CONTOH KASUS

Data yang digunakan dalam analisis One-Way MANOVA merupakan data 46 Puncak di Adirondack, New York yang berisikan informasi ketinggian puncak (elevation), pendakian (ascent), panjang perjalanan pulang pergi (length), kesulitan pendakian dengan skala 1-7 (difficulty), dan perkiraan lama perjalanan mendaki (time).

Akan diteliti apakah tingkat kesulitan pendakian secara signifikan berhubungan dengan ketiga karakteristik puncak, yakni ketinggian, pendakian, dan panjang perjalanan pulang pergi untuk setiap puncak yang ada di Adirondack?

Lalu apakah interaksi antara tingkat kesulitan pendakian dan perkiraan waktu pendakian juga bersama sama berhubungan secara signifikan dengan ketiga karakteristik puncak tersebut?

ONE WAY MANOVA

Untuk mengtahui apakah terdapat hubungan antara tingkat kesulitan pendakian dengan ketiga karakteristik gunung (elevation, ascent, dan length), akan dilakukan analisis One-Way MANOVA dengan keterangan sebagai berikut:

Variabel independent (faktor): Difficulty

Variabel dependent (respon): Elevation, Ascent, Length

Input Data

library(readr)
## Warning: package 'readr' was built under R version 4.3.3
data <- read.csv("C:/Users/ADVAN/Downloads/HighPeaks_fix.csv", sep=";")
head(data)
##   rownames            Peak Elevation Ascent Length Time Difficulty
## 1        1     Mt. Marcy        5344   3166   14.8    A          2
## 2        2 Algonquin Peak       5114   2936    9.6    A          2
## 3        3   Mt. Haystack       4960   3570   17.8    B          4
## 4        4   Mt. Skylight       4926   4265   17.9    B          4
## 5        5 Whiteface Mtn.       4867   2535   10.4    A          1
## 6        6       Dix Mtn.       4857   2800   13.2    A          2

Dilakukan penginputan data terlebih dahulu kedalam R Studio sebelum melakukan analisis. File data yang digunakan berupa file csv.

Uji Normalitas Multivariate

Dilakukan uji asumsi yang pertama sebelum melakukan analisis MANOVA, yakni normalitas. Asumsi harus terpenuhi agar hasil analisis valid dan tak bias. Dibuat rancangan hipotesis sebagai berikut:

H0: data berdistribusi normal multivariate

H1: data tidak berdistribusi normal multivariate

Digunakan traf signifikansi sebesar 5% (0.05) dalam analisis.

Tolak H0 ketika p-value lebih kecil dari taras fignifikansi (0.05).

library(MVN)
## Warning: package 'MVN' was built under R version 4.3.3
data_fix <- data[3:5]
head(data_fix)
##   Elevation Ascent Length
## 1      5344   3166   14.8
## 2      5114   2936    9.6
## 3      4960   3570   17.8
## 4      4926   4265   17.9
## 5      4867   2535   10.4
## 6      4857   2800   13.2
test = mvn(data_fix, mvnTest = "mardia", univariateTest = "SW", multivariatePlot = "qq")

Sebelum melakukan uji secara empiris, terlebih dahulu dapat dilakukan uji asumsi normalitas secara eksploratif.

Terlihat pada grafik bahwa plot cenderung menyebar mengikuti atau disekitar garis lurus, hal ini menunjukkan bahwa data berdistribusi normal secara eksploratif. Untuk hasil uji yang lebih akurat, dilakukan uji secara statistik sebagai berikut.

test
## $multivariateNormality
##              Test         Statistic           p value Result
## 1 Mardia Skewness   5.4326970458992 0.860465405104244    YES
## 2 Mardia Kurtosis -1.42581276808108 0.153922394362072    YES
## 3             MVN              <NA>              <NA>    YES
## 
## $univariateNormality
##           Test  Variable Statistic   p value Normality
## 1 Shapiro-Wilk Elevation    0.9571    0.0883    YES   
## 2 Shapiro-Wilk  Ascent      0.9884    0.9226    YES   
## 3 Shapiro-Wilk  Length      0.9690    0.2549    YES   
## 
## $Descriptives
##            n       Mean    Std.Dev Median    Min  Max 25th    75th        Skew
## Elevation 46 4405.28261 358.335390 4380.5 3820.0 5344 4105 4625.25  0.50681745
## Ascent    46 3096.39130 629.796880 3050.0 1844.0 4500 2725 3490.00  0.07361839
## Length    46   12.57391   3.506149   12.7    4.8   18   10   15.20 -0.19228183
##             Kurtosis
## Elevation -0.5863131
## Ascent    -0.5690652
## Length    -0.9457951

Berdasarkan output di atas, terlihat bahwa untuk kedua statistic uji (Mardia Skewness dan Mardia Kurtosis) memiliki p-value yang lebih besar dari 0.05, sehingga dapat ditarik keputusan untuk menerima H0.

Kesimpulannya, data mengikuti distribusi normal multivariate sehingga asumsi pertama terpenuhi.

Uji Homoskedastisitas

Selanjutnya dilakukan uji asumsi yang kedua, karena dalam melakukan uji MANOVA kovarians kovarians dalam data harus sama. Uji dilakukan dengan membuat grouping berdasarkan variabel bebas (faktor) yakni Difficulty. Dengan rancangan hipotesis sebagai berikut:

H0: S1=S2=S3 (Kovarians setiap variabel sama)

H1: setidaknya terdapat satu kovarians variabel yang berbeda

Digunakan traf signifikansi sebesar 5% (0.05) dalam analisis.

Tolak H0 ketika p-value lebih kecil dari taras fignifikansi (0.05).

library(biotools)
## Warning: package 'biotools' was built under R version 4.3.3
## Loading required package: MASS
## ---
## biotools version 4.2
grup <- data$Difficulty
head(grup)
## [1] 2 2 4 4 1 2
boxM(data = data_fix, grouping = grup)
## 
##  Box's M-test for Homogeneity of Covariance Matrices
## 
## data:  data_fix
## Chi-Sq (approx.) = 19.966, df = 18, p-value = 0.3347

Didapat nilai p-value sebesar 0.3347, karena nilainya lebih besar dari taraf signifikansi maka dapat diambil keputusan untuk menerima H0.

Kesimpulannya, data memiliki matriks kovarians yang sama sehingga asumsi homoskedastisitas terpenuhi.

MANOVA

Setelah kedua asumsi terpenuhi, MANOVA dapat dilakukan dengan rumusan hipotesis sebagai berikut:

H0: faktor Difficulty tidak berhubungan dengan Elevation, Ascent, dan Length

H1: faktor Difficulty berhubungan dengan Elevation, Ascent, dan Length

Digunakan taraf signifikansi (alpha) sebesar 5% (0.05), dengan kriteria uji tolak H0 jika p-value kurang dari alpha.

owm = manova(cbind(data$Elevation, data$Ascent, data$Length)~data$Difficulty)
summary(owm)
##                 Df  Pillai approx F num Df den Df    Pr(>F)    
## data$Difficulty  1 0.53714   16.247      3     42 3.706e-07 ***
## Residuals       44                                             
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Didapat p-value yang sangat kecil, sehinnga p-value < alpha. Dapat ditarik keputusan untuk menolak H0.

Dapat disimpulkan bahwa dengan tingkat kepercayaan sebesar 95%, peneliti dapat menyatakan bahwa tingkat kesulitan pendakian (difficulty) secara signifikan berhubungan dengan ketiga karakteristik puncak, yakni ketinggian (elevation), pendakian (ascent), dan panjang perjalanan pulang pergi (length) untuk setiap puncak yang ada di Adirondack.

Post Hoc

Karena hasil uji MANOVA signifikan, perlu dilakukan uji lanjut untuk mengetahui variabel mana yang berhubungan dengan difficulty.

summary.aov(owm)
##  Response 1 :
##                 Df  Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## data$Difficulty  1   42941   42941  0.3294 0.5689
## Residuals       44 5735250  130347               
## 
##  Response 2 :
##                 Df   Sum Sq Mean Sq F value  Pr(>F)  
## data$Difficulty  1  1935389 1935389  5.3512 0.02544 *
## Residuals       44 15913596  361673                  
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
##  Response 3 :
##                 Df Sum Sq Mean Sq F value    Pr(>F)    
## data$Difficulty  1 295.46 295.462  50.442 8.098e-09 ***
## Residuals       44 257.73   5.857                      
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Berdasarkan output di atas, didapatkan hasil sebagai berikut:

Variabel P-value Keputusan
Elevation 0.5689 Terima H0
Ascent 0.02544 Tolak H0
Length 8.098 x 10^-9 Tolak H0

Sehingga, dengan tingkat kepercayaan sebesar 95% dapat ditarik kesimpulan:

  1. Tingkat kesulitan pendakian (difficulty) tidak berhubungan secara signifikan dengan ketinggian gunung (elevation)
  2. Tingkat kesulitan pendakian (difficulty) berhubungan secara signifikan dengan pendakian (ascent)
  3. Tingkat kesulitan pendakian (difficulty) berhubungan secara signifikan dengan panjang perjalanan (length)

TWO WAYMANOVA

Untuk megetahui apakah tingkat kesulitan pendakian (difficulty) dan perkiraan waktu pendakian (time) bersama sama berhubungan secara signifikan dengan ketiga karakteristik puncak (elevation, ascent, dan length), akan dilakukan analisis Two-Way MANOVA dengan keterangan sebagai berikut:

Variabel independen (faktor): Difficulty, Time

Variabel dependen: Elevation, Ascent, Length

Input Data

head(data)
##   rownames            Peak Elevation Ascent Length Time Difficulty
## 1        1     Mt. Marcy        5344   3166   14.8    A          2
## 2        2 Algonquin Peak       5114   2936    9.6    A          2
## 3        3   Mt. Haystack       4960   3570   17.8    B          4
## 4        4   Mt. Skylight       4926   4265   17.9    B          4
## 5        5 Whiteface Mtn.       4867   2535   10.4    A          1
## 6        6       Dix Mtn.       4857   2800   13.2    A          2

Dilakukan penginputan data terlebih dahulu kedalam R Studio sebelum melakukan analisis. File data yang digunakan berupa file csv.

Uji Normalitas Multivariate

head(data_fix)
##   Elevation Ascent Length
## 1      5344   3166   14.8
## 2      5114   2936    9.6
## 3      4960   3570   17.8
## 4      4926   4265   17.9
## 5      4867   2535   10.4
## 6      4857   2800   13.2
test = mvn(data_fix, mvnTest = "mardia", univariateTest = "SW", multivariatePlot = "qq")

test
## $multivariateNormality
##              Test         Statistic           p value Result
## 1 Mardia Skewness   5.4326970458992 0.860465405104244    YES
## 2 Mardia Kurtosis -1.42581276808108 0.153922394362072    YES
## 3             MVN              <NA>              <NA>    YES
## 
## $univariateNormality
##           Test  Variable Statistic   p value Normality
## 1 Shapiro-Wilk Elevation    0.9571    0.0883    YES   
## 2 Shapiro-Wilk  Ascent      0.9884    0.9226    YES   
## 3 Shapiro-Wilk  Length      0.9690    0.2549    YES   
## 
## $Descriptives
##            n       Mean    Std.Dev Median    Min  Max 25th    75th        Skew
## Elevation 46 4405.28261 358.335390 4380.5 3820.0 5344 4105 4625.25  0.50681745
## Ascent    46 3096.39130 629.796880 3050.0 1844.0 4500 2725 3490.00  0.07361839
## Length    46   12.57391   3.506149   12.7    4.8   18   10   15.20 -0.19228183
##             Kurtosis
## Elevation -0.5863131
## Ascent    -0.5690652
## Length    -0.9457951

Sebelumnya telah diuji apakah data berdistribusi normal, dan didapat hasil yang signifikan, dapat dilihat kembali pada hasil di atas.

Uji Homoskedastisitas

Asumsi homoskedastisitas harus terpenuhi untuk kedua faktor, yakni difficulty dan time. Dengan rancangan hipotesis sebagai berikut:

H0: S1=S2=S3 (Kovarians setiap variabel sama)

H1: setidaknya terdapat satu kovarians variabel yang berbeda

Digunakan traf signifikansi sebesar 5% (0.05) dalam analisis.

Tolak H0 ketika p-value lebih kecil dari taras fignifikansi (0.05).

# Difficulty
head(data[,7])
## [1] 2 2 4 4 1 2
boxM(data = data_fix, grouping = data[,7])
## 
##  Box's M-test for Homogeneity of Covariance Matrices
## 
## data:  data_fix
## Chi-Sq (approx.) = 19.966, df = 18, p-value = 0.3347

Untuk asumsi homoskedastisitas pada faktor difficulty sudah diuji sebelumnya dengan hasil yang signifikan, dapat dilihat kembali pada output diatas.

# Time
head(data[,6])
## [1] "A" "A" "B" "B" "A" "A"
boxM(data = data_fix, grouping = data[,6])
## 
##  Box's M-test for Homogeneity of Covariance Matrices
## 
## data:  data_fix
## Chi-Sq (approx.) = 4.4738, df = 6, p-value = 0.6128

Didapat nilai p-value sebesar 0.6128, karena nilainya lebih besar dari taraf signifikansi maka dapat diambil keputusan untuk menerima H0.

Kesimpulannya, data memiliki matriks kovarians yang sama sehingga asumsi homoskedastisitas terpenuhi.

MANOVA

Karena kedua asumsi terpenuhi, MANOVA dapat dilakukan dengan rumusan hipotesis sebagai berikut:

H0: faktor Difficulty dan Time tidak berhubungan dengan Elevation, Ascent, dan Length

H1: faktor Difficulty dan Time berhubungan dengan Elevation, Ascent, dan Length

Digunakan taraf signifikansi (alpha) sebesar 5% (0.05), dengan kriteria uji tolak H0 jika p-value kurang dari alpha.

difficulty <- as.factor(data$Difficulty)
time <- as.factor(data$Time)
manova <- manova(cbind(data$Elevation, data$Ascent, data$Length) ~ data$Difficulty * data$Time, data = data)
summary(manova)
##                           Df  Pillai approx F num Df den Df    Pr(>F)    
## data$Difficulty            1 0.63355  23.0518      3     40 7.907e-09 ***
## data$Time                  1 0.44308  10.6079      3     40 2.901e-05 ***
## data$Difficulty:data$Time  1 0.01020   0.1374      3     40    0.9371    
## Residuals                 42                                             
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Didapat p-value dan keputusan sebagai berikut:

Faktor P-Value Keputusan
Difficulty 7.907 x 10^-9 Tolak H0
Time 2.901 x 10^-9 Tolak H0
Difficulty*Time 0.9371 Terima H0

Dapat disimpulkan bahwa dengan tingkat kepercayaan sebesar 95%, terdapat cukup bukti untuk menyatakan bahwa

  1. Tingkat kesulitan pendakian (difficulty) secara signifikan berhubungan dengan ketiga karakteristik puncak (elevation, ascent, length).
  2. Perkiraan waktu pendakian (time) secara signifikan berhubungan dengan ketiga karakteristik puncak (elevation, ascent, length).
  3. Sedangkan interaksi antara tingkat kesulitan pendakian (difficulty) dan perkiraan waktu pendakian (time) tidak signifikan mempengaruhi ketiga karakteristik puncak (elevation, ascent, length).

Sehingga terjawab bahwa, tingkat kesulitan pendakian (difficulty) dan perkiraan waktu pendakian (time) secara bersama sama tidak signifikan berhubungan dengan ketinggian, pendakian, dan panjang perjalanan pulang pergi untuk setiap puncak yang ada di Adirondack.

Post Hoc

Mekipun inetraksi antra dua faktor yang dianalisis tidak berpengaruh secara signifikan, namun faktor tersebut masing-masing signifikan, sehingga perlu dilakukan uji lanjut untuk melihat variabel mana yang signifikan berhubungan dengan kedua faktor tersebut.

Untuk faktor Difficulty sudah pernah diperiksa sebelumnya, maka akan diperiksa untuk faktor Time.

summary.aov(manova)
##  Response 1 :
##                           Df  Sum Sq Mean Sq F value  Pr(>F)  
## data$Difficulty            1   42941   42941  0.3483 0.55822  
## data$Time                  1  538280  538280  4.3664 0.04275 *
## data$Difficulty:data$Time  1   19269   19269  0.1563 0.69458  
## Residuals                 42 5177701  123279                  
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
##  Response 2 :
##                           Df   Sum Sq Mean Sq F value  Pr(>F)  
## data$Difficulty            1  1935389 1935389  5.4876 0.02397 *
## data$Time                  1  1094331 1094331  3.1028 0.08543 .
## data$Difficulty:data$Time  1     6442    6442  0.0183 0.89314  
## Residuals                 42 14812823  352686                  
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
##  Response 3 :
##                           Df  Sum Sq Mean Sq F value    Pr(>F)    
## data$Difficulty            1 295.462 295.462 63.3862 6.333e-10 ***
## data$Time                  1  60.939  60.939 13.0735 0.0007961 ***
## data$Difficulty:data$Time  1   1.014   1.014  0.2174 0.6434089    
## Residuals                 42 195.774   4.661                      
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Berdasarkan output diatas, disapat p-value dan keputusan untuk faktor Time sebagai berikut:

Variabel P-Value Keputusan
Elevation 0.4275 Terima H0
Ascent 0.8543 Terima H0
Length 0.00079 Tolak H0

Sehingga dapat ditarik kesimpulan bahwa hanya variabel Length (panjang jalur pendakian) yang berhubungan secara signifikan dengan time (perkiraan waktu yang dibutuhkan untuk mendaki), sedangkan untuk variabel elevation (ketinggian puncak) dan accent (pendakian) tidak signifikan berhubungan.