Praktikum 5

Nomor 1

Diketahui bahwa berbagai aspek siklus ekonomi diukur dari barang-barang konsumsi dan barang produksi, Tintner (1946). Variabelnya adalah:

Y1= panjang siklus

Y2= persentase kenaikan harga

Y3= amplitudo siklus

Y4= laju pertumbuhan

Apakah terdapat perbedaan yang signifikan antara barang konsumsi dengan barang produksi pada siklus ekonomi?

Y1 <- c(72, 66.5, 54, 67, 44, 41, 34.5, 34.5, 24)
Y2 <- c(50, 48, 57, 60, 57, 52, 50, 46, 54)
Y3 <- c(8, 15, 14, 15, 14, 18, 4, 8.5, 3)
Y4 <- c(0.5, 1, 1, 0.9, 0.3, 1.9, 0.5, 1, 1.2)
K1 <- cbind(Y1, Y2, Y3, Y4)
K1

##         Y1 Y2   Y3  Y4
##  [1,] 72.0 50  8.0 0.5
##  [2,] 66.5 48 15.0 1.0
##  [3,] 54.0 57 14.0 1.0
##  [4,] 67.0 60 15.0 0.9
##  [5,] 44.0 57 14.0 0.3
##  [6,] 41.0 52 18.0 1.9
##  [7,] 34.5 50  4.0 0.5
##  [8,] 34.5 46  8.5 1.0
##  [9,] 24.0 54  3.0 1.2

Y1 <- c(57, 100, 100, 96.5, 79, 78.5, 48, 155, 84, 105)
Y2 <- c(57, 54, 32, 65, 51, 53, 50, 44, 64, 35)
Y3 <- c(12.5, 17, 16.5, 20.5, 18, 18, 21, 20.5, 13, 17)
Y4 <- c(0.9, 0.5, 0.7, 0.9, 0.9, 1.2, 1.6, 1.4, 0.8, 1.8)
K2 <- cbind(Y1, Y2, Y3, Y4)
K2

##          Y1 Y2   Y3  Y4
##  [1,]  57.0 57 12.5 0.9
##  [2,] 100.0 54 17.0 0.5
##  [3,] 100.0 32 16.5 0.7
##  [4,]  96.5 65 20.5 0.9
##  [5,]  79.0 51 18.0 0.9
##  [6,]  78.5 53 18.0 1.2
##  [7,]  48.0 50 21.0 1.6
##  [8,] 155.0 44 20.5 1.4
##  [9,]  84.0 64 13.0 0.8
## [10,] 105.0 35 17.0 1.8

library(DescTools)
library(asbio)

xbar1 <- colMeans(K1)
xbar2 <- colMeans(K2)
n1 <- nrow(K1)
n2 <- nrow(K2)

y_gab <- rbind(K1, K2)
barang <- factor(c(rep(1,n1), rep(2,n2)))
Kullback(y_gab, barang)

## 
## Kullback test for equal covariance matrices 
##       Chi* df P(Chi>Chi*)
## 1 7.082354 10    0.717648

HotellingsT2Test(y_gab~barang)

## 
##  Hotelling's two sample T2-test
## 
## data:  y_gab by barang
## T.2 = 3.8011, df1 = 4, df2 = 14, p-value = 0.02702
## alternative hypothesis: true location difference is not equal to c(0,0,0,0)

Inferensia Vektor Rata-Rata untuk 2 Populasi Independen

Pada soal tidak diberikan asumsi apakah \(\Sigma_1=\Sigma_2\), sehingga dilakukan Uji Kullback. Dari hasil Uji Kullback didapatkan bahwa P(Chi>Chi*)=0,7176 < 0,95, sehingga dapat diketahui bahwa kedua matriks kovarians sama atau \(\Sigma_1=\Sigma_2\) .

• Hipotesis:

  \(H_0\) : \(\mu_1-\mu_2\) \(=\) 0

  \(H_1\) : \(\mu_1-\mu_2\) \(≠\) 0

• Tingkat Signifikansi: \(\alpha\) = 5%

• Statistik Uji

  \(T^2=\) \(n_1n_2/(n_1+n_2)(\bar x_1-\bar x_2)'S_p^-(\bar x_1-\bar x_2)\) = 3,8011

  p-value = 0,02702

• Keputusan: Tolak \(H_0\) karena p-value < \(\alpha\)

• Kesimpulan:

  Dengan tingkat signifikansi 5%, terdapat cukup bukti untuk menunjukkan bahwa terdapat minimal satu perbedaan yang signifikan pada aspek siklus ekonomi antara barang konsumsi dan barang produksi.

Nomor 2

Terdapat 15 mahasiswa diberi tugas untuk membuat essay yang bersifat formal dan informal. Kemudian terdapat variabel-variabel yang dapat menentukan apakah essay tersebut baik atau tidak.

Y1= jumlah kata pada essay informal

Y2= jumlah kata kerja pada essay informal

X1= jumlah kata pada essay formal

X2= jumlah kata pada essay formal

Berdasarkan tabel di atas, apakah antara kedua jenis essay tersebut memiliki kualitas yang baik atau tidak?

Y1 <- c(148, 159, 144, 103, 121, 89, 119, 123, 76, 217, 148, 151, 83, 135, 178) 
Y2 <- c(20, 24, 19, 18, 17, 11, 17, 13, 16, 29, 22, 21, 7, 20, 15) 
F1 <- matrix(c(Y1, Y2),ncol=2) 
F1  

##       [,1] [,2]
##  [1,]  148   20
##  [2,]  159   24
##  [3,]  144   19
##  [4,]  103   18
##  [5,]  121   17
##  [6,]   89   11
##  [7,]  119   17
##  [8,]  123   13
##  [9,]   76   16
## [10,]  217   29
## [11,]  148   22
## [12,]  151   21
## [13,]   83    7
## [14,]  135   20
## [15,]  178   15

X1 <- c(137, 164, 224, 208, 178, 128, 154, 158, 102, 214, 209, 151, 123, 161, 175) 
X2 <- c(15, 25, 27, 33, 24, 20, 18, 16, 21, 25, 24, 16, 13, 22, 23) 
F2 <- matrix(c(X1, X2),ncol=2) 
F2  

##       [,1] [,2]
##  [1,]  137   15
##  [2,]  164   25
##  [3,]  224   27
##  [4,]  208   33
##  [5,]  178   24
##  [6,]  128   20
##  [7,]  154   18
##  [8,]  158   16
##  [9,]  102   21
## [10,]  214   25
## [11,]  209   24
## [12,]  151   16
## [13,]  123   13
## [14,]  161   22
## [15,]  175   23

library(DescTools) 
library(asbio)

d <- F1-F2
d

##       [,1] [,2]
##  [1,]   11    5
##  [2,]   -5   -1
##  [3,]  -80   -8
##  [4,] -105  -15
##  [5,]  -57   -7
##  [6,]  -39   -9
##  [7,]  -35   -1
##  [8,]  -35   -3
##  [9,]  -26   -5
## [10,]    3    4
## [11,]  -61   -2
## [12,]    0    5
## [13,]  -40   -6
## [14,]  -26   -2
## [15,]    3   -8

mu0 <- matrix(c(0,0), nrow=2)
HotellingsT2Test(d, mu=mu0)

## 
##  Hotelling's one sample T2-test
## 
## data:  d
## T.2 = 7.0531, df1 = 2, df2 = 13, p-value = 0.008427
## alternative hypothesis: true location is not equal to c(0,0)

Inferensia Vektor Rata-Rata untuk Sampel Berpasangan

• Hipotesis:

  \(H_0\) : \(\mu_d\) \(=\) 0

  \(H_1\) : \(\mu_d\) \(≠\) 0

• Tingkat Signifikansi: \(\alpha\) = 5%

• Statistik Uji

  \(T^2=n\) \(\bar d'\)\(S_d^-\)\(\bar d\) = 7,0531

  p-value = 0,008427

• Keputusan: Tolak \(H_0\) karena p-value < \(\alpha\)

• Kesimpulan:

  Dengan tingkat signifikansi 5% dari sampel 15 mahasiswa, terdapat cukup bukti untuk menunjukkan bahwa kedua jenis essay tersebut minimal satu indikator kualitasnya memiliki rata-rata yang berbeda.

Nomor 3

Diketahui bahwa Rao (1948) mengukur berat bor gabus yang diambil dari arah utara (N), arah timur (E), arah selatan (S), dan arah barat (W) dari 28 pohon. Diberikan data pada ketebalan kulit sekaligus beratnya di empat arah. Ujilah apakah terdapat perbedaan pada setiap pengulangan pengambilan bor gabus kayu secara signifikan?

N <- c(72, 60, 56, 41, 32, 30, 39, 42, 37, 33, 32, 63, 54, 47, 91, 56, 79, 81, 78, 46, 39, 32, 60, 35, 39, 50, 43, 48) 
E <- c(66, 53, 57, 29, 32, 35, 39, 43, 40, 29, 30, 45, 46, 51, 79, 68, 65, 80, 55, 38, 35, 30, 50, 37, 36, 34, 37, 54) 
S <- c(76, 66, 64, 36, 35, 34, 31, 31, 31, 27, 34, 74, 60, 52, 100, 47, 70, 68, 67, 37, 34, 30, 67, 48, 39, 37, 39, 57) 
W <- c(77, 63, 58, 38, 36, 26, 27, 25, 25, 36, 28, 63, 52, 43, 75, 50, 61, 58, 60, 38, 37, 32, 54, 39, 31, 40, 50, 43) 
P <- matrix(c(N, E, S, W), ncol=4) 
P  

##       [,1] [,2] [,3] [,4]
##  [1,]   72   66   76   77
##  [2,]   60   53   66   63
##  [3,]   56   57   64   58
##  [4,]   41   29   36   38
##  [5,]   32   32   35   36
##  [6,]   30   35   34   26
##  [7,]   39   39   31   27
##  [8,]   42   43   31   25
##  [9,]   37   40   31   25
## [10,]   33   29   27   36
## [11,]   32   30   34   28
## [12,]   63   45   74   63
## [13,]   54   46   60   52
## [14,]   47   51   52   43
## [15,]   91   79  100   75
## [16,]   56   68   47   50
## [17,]   79   65   70   61
## [18,]   81   80   68   58
## [19,]   78   55   67   60
## [20,]   46   38   37   38
## [21,]   39   35   34   37
## [22,]   32   30   30   32
## [23,]   60   50   67   54
## [24,]   35   37   48   39
## [25,]   39   36   39   31
## [26,]   50   34   37   40
## [27,]   43   37   39   50
## [28,]   48   54   57   43

C <- matrix(c(1, 1, -1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, -1, 1), nrow=3, ncol=4, byrow=TRUE)

library(DescTools) 
library(asbio)

p_bar <- apply(P, 2, mean)
p_bar <- matrix(p_bar, 4, 1)
p_bar

##          [,1]
## [1,] 50.53571
## [2,] 46.17857
## [3,] 49.67857
## [4,] 45.17857

S <- cov(P)
n <- nrow(P)
q <- ncol(C)
T2 <- n*t(C%*%p_bar)%*%solve(C%*%S%*%t(C))%*%(C%*%p_bar)
T2

##          [,1]
## [1,] 20.74202

TK <- (n-1)*(q-1)/(n-q+1)*qf(0.95, df1=q-1, df2=n-q+1)
TK

## [1] 9.691621

Inferensia Vektor Rata-Rata untuk Pengukuran Berulang

• Hipotesis:

  \(H_0\) : \(C\mu\) \(=\) 0

  \(H_1\) : \(C\mu\) \(≠\) 0

• Tingkat Signifikansi: \(\alpha\) = 5%

• Statistik Uji

  \(T^2=n\) \((C\bar x)'\)\((CSC')^-\)\(C\bar x\) = 20,74202

• Wilyah Kritis

  \((n-1)(q-1)/(n-q+1)\) \(F_\alpha\) = 9,6916

• Keputusan: Tolak \(H_0\)

• Kesimpulan:

  Dengan tingkat signifikansi 5% , terdapat cukup bukti untuk menunjukkan bahwa terdapat minimal satu perlakuan pada pohon yang berbeda.