Examen 1 Grupal
Tania Sánchez, Gerardo Román, Yeliany Colón
2024-10-22
data <- NCI60
data1 <- data.frame(t(data$data))
names <- data$labs
colnames(data1) <- names
a <- which(names=="LEUKEMIA")
data.nueva <- data1[,a]Al importar la base de datos, obtenemos la data que contiene 6830 observaciones y 6 variable diferentes que explican la Leukemia. Más adelante se presentarán diferentes métodos para explicar y realizar diferentes pruebas a estos datos.
#1. Deben presentar por lo menos 2 gráficos que ayuden a explicar un poco su respectiva base de datos.
- Gráfica de dispersión y correlación
ggpairs(data.nueva)
En el gráfico de dispersión y correlación podemos determinar mediante los histogramas que la distribución entre las variables parece ser bastante centrada o normalizada. En las gráficas de dispersión los puntos están mayormente distribuidos uniformemente lo que indica que no hay muchos valores atípicos. Sin embargo, resaltan los puntos entre las variables LEUKEMIA 3 y LEUKEMIA 4 ya que tienen una pendiente claramente ascendente donde los puntos tienden a moverse hacia arriba. Por otro lado, en los gráficos entre LEUKEMIA 1 y LEUKEMIA 2 podemos analizar que los datos de las dos variables están cerca de la media, esto ya que los puntos se encuentran bastante agrupados en el centro. Por último, los valores de la correlación varían entre 0.191 y 0.755. La correlación más alta es entre las variables LEUKEMIA 3 y LEUKEMIA 4 mientras que la correlación más baja se encuentra entre LEUKEMIA y LEUKEMIA 5.
- Histograma
multi.hist(x = data.nueva, dcol = c("blue", "red"))
Una vez realizamos los histogramas, se puede observar que la mayoría de los mismos tienen una distribucion bastante normal, pero aun asi la normalidad no es tan fluida como debe ser, podemos observar esto en los valores máximos ya que forman un pico más alto de lo habitual para una muestra normal. Al ocurrir esto podemos realizar pruebas a los datos tanto univariados como multivariados.
#2. Deben realizar el análisis univariado y multivariado de las variables correspondientes
#Pruebas de normalidad univariada
- Cramer-Von Mises
CVM <- mvn(data.nueva, univariateTest = "CVM",desc=T)
CVM$univariateNormality## Test Variable Statistic p value Normality
## 1 Cramer-von Mises LEUKEMIA 19.1558 <0.001 NO
## 2 Cramer-von Mises LEUKEMIA.1 28.6203 <0.001 NO
## 3 Cramer-von Mises LEUKEMIA.2 14.8990 <0.001 NO
## 4 Cramer-von Mises LEUKEMIA.3 24.0805 <0.001 NO
## 5 Cramer-von Mises LEUKEMIA.4 33.2543 <0.001 NO
## 6 Cramer-von Mises LEUKEMIA.5 33.9233 <0.001 NOCon esta prueba podemos observar que ninguna de las variables es normal.
- Lilliefors (correccion de Kolmogorov)
L <- mvn(data.nueva, univariateTest = "Lillie",desc=T)
L$univariateNormality## Test Variable Statistic p value Normality
## 1 Lilliefors (Kolmogorov-Smirnov) LEUKEMIA 0.0741 <0.001 NO
## 2 Lilliefors (Kolmogorov-Smirnov) LEUKEMIA.1 0.0973 <0.001 NO
## 3 Lilliefors (Kolmogorov-Smirnov) LEUKEMIA.2 0.0688 <0.001 NO
## 4 Lilliefors (Kolmogorov-Smirnov) LEUKEMIA.3 0.1044 <0.001 NO
## 5 Lilliefors (Kolmogorov-Smirnov) LEUKEMIA.4 0.1182 <0.001 NO
## 6 Lilliefors (Kolmogorov-Smirnov) LEUKEMIA.5 0.1070 <0.001 NOIgual que la prueba anterior, podemos observar que ninguna de las variables cumplen con el supuesto de normalidad.
- Anderson Darling
AD <- mvn(data.nueva, univariateTest = "AD",desc=T)
AD$univariateNormality## Test Variable Statistic p value Normality
## 1 Anderson-Darling LEUKEMIA 112.6447 <0.001 NO
## 2 Anderson-Darling LEUKEMIA.1 166.2628 <0.001 NO
## 3 Anderson-Darling LEUKEMIA.2 90.1016 <0.001 NO
## 4 Anderson-Darling LEUKEMIA.3 135.3628 <0.001 NO
## 5 Anderson-Darling LEUKEMIA.4 186.6731 <0.001 NO
## 6 Anderson-Darling LEUKEMIA.5 188.2191 <0.001 NOIgual que las pruebas anteriores, podemos observar que ninguna de las variables cumplen con el supuesto de normalidad.
#Evaluación de la normal multivariada
- Mardia
Mardia <- mvn(data.nueva, mvnTest = "mardia")
Mardia$multivariateNormality## Test Statistic p value Result
## 1 Mardia Skewness 7834.9408078001 0 NO
## 2 Mardia Kurtosis 348.731100353133 0 NO
## 3 MVN <NA> <NA> NOComenzando las pruebas de normalidad multivariadas podemos observar que no es considerada normal en esta prueba.
- Henze-Zirkler
HZ <- mvn(data.nueva, mvnTest = "hz")
HZ$multivariateNormality## Test HZ p value MVN
## 1 Henze-Zirkler 53.18434 0 NOEn esta segunda prueba, de igual manera, llegamos a la conclusion que los datos no son normales.
Al finalizar todas las pruebas de normalidad tanto univariada como multivariada podemos concluir que hay los datos no cumplen con el supuesto de normalidad en las pruebas. Por el tamaño de los datos hay ciertas pruebas que no se pueden realizar ya que los mismos se exceden del requisito necesario para poder llevar a cabo las pruebas de manera eficiente.
#3.Deben proponer por lo menos 3 pruebas de hipótesis de las trabajadas en clase
#1. Esfericidad
Prueba
H0: Variables son independientes Ha: Variables no son independientes
α = 0.05
Información del problema
n <- 6830
p <- 6Matriz de covarianza muestral
S <- cov(data.nueva)
S## LEUKEMIA LEUKEMIA.1 LEUKEMIA.2 LEUKEMIA.3 LEUKEMIA.4 LEUKEMIA.5
## LEUKEMIA 0.6665271 0.2275691 0.2687147 0.2032585 0.2096526 0.1524974
## LEUKEMIA.1 0.2275691 0.9357423 0.3855018 0.3644464 0.3374698 0.2179712
## LEUKEMIA.2 0.2687147 0.3855018 0.8116926 0.4906354 0.4596969 0.2507030
## LEUKEMIA.3 0.2032585 0.3644464 0.4906354 1.1813108 0.8500895 0.3407668
## LEUKEMIA.4 0.2096526 0.3374698 0.4596969 0.8500895 1.0728122 0.3170256
## LEUKEMIA.5 0.1524974 0.2179712 0.2507030 0.3407668 0.3170256 0.9576000round(S,2)## LEUKEMIA LEUKEMIA.1 LEUKEMIA.2 LEUKEMIA.3 LEUKEMIA.4 LEUKEMIA.5
## LEUKEMIA 0.67 0.23 0.27 0.20 0.21 0.15
## LEUKEMIA.1 0.23 0.94 0.39 0.36 0.34 0.22
## LEUKEMIA.2 0.27 0.39 0.81 0.49 0.46 0.25
## LEUKEMIA.3 0.20 0.36 0.49 1.18 0.85 0.34
## LEUKEMIA.4 0.21 0.34 0.46 0.85 1.07 0.32
## LEUKEMIA.5 0.15 0.22 0.25 0.34 0.32 0.96- Calculamos el estadístico de prueba
sigma_est <- sum(diag(S))/p
lambda_0 <- (n-1)*(log(sigma_est)-log(det(S)))
lambda_0 ## [1] 14799.47Calculamos el valor crítico
a <- 0.05
gl <- (1/2)*(p+2)*(p-1)
lambda_c <- qchisq(1-a,gl)
lambda_c## [1] 31.41043- Decisión: Como lambda_0 es mayor que lambda_c, se rechaza la hipótesis nula, es decir que las variables no son independientes y no tienen una varianza común.
#2. Prueba de hipótesis para un vector de medias
Prueba: 1. H0: μ = (0.50,0.1,0.1,0.2,0.2,0.1) = μ0 Ha: μ no es igual a μ0
- alpha = 0.05. Como la matriz de covarianza de sigma es desconocida, se utilizará el caso 2, con la ayuda de la distribución T^2 de Hotelling
Información del problema
N <- 6830
p <- 6
mu <- apply(data.nueva,2,mean)
# muestra
n <- 500
set.seed(1234)
muestra <- sample(1:N,n,replace = F)
data_muestra <- data.nueva[muestra,]
xbar <- apply(data_muestra,2,mean) Vector de medias específico a probar
mu0 <- as.vector(c(0.50,0.8,0.7,1,1,0.9))Vector de medias muestral
xbar <- as.vector(apply(data.nueva,2,mean))Matriz de covarianza muestral
S <- cov(data.nueva)
S## LEUKEMIA LEUKEMIA.1 LEUKEMIA.2 LEUKEMIA.3 LEUKEMIA.4 LEUKEMIA.5
## LEUKEMIA 0.6665271 0.2275691 0.2687147 0.2032585 0.2096526 0.1524974
## LEUKEMIA.1 0.2275691 0.9357423 0.3855018 0.3644464 0.3374698 0.2179712
## LEUKEMIA.2 0.2687147 0.3855018 0.8116926 0.4906354 0.4596969 0.2507030
## LEUKEMIA.3 0.2032585 0.3644464 0.4906354 1.1813108 0.8500895 0.3407668
## LEUKEMIA.4 0.2096526 0.3374698 0.4596969 0.8500895 1.0728122 0.3170256
## LEUKEMIA.5 0.1524974 0.2179712 0.2507030 0.3407668 0.3170256 0.9576000round(S,2)## LEUKEMIA LEUKEMIA.1 LEUKEMIA.2 LEUKEMIA.3 LEUKEMIA.4 LEUKEMIA.5
## LEUKEMIA 0.67 0.23 0.27 0.20 0.21 0.15
## LEUKEMIA.1 0.23 0.94 0.39 0.36 0.34 0.22
## LEUKEMIA.2 0.27 0.39 0.81 0.49 0.46 0.25
## LEUKEMIA.3 0.20 0.36 0.49 1.18 0.85 0.34
## LEUKEMIA.4 0.21 0.34 0.46 0.85 1.07 0.32
## LEUKEMIA.5 0.15 0.22 0.25 0.34 0.32 0.96- Encontrar valor crítico
X0 <- n*t((xbar-mu0)) %*% solve(S) %*% (xbar-mu0)
round(X0,2)## [,1]
## [1,] 973.43a <- 0.05
Xc <- qchisq(1-a,2)
round(Xc,2)## [1] 5.99p_value <- 1-pchisq(X0,2)
p_value## [,1]
## [1,] 0- Decisión: Como α = 0.05 > p-value, rechazamos la hipótesis nula, es decir, no podemos probar que el vector de medias muestrales es similar a μ = (0.50,0.1,0.1,0.2,0.2,0.1) = μ0.
#3. Independencia
Prueba:
H0: Variables son independientes Ha: Variables no son independientes
α = 0.05
Información del problema
n <- 6830
p <- 6Matriz de covarianza muestral
Sigma <- cov(data.nueva)
S <- cov(data_muestra)
round(S,2)## LEUKEMIA LEUKEMIA.1 LEUKEMIA.2 LEUKEMIA.3 LEUKEMIA.4 LEUKEMIA.5
## LEUKEMIA 0.62 0.18 0.21 0.17 0.12 0.09
## LEUKEMIA.1 0.18 1.02 0.34 0.27 0.28 0.08
## LEUKEMIA.2 0.21 0.34 0.74 0.48 0.43 0.19
## LEUKEMIA.3 0.17 0.27 0.48 1.16 0.77 0.28
## LEUKEMIA.4 0.12 0.28 0.43 0.77 0.99 0.22
## LEUKEMIA.5 0.09 0.08 0.19 0.28 0.22 0.84Matriz de covarianza fija
valores_diagonales <- c(0.67, 0.94, 0.81, 1.18, 1.07, 0.96)
Sigma0 <- diag(valores_diagonales)
Sigma0## [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
## [1,] 0.67 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
## [2,] 0.00 0.94 0.00 0.00 0.00 0.00
## [3,] 0.00 0.00 0.81 0.00 0.00 0.00
## [4,] 0.00 0.00 0.00 1.18 0.00 0.00
## [5,] 0.00 0.00 0.00 0.00 1.07 0.00
## [6,] 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.96- Calculamos el estadístico de prueba
Propios <- eigen(S%*%solve(Sigma0))
val_prop <- Propios$values
val_prop ## [1] 2.5002933 0.9826598 0.8044264 0.7032216 0.4510180 0.2665968lambda_0 <- -(n-1)*sum(log(val_prop))
lambda_0 ## [1] 12217.49Calculamos el valor crítico
a <- 0.05
gl <- (1/2)*p*(p-1)
lambda_c <- qchisq(1-a,gl)
lambda_c## [1] 24.99579- Decisión: Como lambda_0 es mayor que lambda_c, se rechaza la hipótesis nula, es decir que las variables no son independientes.