Durante un proceso de producción, cada día se seleccionan al azar 15 unidades de la línea de ensamble para verificar el porcentaje de artículos defectuosos. A partir de información histórica se sabe que la probabilidad de tener una unidad defectuosa es de 0.05. Cada vez que se encuentran dos o más unidades defectuosas en la muestra de 15, el proceso se detiene. Este procedimiento se utiliza para proporcionar una señal en caso de que aumente la probabilidad de unidades defectuosas.
¿Cuál es la probabilidad de que en un día determinado se detenga el proceso de producción? (Suponga 5% de unidades defectuosas).
n <- 15
p1 <- 0.05
prob0_1Defect <- dbinom(0, size = n, prob = p1) + dbinom(1, size = n, prob = p1)
probDetencionA <- 1 - prob0_1Defect
cat("La probabilidad de que en un día determinado se detenga el proceso de producción es ",probDetencionA)## La probabilidad de que en un día determinado se detenga el proceso de producción es 0.1709525Suponga que la probabilidad de una unidad defectuosa aumenta a 0.07. ¿Cuál es la probabilidad de que en cualquier día no se detenga el proceso de producción?
p2 <- 0.07
prob0_1DefectB <- dbinom(0, size = n, prob = p2) + dbinom(1, size = n, prob = p2)
probNoDetencionB <- prob0_1DefectB
cat("La probabilidad de que en cualquier día no se detenga el proceso
de producción es",probNoDetencionB)## La probabilidad de que en cualquier día no se detenga el proceso
## de producción es 0.716847Se considera utilizar una máquina automática de soldadura para un proceso de producción. Antes de comprarla se probará para verificar si tiene éxito en 99% de sus soldaduras. Si no es así, se considerará que no es eficiente. La prueba se llevará a cabo con un prototipo que requiere hacer 100 soldaduras. La máquina se aceptará para la producción sólo si no falla en más de 3 soldaduras.
¿Cuál es la probabilidad de que se rechace una buena máquina?
n <- 100 # numero de soldaduras
p.exito <- 0.99 # probabilidad de exito de la maquina buena
max.fallas <- 3 # se acepta si falla en 3 o menos soldaduras
# Probabilidad de fallar mC!s de 3 veces (rechazar una buena mC!quina)
p.rechazo.buena <- 1 - pbinom(max.fallas, n, 1 - p.exito)
cat("La probabilidad de que se rechaze una buena maquina es:",p.rechazo.buena)## La probabilidad de que se rechaze una buena maquina es: 0.01837404¿Cuál es la probabilidad de que se acepte una máquina ineficiente que solde bien el 95% de las veces?
p.exito.ineficiente <- 0.95 # probabilidad de exito de la maquina ineficiente
# Probabilidad de fallar 3 veces o menos (aceptar la mC!quina ineficiente)
p.acepte.ineficiente <- pbinom(max.fallas, n, 1 - p.exito.ineficiente)
cat("La probabilidad de que se acepte una maquina ineficiente que solde bien el 95% de las veces es:",p.acepte.ineficiente)## La probabilidad de que se acepte una maquina ineficiente que solde bien el 95% de las veces es: 0.2578387En un centro de mantenimiento que recibe llamadas de servicio de acuerdo con un proceso de Poisson entran, en promedio, 2.7 llamadas por minuto. Calcule la probabilidad de que
no entren más de 4 llamadas en cualquier minuto
lambda.minuto <- 2.7 # tasa promedio de llamadas por minuto
# Probabilidad de que entren 0, 1, 2, 3 o 4 llamadas en un minuto
p.no.mas.4.llamadas <- ppois(4, lambda = lambda.minuto)
cat("La probabilidad de que no entren mas de 4 llamadas en cualquier minuto es:",p.no.mas.4.llamadas)## La probabilidad de que no entren mas de 4 llamadas en cualquier minuto es: 0.8629079entren menos de 2 llamadas en cualquier mi nuto
# Probabilidad de que entren menos de 2 llamadas (0 o 1)
p.menos.2.llamadas <- ppois(1, lambda = lambda.minuto)
cat("La probabilidad de que entren menos de 2 llamadas en cualquier minuto es:",p.menos.2.llamadas)## La probabilidad de que entren menos de 2 llamadas en cualquier minuto es: 0.2486604entren más de 10 llamadas en un periodo de 5 minutos.
lambda.5.min <- 5 * lambda.minuto # tasa promedio de llamadas en 5 minutos
# Probabilidad de mC!s de 10 llamadas (1 menos la probabilidad de 10 o menos llamadas)
p.mas.10.llamadas <- 1 - ppois(10, lambda = lambda.5.min)
cat("La probabilidad de que entren mas de 10 llamadas en un periodo de 5 minutos es:",p.mas.10.llamadas)## La probabilidad de que entren mas de 10 llamadas en un periodo de 5 minutos es: 0.7887735Una empresa de electrónicaa firma que la proporción de unidades defectuosas de cierto proceso es de 5%. Un comprador sigue el procedimiento estándar de inspeccionar 15 unidades elegidas al azar de un lote grande. En una ocasión específica el comprador encuentra 5 unidades defectuosas.
n.2 <- 15 # numero de unidades inspeccionadas
k <- 5 # numero de unidades defectuosas encontradas
p <- 0.05 # probabilidad de que una unidad sea defectuosa¿Cuál es la probabilidad de que esto ocurra, si es correcta la afirmación de que el 5% de los productos son defectuosos?
valor.esperado <- n.2 * p # valor esperado de defectuosas
cat("El valor esperado de unidades defectuosas es:",valor.esperado)## El valor esperado de unidades defectuosas es: 0.75# Probabilidad de que el comprador encuentre 5 unidades defectuosas
probabilidad <- dbinom(k, n.2, p)
cat("La probabilidad de que el comprador encuentre 5 unidades defectuosas es:",probabilidad)## La probabilidad de que el comprador encuentre 5 unidades defectuosas es: 0.0005618772¿Cómo reaccionaría usted si fuera el comprador?
Si yo fuera el comprador, encontrar 5 unidades defectuosas en una muestra de 15 sería motivo de duda sobre la afirmación de la empresa de que solo el 5% de sus productos son defectuosos. El valor esperado es menos de 1 unidad defectuosa, por lo que encontrar 5 es muy improbable,lo que sugiere que la tasa real de defectos podría ser mayor de lo declarado, por lo que pediria a la empresa una nueva inspección o considerar que el proceso tiene más defectos de los que se han declarado o enfrentar acciones legales por publicidad engañosa.
Un dispositivo electrónico de conmutación falla ocasionalmente, pero se considera que es satisfactorio si, en promedio, no comete más de 0.20 errores por hora. Se elige un periodo particular de 5 horas para probarlo. Si durante este periodo no ocurre más de un error, se considera que el funcionamiento del dispositivo es satisfactorio.
¿Cuál es la probabilidad de que, con base en la prueba, se considere que un dispositivo no funciona satisfactoriamente cuando en realidad sí lo hace? Suponga que se trata de un proceso de Poisson.
lambdaA <- 0.20 * 5
prob0_1ErrorA <- dpois(0, lambda = lambdaA) + dpois(1, lambda = lambdaA)
probNoSatisfactorioA <- 1 - prob0_1ErrorA
cat("La probabilidad de que, con base en la prueba, se considere que un dispositivo no funciona satisfactoriamente cuando en realidad sí lo hace es" ,probNoSatisfactorioA)## La probabilidad de que, con base en la prueba, se considere que un dispositivo no funciona satisfactoriamente cuando en realidad sí lo hace es 0.2642411¿Cuál es la probabilidad de que un dispositivo se considere satisfactorio cuando, de hecho, el número medio de errores que comete es 0.25? De nuevo suponga que se trata de un proceso de Poisson.
lambdaB <- 0.25 * 5
probSatisfactorioB <- dpois(0, lambda = lambdaB) + dpois(1, lambda = lambdaB)
cat("La probabilidad de que un dispositivo se considere satisfactorio cuando, de hecho, el número medio de errores que comete es 0.25 es ",probSatisfactorioB)## La probabilidad de que un dispositivo se considere satisfactorio cuando, de hecho, el número medio de errores que comete es 0.25 es 0.6446358Una empresa por lo general compra lotes grandes de cierta clase de dispositivo electrónico. Utiliza un método que rechaza el lote completo si encuentra 2 o más unidades defectuosas en una muestra aleatoria de 100 unidades.
¿Cuál es la probabilidad de que el método rechace un lote que tiene un 1% de unidades defectuosas?
# Parametros comunes
n <- 100 # TamaC1o de la muestra
p_a <- 0.01
P_X0_a <- dbinom(0, n, p_a)
P_X1_a <- dbinom(1, n, p_a)
P_rechazo_a <- 1 - (P_X0_a + P_X1_a)
cat("Parte (a): Probabilidad de rechazo con 1% defectuosas:", P_rechazo_a)## Parte (a): Probabilidad de rechazo con 1% defectuosas: 0.264238¿Cuál es la probabilidad de que acepte un lote que tiene 5% de unidades defectuosas?
p_b <- 0.05
P_X0_b <- dbinom(0, n, p_b)
P_X1_b <- dbinom(1, n, p_b)
P_aceptacion_b <- P_X0_b + P_X1_b
cat("Parte (b): Probabilidad de aceptaciC3n con 5% defectuosas:", P_aceptacion_b)## Parte (b): Probabilidad de aceptaciC3n con 5% defectuosas: 0.03708121El propietario de una farmacia local sabe que, en promedio, llegan a su farmacia 100 personas por hora.
Calcule la probabilidad de que en un periodo determinado de 3 minutos nadie entre a la farmacia.
lambda <- 5 # Tasa promedio para 3 minutos
P_X0 <- dpois(0, lambda)
cat("Parte (a): Probabilidad de que nadie entre en 3 minutos:", P_X0)## Parte (a): Probabilidad de que nadie entre en 3 minutos: 0.006737947Calcule la probabilidad de que en un periodo dado de 3 minutos entren más de 5 personas a la farmacia.
P_X_mayor_5 <- 1 - ppois(5, lambda)
cat("Parte (b): Probabilidad de que mC!s de 5 personas entren en 3 minutos:", P_X_mayor_5)## Parte (b): Probabilidad de que mC!s de 5 personas entren en 3 minutos: 0.3840393Suponga que de 500 billetes de lotería que se venden, 200 le dan a ganar al comprador al menos el costo del billete. Ahora suponga que usted compra 5 billetes. Calcule la probabilidad de ganar al menos el costo de 3 billetes.
# Parámetros
n <- 5 # Número de billetes comprados
p <- 200 / 500 # Probabilidad de ganar
# Probabilidad de ganar al menos 3 billetes
prob_al_menos_3 <- 1 - pbinom(2, n, p)
cat("la probabilidad de ganar al menos el costo de 3 billetes es",prob_al_menos_3)## la probabilidad de ganar al menos el costo de 3 billetes es 0.31744Las imperfecciones en los tableros de circuitos y los microcircuitos de computadora se prestan para un análisis estadístico. Un tipo particular de tablero contiene 200 diodos y la probabilidad de que falle alguno es de 0.03.
n <- 200 # Número de diodos
p <- 0.03 # Probabilidad de falla de un diodo
num_simulaciones <- 10000 # Número de tableros simulados
# Simulación de fallas en los tableros
fallas <- rbinom(num_simulaciones, size = n, prob = p)¿Cuál es el número promedio de fallas en los diodos?
media_simulada <- mean(fallas)
cat("El número promedio de fallas en los diodos es",media_simulada)## El número promedio de fallas en los diodos es 5.977¿Cuál es la varianza?
varianza_simulada <- var(fallas)
cat("La varianza es",varianza_simulada)## La varianza es 5.726844El tablero funciona si no tiene diodos defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad de que un tablero funcione?
#Probabilidad de que el tablero funcione (0 fallas)
probabilidad_funcionamiento <- mean(fallas == 0)
cat("La probabilidad de que un tablero funcione es",probabilidad_funcionamiento)## La probabilidad de que un tablero funcione es 0.0018El comprador potencial de un motor particular requiere (entre otras cosas) que éste encienda 10 veces consecutivas. Suponga que la probabilidad de que encienda es de 0.990. Suponga que los resultados de intentos de encendido son independientes.
¿Cuál es la probabilidad de que el posible comprador acepte el motor después de sólo 10 encendidos?
p <- 0.990 # Probabilidad de que el motor encienda
n <- 10 # Número de encendidos consecutivos requeridos
prob_10_encendidos <- dbinom(n, size = n, prob = p)
cat("la probabilidad de que el posible comprador acepte el motor después de sólo 10 encendidos es",prob_10_encendidos)## la probabilidad de que el posible comprador acepte el motor después de sólo 10 encendidos es 0.9043821¿Cuál es la probabilidad de que se tenga que intentar encenderlo 12 veces durante el proceso de aceptación?
p <- 0.990 # Probabilidad de encendido exitoso
fallos <- 2 # Número de fallos previos
n_intentos <- 12 # Número total de intentos
exitos <- 10 # Número de éxitos requeridos
# Cálculo de la probabilidad usando combinaciones
prob_12_intentos <- choose(n_intentos - 1, fallos) * (1 - p)^fallos * p^exitos
cat("La probabilidad de que se tenga que intentar encenderlo 12 veces durante el proceso de aceptación es",prob_12_intentos)## La probabilidad de que se tenga que intentar encenderlo 12 veces durante el proceso de aceptación es 0.004974101