con dos husos, esto es, \(\lambda_1=2L/2\), es decir \(f_1=2v/(2L)\).
Así sucesivamente, el tercer armónico con tres husos: \(\lambda_2=2L/3\), es decir, \(f_2=3v/(2L)\).
En general, la frecuencia se puede escribir para el armónico n como \(f_{n-1}=nv/(2L)\), donde \(n=1, 2, 3, ...\).
Además, se tiene \(\lambda_{n-1}=2L/n\), donde \(n=1, 2, 3, ...\)
En el caso del tubo sonoro abierto, se producen los mismos armónicos que la cuerda sonoro, pero con la diferencia que en la cuerda la velocidad depende de la tensión y la densidad de masa lineal, pero en el tubo sonoro la velocidad es la velocidad de la onda sonora generalmente en el aire y su valor estándar es 340 m/s. Esto quiere decir que para el tubo sonoro abierto se tiene
\(f_{n-1}=n(340)/(2L)\), en hertz, donde \(n=1, 2, 3, ...\).
Además, se tiene \(\lambda_{n-1}=2L/n\), donde \(n=1, 2, 3, ...\).
Para el tubo sonoro semiabierto o simplemente tubo cerrado se tienen
\(f_{n-1}=(2n-1)(340)/(4L)\), donde \(n=1, 2, 3, ...\).
Además, se tiene \(\lambda_{n-1}=4L/(2n-1)\), donde \(n=1, 2, 3, ...\)
Algunos autores acostumbran a decir que la frecuencia de los armónicos superiores es un múltiplo entero impar de la frecuencia fundamental y aquí también se da ese caso.
Ejemplo #1: Determine las frecuencias fundamental y armónicos 2, 3, 4 y 5 de una cuerda de guitarra de longitud de 1 metro cuya velocidad de propagación es de 5 m/s.
Solución En primera instancia se calcula la frecuencia fundamental o del primer armónico, como \(f_0=v/(2L)=(5m/s)/(2*1m)\), es decir, \(f_0=2.5 Hz\)
Las frecuencias de los armónicos 2, 3, 4 y 5 serían \(5, 7.5, 10, 12.5\) Hertz.
Ejemplo #2: Determine las frecuencias fundamental y armónicos 2, 3, 4 y 5 de un tubo sonoro abierto de longitud 1 metro. Tenga presente que la velocidad del sonido a 15 °C es aproximadamente 340 m/s.
Solución En primera instancia se calcula la frecuencia fundamental o del primer armónico, como \(f_0=v/(2L)=(340m/s)/(2*1m)\), es decir, \(f_0=170 Hz\)
Las frecuencias de los armónicos 2, 3, 4 y 5 serían \(340, 510, 680, 850\) Hertz.
Ejemplo #3: Determine las frecuencias fundamental y armónicos 2, 3, 4 y 5 de un tubo sonoro cerrado ó semiabierto de longitud 1 metro. Tenga presente que la velocidad del sonido a 15 °C es aproximadamente 340 m/s.
Solución En primera instancia se calcula la frecuencia fundamental o del primer armónico, como \(f_0=v/(4L)=(340m/s)/(4*1m)\), es decir, \(f_0=85 Hz\)
Las frecuencias de los armónicos 2, 3, 4 y 5 serían múltiplos impares dados por el formato \(f_{n-1}=(2n-1)(340)/(4L)\), donde \(n= 2, 3, 4, 5\). Estas frecuencias se expresan en hertz.
En la tabla, se consignan las 5 primeras, donde \(n=1\) corresponde al modo fundamental o primer armónico.
n=c(1,2,3,4,5)
v=340
f=(2*n-1)*v/(4*1)
cbind(n,f)## n f
## [1,] 1 85
## [2,] 2 255
## [3,] 3 425
## [4,] 4 595
## [5,] 5 765Reflexión de la luz
En esta sección se estudia el fenómeno de la reflexión de la luz, que se refiere a los tipos de espejos.
Espejo Plano \(s=s'\) (Ecuación del espejo plano)
En el espejo plano la imagen es virtual y derecha y con una inversión lateral.
Espejos Esféricos
\(\frac{1}{s}+\frac{1}{s'}=\frac{2}{R}\)
Los espejos esféricos pueden ser cóncavos o convexos.
La convención de signos es que todo lo que está delante del espejo es positivo. En el ejemplo que se da a continuación tanto s, como s’ y R son positivos (espejo cóncavo).
El aumento de la imagen es \(A=\frac{-s'}{s}\).
La altura de la imagen es \(h=|A|*h\).
Ejemplo 1: El siguiente problema es de un espejo cóncavo. Suponga un espejo cóncavo de radio 20cm, al cual se le coloca un objeto de 2 cm de altura a 30 cm del vértice del espejo.
En la gráfica se ilustran los rayos principales.
Determine: -la posición de la imagen. -el aumento de la imagen. -el tamaño de la imagen. -la naturaleza de la imagen.
Solución
Datos: \(R=20cm\), \(s=30cm\), \(h=2 cm\)
-Usando la ecuación se tiene
\(\frac{1}{s'}=\frac{2}{20cm}-\frac{1}{30cm}\)
\(\frac{1}{s'}=\frac{1}{10cm}-\frac{1}{30cm}\)
El 30 contiene al 10, así que se deja 30 como denominador común.
El 30 entre 10 a 3 y 3 por 1 da 3. 30 entre 30 a 1 por 1 da 1. De alli sale \(3-1\). Esto equivale a un proceso de amplificación de fracciones.
\(\frac{1}{s'}=\frac{3-1}{30cm}\)
\(\frac{1}{s'}=\frac{2}{30cm}\)
\(s'=15cm\)
- El aumento de la imagen es
\(A=\frac{-s'}{s}\)
\(A=\frac{-15cm}{30cm}\)
\(A=\frac{-1}{2}\)
- El tamaño de la imagen es
\(h'=|A|.h\)
\(h'=\frac{2cm}{2}\)
\(h'=1cm\)
- la naturaleza de la imagen es real, invertida y disminuida. Es real porque se forma delante del espejo, es invertida ya que los rayos producen una inversión dada la naturaleza del espejo, que es cóncavo; y finalmente, la imagen se disminuyó a la mitad del tamaño vertical del objeto.
Ejemplo 2: El siguiente problema es de un espejo cóncavo. Suponga un espejo cóncavo de radio 20cm, al cual se le coloca un objeto de 2 cm de altura a 15 cm del vértice del espejo.
En la gráfica se ilustran los rayos principales.
Determine: -la posición de la imagen. -el aumento de la imagen. -el tamaño de la imagen. -la naturaleza de la imagen.
Solución
Datos: \(R=20cm\), \(s=15cm\), \(h=2 cm\)
-Usando la ecuación se tiene
\(\frac{1}{s'}=\frac{2}{20cm}-\frac{1}{15cm}\)
\(\frac{1}{s'}=\frac{1}{10cm}-\frac{1}{15cm}\)
El 30 contiene al 10 y al 15, así que se deja 30 como denominador común.
El 30 entre 10 a 3 y 3 por 1 da 3. 30 entre 15 a 2 por 1 da 1. De alli sale \(3-2\). Esto equivale a un proceso de amplificación de fracciones.
\(\frac{1}{s'}=\frac{3-2}{30cm}\)
\(\frac{1}{s'}=\frac{1}{30cm}\)
\(s'=30cm\)
- El aumento de la imagen es
\(A=\frac{-s'}{s}\)
\(A=\frac{-30cm}{15cm}\)
\(A=-2\)
- El tamaño de la imagen es
\(h'=|A|.h\)
\(h'=2cm\times 2\)
\(h'=4cm\)
- la naturaleza de la imagen es real, invertida y aumentada. Es real porque se forma delante del espejo, es invertida ya que los rayos producen una inversión dada la naturaleza del espejo, que es cóncavo; y finalmente, la imagen se aumentó al doble del tamaño vertical del objeto.
Ejemplo 3: El siguiente problema es de un espejo cóncavo. Suponga un espejo cóncavo de radio 20cm, al cual se le coloca un objeto de 2 cm de altura a 5 cm del vértice del espejo.
En la gráfica se ilustran los rayos principales.
Determine: -la posición de la imagen. -el aumento de la imagen. -el tamaño de la imagen. -la naturaleza de la imagen.
Solución
Datos: \(R=20cm\), \(s=5cm\), \(h=2 cm\)
-Usando la ecuación se tiene
\(\frac{1}{s'}=\frac{2}{20cm}-\frac{1}{5cm}\)
\(\frac{1}{s'}=\frac{1}{10cm}-\frac{1}{5cm}\)
El 10 contiene al 5, así que se deja 10 como denominador común.
El 10 entre 10 a 1 y 1 por 1 da 1. 10 entre 5 a 2 por 1 da 2. De alli sale \(1-2\). Esto equivale a un proceso de amplificación de fracciones.
\(\frac{1}{s'}=\frac{1-2}{10cm}\)
\(\frac{1}{s'}=-\frac{1}{10cm}\)
\(s'=-10cm\)
- El aumento de la imagen es
\(A=\frac{-s'}{s}\)
\(A=-\frac{-10cm}{5cm}\)
\(A=2\)
- El tamaño de la imagen es
\(h'=|A|.h\)
\(h'=2cm\times 2\)
\(h'=4cm\)
- la naturaleza de la imagen es virtual, derecha y aumentada. Es virtual porque se forma detrás del espejo, es derecha ya que los rayos no producen una inversión dada la naturaleza del espejo y el hecho que el objeto está cerca; y finalmente, la imagen se aumentó al doble del tamaño vertical del objeto.
Ejemplo 4: El siguiente problema es de un espejo convexo. Suponga un espejo cóncavo de radio 20cm, al cual se le coloca un objeto de 2 cm de altura a 10 cm del vértice del espejo.
En la gráfica se ilustran los rayos principales.
Determine: -la posición de la imagen. -el aumento de la imagen. -el tamaño de la imagen. -la naturaleza de la imagen.
Solución
Datos: \(R=-20cm\), \(s=10cm\), \(h=2 cm\)
Ahora, el radio es negativo por estar detrás del espejo.
-Usando la ecuación se tiene
\(\frac{1}{s'}=\frac{2}{-20cm}-\frac{1}{10cm}\)
\(\frac{1}{s'}=\frac{-1}{10cm}-\frac{1}{10cm}\)
\(\frac{1}{s'}=\frac{-1-1}{10cm}\)
\(\frac{1}{s'}=\frac{-2}{10cm}\)
\(s'=-5cm\)
- El aumento de la imagen es
\(A=\frac{-s'}{s}\)
\(A=-\frac{-5cm}{10cm}\)
\(A=\frac{1}{2}\)
- El tamaño de la imagen es
\(h'=|A|.h\)
\(h'=\frac{2cm}{2}\)
\(h'=1cm\)
- la naturaleza de la imagen es virtual, derecha y disminuida. Es virtual porque se forma detrás del espejo, es derecha siempre para espejo convexo; y finalmente, la imagen se disminuyó a la mitad del tamaño vertical del objeto.
Refracción de la Luz
La refracción de la luz es el cambio de dirección de la luz al pasar de un medio transparente a otro. El medio refringente es un medio cristalino, cuyo índice de refracción mide el efecto de un medio sobre la luz incidente. A mayor índice es menor la transparencia del material. Además, el índice de refracción afecta la velocidad de la luz y la longitud de onda, mas no la frecuencia.
Imagine que un objeto está en el punto O, y el rayo va de O hasta un punto P sobre la superficie esférica del medio, con ángulo de incidencia i. Además, el rayo va del medio 1 al medio 2 donde se refracta el rayo con ángulo de refracción r. En la gráfica se forman los triangulos CPO y CPO’. Se aplica el teorema del ángulo externo para deducir la ecuación de refringencia en la superficie esférica de radio R. Primero, el teorema del ángulo externo afirma que todo ángulo externo a un triángulo es igual a la suma de los ángulos internos no contiguos.
Por lo tanto, se tiene que \[i=\theta +\alpha\] \[\alpha=r+\theta'\] Se toma la convención de que \(n_1\) es el índice de refracción del medio donde se encuentra el objeto y \(n_2\) es el otro medio.
Al multiplicar la primera ecuación por \(n_1\) y la segunda ecuación por \(n_2\), y usar el hecho de que \(n_1\times i=n_2\times r\) (aproximación para rayos paraxiales), se tiene \[n_1\times \theta + n_2\times \theta'=\left(n_2-n_1\right)\times \alpha\] Luego al aproximar cada ángulo por su tangente, para ángulos pequeños, esto resulta en
\[\frac{n_1\times h}{s} + \frac{n_2\times h}{s'}=\frac{\left(n_2-n_1\right)\times h}{R}\] Que al simplificar h, se obtiene
\[\frac{n_1}{s} + \frac{n_2}{s'}=\frac{n_2-n_1}{R}\]
Ejemplo: Una estrella se encuentra incrustada en una esfera de diamante cuyo índice es \(n_1=2.42\) a una distancia de 10 cm de la superficie cuyo radio es de 20 cms. Si la estrella es observada desde dentro del agua, cuyo índice de refracción es \(n_2=1.33\), ¿A qué distancia de la superficie se formará la imagen?
Datos
\(n_1=2.42\), \(n_2=1.33\), \(s=10cm\), \(R=-20cm\).
\[\frac{n_1}{s} + \frac{n_2}{s'}=\frac{n_2-n_1}{R}\]
Reemplazando queda
\[\frac{2.42}{10cm} + \frac{1.33}{s'}=\frac{1.33-2.42}{-20cm}\]
\[ \frac{1.33}{s'}=\frac{1.09}{20cm}-\frac{2.42}{10cm}\]
\[ \frac{1.33}{s'}=\frac{1.09-4.84}{20cm}\]
\[ \frac{1.33}{s'}=\frac{-3.75}{20cm}\]
Luego, \(s'=\frac{-20cm\times 1.33}{3.75}\), esto es, \(s'=-7.0933 cms\).
La imagen se forma a un poco mas de 7 cms de la superficie, es decir, casi 3 cms delante de la estrella.
Ejemplo: Una estrella es observada desde el aire, cuando está incrustada en una esfera de vidrio, como lo muestra la figura.
Si el aumento es de 1.3 y la moneda se encuentra a 20 cms de la superficie, encuentre
La posición de la imágen.
El radio de curvatura de la superficie.
Solución
De acuerdo con la definición del aumento
\[A=\frac{-n_1\times s'}{n_2\times s}\] Se obtiene \(s'=-17.33cm\).
- Al reemplazar en la ecuación de refringencia, se tiene \(\frac{n_1}{s}+\frac{n_2}{s'}=\frac{n_2-n_1}{R}\)
Al reemplazar queda \(R=-28.89 cm\)
Ejemplo: Una estrella es observada desde el agua, cuando está incrustada en una esfera de vidrio, como lo muestra la figura.
Si el aumento es de 1.1 y la moneda se encuentra a 10 cms de la superficie, encuentre
La posición de la imágen.
El radio de curvatura de la superficie.
Solución
De acuerdo con la definición del aumento
\[A=\frac{-n_1\times s'}{n_2\times s}\] Se obtiene \(s'=-9.8cm\).
- Al reemplazar en la ecuación de refringencia, se tiene \(\frac{n_1}{s}+\frac{n_2}{s'}=\frac{n_2-n_1}{R}\)
Al reemplazar queda \(R=-12.22 cm\)
Ejemplo: Considere que un pescador ve un pez debajo del agua \(n_1=1.33\). Si el pez, está a 2 metros de la superficie, ¿A qué distancia se forma su imagen?
Aplicando la ecuación de superficies refringentes, se tiene
\[\frac{n_1}{s} + \frac{n_2}{s'}=\frac{n_2-n_1}{R}\] Pero como la superficie del agua se considera plana por obvias razones, entonces
\[\frac{n_1}{s} + \frac{n_2}{s'}=0\] Esto es, el radio se toma infinito.
Al reemplazar datos, queda:
\[\frac{1.33}{2m} + \frac{1}{s'}=0\] Luego \(s'=-\frac{2m}{1.33}\), quedando aproximadamente \(s'=-1.5m\).
Esto significa que la imagen se forma arriba del pez, similar al caso de la moneda.
Teoría de las lentes delgadas
En este aparte, se estudian las lentes delgadas, las cuales consideran dos tipos: convergentes y divergentes.
La ecuación de las lentes delgadas es similar a la de los espejos esféricos, pero con la distancia focal del fabricante de lentes, en función del índice del material con que está construida y el radio de las superficies que la componen.
En las lentes se dibujan los diagramas de izquierda a derecha, y los objetos delante de la lente tienen posición positiva \(s>0\) y las imagenes delante de la lente negativas \(s'<0\). También el radio detrás de la lente se considera positivo. El aumento de la imagen viene dado por \(A=\frac{-s'}{s}\).
Las lentes convergentes tienen distancia focal positiva y las lentes divergentes tienen distancia focal negativa.
Ejemplo 1: Un Objeto se encuentra a 20 cm de una lente convergente de distancia focal de 10 cm, semejante a la figura. Determine la posición de la imágen, el aumento y la naturaleza.
Solución
Usando la ecuación
\(\frac{1}{s}+\frac{1}{s'}=\frac{1}{f}\)
Tenemos, al reemplazar
\(\frac{1}{20cm}+\frac{1}{s'}=\frac{1}{10cm}\)
Al despejar resulta \(s'=20cm\), y el aumento es \(A=-1\), de donde la imagen tiene la misma altura y es invertida, a la derecha de la lente. Este tipo de imagen enfocada en la retina del ojo es captada por el cerebro y transformada en una imagen derecha. Esta imagen es real.
Ejemplo 2: Un Objeto se encuentra a 20 cm de una lente divergente o bicóncava de distancia focal de \(-10 cm\), semejante a la figura. Determine la posición de la imágen, el aumento y la naturaleza.
Solución
Usando la ecuación
\(\frac{1}{s}+\frac{1}{s'}=\frac{1}{f}\)
Tenemos, al reemplazar
\(\frac{1}{20cm}+\frac{1}{s'}=\frac{1}{-10cm}\)
Al despejar resulta \(s'=-6.7cm\), y el aumento es \(A=-\frac{-6.7}{20}\), esto es \(A=\frac{1}{3}\), de donde la imagen tiene un tercio de la altura y es derecha, a la izquierda de la lente. Esta imagen es virtual.
Ejemplo 3: Un Objeto se encuentra a 5 cm de una lente divergente de distancia focal de \(-10 cm\), semejante a la figura. Determine la posición de la imágen, el aumento y la naturaleza.
Solución
Usando la ecuación
\(\frac{1}{s}+\frac{1}{s'}=\frac{1}{f}\)
Tenemos, al reemplazar
\(\frac{1}{5cm}+\frac{1}{s'}=\frac{1}{-10cm}\)
Al despejar resulta \(s'=-3.33cm\), y el aumento es \(A=-\frac{-3.33}{5}\), esto es \(A=\frac{2}{3}\), de donde la imagen tiene dos tercios de la altura del objeto y es derecha, a la izquierda de la lente. Esta imagen es virtual.
Ejemplo 4: Un Objeto se encuentra a 5 cm de una lente convergente de distancia focal de 10 cm, semejante a la figura. Determine la posición de la imágen, el aumento y la naturaleza.
Solución
Usando la ecuación
\(\frac{1}{s}+\frac{1}{s'}=\frac{1}{f}\)
Tenemos, al reemplazar
\(\frac{1}{5cm}+\frac{1}{s'}=\frac{1}{10cm}\)
Al despejar resulta \(s'=-10cm\), y el aumento es \(A=2\), de donde la imagen tiene el doble de la altura del objeto y es derecha, a la izquierda de la lente. Esta imagen es virtual.
Corrección de la Visión
En este aparte, estudiaremos la corrección de la miopía y la hipermetropía.
El Ojo Miope
La miopía es el defecto de la visión lejana, en el que la persona no puede ver lo que está lejos. Este problema obedece a que el ojo de la persona es muy alargado ó el cristalino es muy redondo, haciendo que la imagen se enfoque delante de la Retina, que es la parte posterior del ojo donde el cerebro capta la imagen. Un problema de miopía se corrige con una lente divergente o negativa.
El lente para la persona miope no corrige la geometría de sus ojos, pero si le da a la persona una visión lejana nítida.
Ejemplo: Suponga que una persona no puede ver objetos más allá de 3 metros. Calcule la distancia focal para traer la imagen de un objeto en el infinito al punto lejano y la potencia de la lente.
La ecuación de lentes es \(\frac{1}{s}+\frac{1}{s'}=\frac{1}{f}\) Se le colocan los datos \(s=+\infty\), \(s'=-3m\). Luego, \(f=-3m\) y \(p=\frac{1}{f}\), esto es, \(p=-0.33\) dioptrías. El problema de miopía se corrige con la lente divergente.
Ejemplo: Suponga que una persona no puede ver objetos más allá de 3 metros. Calcule la distancia focal para traer la imagen de un objeto en el infinito al punto lejano y la potencia de la lente. Suponga esta vez que el ojo está a 2 cm de la lente.
La ecuación de lentes es \(\frac{1}{s}+\frac{1}{s'}=\frac{1}{f}\) Se le colocan los datos \(s=+\infty\), \(s'=-2.98m\). Luego, \(f=-2.98m\) y \(p=\frac{1}{f}\), esto es, \(p=-0.3356\) dioptrías. El problema de miopía se corrige con la lente divergente. El hecho de que el ojo se encuentre a 2 cms de la lente aumenta la magnitud de la potencia de la lente.
El Ojo Hipermétrope
La Hipermetropía es el defecto de la visión cercana, en el que la persona no puede ver lo que está cerca. Este problema obedece a que el ojo de la persona es muy acortado ó el cristalino es muy plano, haciendo que la imagen se enfoque detrás de la Retina, que es la parte posterior del ojo donde el cerebro capta la imagen. Un problema de Hipermetropía se corrige con una lente convergente o positiva.
El lente para la persona hipermétrope no corrige la geometría de sus ojos, pero si le da a la persona una visión cercana nítida.
Ejemplo: Suponga que una persona puede ver objetos con su punto próximo a 0.60 metros. Calcule la distancia focal para traer la imagen de un objeto a 15 cm del ojo al punto cercano y la potencia de la lente.
La ecuación de lentes es \(\frac{1}{s}+\frac{1}{s'}=\frac{1}{f}\) Se le colocan los datos \(s=15 cm\), \(s'=-60cm\). Luego, \(f=20 cm\) y \(p=\frac{1}{f}\), esto es, \(p=5\) dioptrías. El problema de hipermetropía se corrige con la lente convergente.
Ejemplo: Suponga que una persona puede ver objetos con su punto próximo a 0.60 metros. Calcule la distancia focal para traer la imagen de un objeto a 15 cm del ojo al punto cercano y la potencia de la lente. Suponga que el ojo está a 2 cms del ojo.
La ecuación de lentes es \(\frac{1}{s}+\frac{1}{s'}=\frac{1}{f}\) Se le colocan los datos \(s=13 cm\), \(s'=-58cm\). Luego, \(f=16.75 cm\) y \(p=\frac{1}{f}\), esto es, \(p=5.97\) dioptrías. El problema de hipermetropía se corrige con la lente convergente. En este caso, aumenta la potencia de la lente al tener en cuenta la longitud de los ojos al lente.
Eventos Electromagnéticos
En este capítulo se estudian los elementos que componen los eventos electromagnéticos, que fusionan la electricidad y el magnetismo. Esta sección consta de 9 secciones que son: la naturaleza de la carga eléctrica, la ley de Coulomb, el potencial eléctrico, circuitos simples, la capacitancia, la fuerza magnética, magnetismo en alambre de corriente, leyes de Gauss, ley de Ampere, ley de faraday y lenz.
Las Cargas Eléctricas
Las cargas eléctricas pueden ser positivas ó negativas; pero, la materia, generalmente se encuentra en estado estable de carga neutra por el hecho de que los átomos tienen igual número de protones que de electrones.
Los protones tienen carga de \(1.6 \times 10^{-19}\) coulombs y los electorones tienen carga \(-1.6 \times 10^{-19}\) coulombs. Al tener el átomo igual número de protones que de electrones, la carga neta de cualquier átomo, en estado estable, es igual a cero.
Del mismo modo, existen los neutrones, los cuales ocupan el núcleo atómico y son elementos sin carga, es decir, carga igual a cero.
Modos de Cargar un Cuerpo
Existen 5 modos de cargar un cuerpo: Por frotación o fricción, por inducción, por fotoelectricidad, por termoionización y por contacto.
Los antiguos griegos, hace 2700 años descubrieron que el ámbar frotado con lana era capaz de atraer objetos ligeros por ejemplo, poniendo los cabellos de punta. Este fenómeno vinculado a la electricidad es un fenómeno de carga por fricción, en cuyo proceso uno de los materiales pierde electrones quedando con carga positiva y el otro gana los electrones quedando cargado negativamente. En este caso el ámbar frotado adquiere carga negativa y el paño de lana tiene un exceso de carga positiva.
Otro experimento de fricción es el vidrio frotado con un paño de seda, donde la electricidad vidriosa es positiva capaz de atraer carga negativa y repeler objetos con carga de su mismo signo, esto es, positiva.
Una forma de cargar positivamente un conductor neutro es por inducción acercando al conductor un cuerpo con carga negativa, esto polariza la carga del conductor y luego el conductor polarizado se conecta a tierra para que los electrones fluyan del conductor hacia tierra, quedando el conductor con exceso de carga positiva.
La carga usando fotoelectricidad se refiere a que la radiación de alta energía en forma de foton puede desprender los electrones de un metal provocando una transición en iones libres que dejan el metal con una carga positiva, que está principalmente en el núcleo atómico.
Albert Einstein publicó su artículo sobre el efecto fotoeléctrico, en el año 1905; teoría que fue comprobada por Robert Millikan.
Una cuarta forma de cargar sustancias es el efecto termoiónico que se trata de usar el calor para elevar la temperatura de las sustancias y provocar la ionización del material, esto es, el escape de electrones semejante al efecto fotoeléctrico, pero en diferentes eventos el electromagnético y este último en termodinámica.
La carga también puede fluir por contacto, por ejemplo, cuando la corriente invade el cuerpo humano por descuido en la manipulación de cables de corriente alterna. Si un cable de corriente libre de aislante toca un cuerpo animal o humano por descuido, se dará una descarga eléctrica que puede provocar efectos severos.
Ley de Coulomb
La ley de Coulomb es analoga a la ley de gravitación universal, pero la fuerza eléctrica puede rebasar la fuerza de gravedad.
Para explicar esta analogía se supone la existencia de cargas eléctricas que son equivalentes a las masas en gravitación. Una de las semejanzas entre fuerzas electricas y gravitatorias es su relación directa con carga o masa, y su relación inversa con el cuadrado de la distancia.
Entre mayor distancia estas fuerzas de campo son más débiles. Newton sugiere el concepto de fuerzas a distancia, pero Faraday propone, más tarde, el concepto de fuerzas de campo; de donde surge la idea de campo gravitatorio y campo eléctrico.
De estas observaciones surge la idea de la fuerza de campo en electricidad, dada por la ley de Coulomb. Esta afirma que la fuerza eléctrica entre dos cargas puntuales separadas cierta distancia, es directamente proporcional al producto de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia; además, si las cargas tienen el mismo signo la fuerza es repulsiva y si tienen signo contrario es atractiva.
El hecho de que un cuerpo tenga más carga no hace que haga mayor fuerza sobre el otro de menor carga; esto significa que la fuerza mutua es siempre la misma, como en los fenómenos gravitatorios.
La unidad de carga es el Coulomb (c). La constante eléctrica es aproximadamente \(k=9\times 10^{9}Nm^2/c^2\), relacionada con las constantes permitividad y permeabilidad en el vacío. De la relación interesante entre estas dos últimas surge la teoría electromagnética de la luz de James Clerk Maxwell, que establece que la luz viaja a la velocidad aproximada de 300000 km/s en el vacío y en el aire.
Imagine las cargas en Coulomb y las distancias en metros, practicando las fuerzas de Coulomb.
q_1=c(3, 4, 5, 8, 9)*10^(-6)
q_2=c(5, 7, 9, 4, 3)*10^(-6)
k=9*10^9
r=c(0.001, 0.01, 0.02, 0.03, 0.05)
F=k*q_1*q_2/r^2
cbind(q_1,q_2,r,F)## q_1 q_2 r F
## [1,] 3e-06 5e-06 0.001 135000.0
## [2,] 4e-06 7e-06 0.010 2520.0
## [3,] 5e-06 9e-06 0.020 1012.5
## [4,] 8e-06 4e-06 0.030 320.0
## [5,] 9e-06 3e-06 0.050 97.2Ejemplo #1 Encuentre la magnitud de la fuerza ejercida por tres cargas puntuales \(q_1=q\), \(q_2=2q\) y \(q_3=5q\) sobre la carga 3q en la esquina superior izquierda; si las cuatro cargas están en las esquinas de un cuadrado de lado \(a\) y \(q_3\) está sobre la diagonal del cuadrado.
Solución
Para resolver se calculan las fuerzas puntuales y las resultantes.
k=9*10^9
q=3*10^(-6)
a=0.03
q_1=q
q_2=2*q
q_3=5*q
q_4=3*q
F_1=k*q_1*q_4/a^2
F_2=k*q_2*q_4/a^2
F_3=k*q_3*q_4/(2*a^2)
F_x= -F_1-F_3*sqrt(2)/2
F_y=F_2+F_3*sqrt(2)/2
F_R=sqrt(F_x^2+F_y^2)
B=atan(F_y/F_x)
c(F_R, B)## [1] 1262.2782044 -0.9372303atan(1)## [1] 0.7853982B=B*57.3+180
B## [1] 126.2967Ejemplo 2: Imagine la situación general donde desconoces q y a.
\(F_1=3kq^2/a^2\)
\(F_2=6kq^2/a^2\)
\(F_3=15kq^2/(2a^2)\)
\(F_x= -(3+15/2*\sqrt{2}/2)kq^2/a^2\)
\(F_y=(6+15/2*\sqrt{2}/2)kq^2/a^2\)
\(F_R=\sqrt(45+225/8+135*\sqrt{2}/2)*kq^2/a^2\)
B=atan(-(6+15*sqrt(2)/4)/(3+15*sqrt(2)/4))
B=B*57.3+180
B## [1] 126.2967El ángulo es el mismo.
Voltaje y Capacitancia
Los condensadores o capacitores son dispositivos para almacenar la carga eléctrica. Un capacitor común es el de placas paralelas; en este las placas alcanzan la carga completa al sumistrarle un voltaje de corriente directa V. La Carga depende tanto del voltaje suministrado como de la capacitancia del condensador.
La relación se expresa como
\(Q=CV\)
donde Q es la carga total en Coulombs, C la capacitancia en faradios y V el potencial suministrado en voltios.
Cuando se conecta el circuito RC con fuente, condensador y resistencia en serie comienza a fluir corriente a través del circuito y cesa al alcanzar la carga Q. La carga instantánea del capacitor viene dada por
\(q(t)=Q-Qe^{-\frac{t}{RC}}\)
De esto, también se deduce que la corriente cae exponencialmente, según la ecuación
\(I(t)= \frac{Q}{RC}e^{-\frac{t}{RC}}\)
La corriente máxima aparece en \(t=0\) y es también \(I_0=\frac{V}{R}\).
Además, debe tenerse en cuenta que si el capacitor opera con un voltaje superior y resistencia normal puede explotar ya que tanto la carga como la corriente presentan un límite de operación del circuito RC.
La cantidad \(\tau=RC\) tiene unidades de tiempo y es conocida como constante de tiempo del circuito RC. En este circuito si \(\tau\) aumenta, entonces cuando Q permanece, el condensador tarda más en alcanzar la carga máxima y la corriente cae más lentamente en el circuito RC.
Ejemplo: Suponga el circuito RC en serie, donde C está en faradios, V en voltios y R en Ohmios. Calcule la Carga Q, la constante de tiempo, la corriente máxima, el tiempo que tarda en alcanzar la mitad de la carga total.
C=4*10^{-12}
V=120
R=5
Q=C*V
T=R*C
I_m=V/R
t=seq(from=0, to=5*T, by=0.1*T)
q=Q-Q*exp(-t/T)
i=I_m*exp(-t/T)
plot(t,q, main="Carga de un Condensador")
plot(t,i,main="Corriente en el tiempo de Carga")