Ketakbiasan Penduga \(μ\) dan \(σ^2\)

\(\bar{x}\) adalah penduga tak bias bagi \(μ\), jika \(E(\bar{x})=μ\)

\(s^2\) adalah penduga tak bias bagi \(σ^2\), jika \(E(s^2)=σ^2\)

Algoritma

1. Tentukan sebaran yang akan digunakan

2. ulangi sebanyak k kali

   • Bangkitkan n buah data dari sebaran yang sudah ditentukan

   • Hitung nilai \(\bar{x}\) dan \(s^2\)

3. Hitung rata-rata dari \(\bar{x}\) dan \(s^2\) , kemudian bandingan dengan \(μ\) dan \(σ^2\)

Aplikasi di R

n = 10
k = 1000 #ulangan
populasi = rnorm(100,25,sqrt(5)) # populasi menyebar normal
miu      = mean(populasi)
sigma2   = var(populasi)*(100-1)/100 #fungsi var di R adalah varian contoh sehingga perlu disesuaikan 
sampel   = matrix(NA,k,n)
for (i in 1:k) sampel[i,] = sample (populasi,n)
xbar     = apply (sampel,1,mean)
s2       = apply(sampel,1,var)
E.xbar   = mean(xbar)
E.s2     = mean(s2)

hasil = data.frame( "."  = c("populasi","E(sampel)"), 
                    mean   = c(miu, E.xbar), 
                    varian = c(sigma2, E.s2))
hasil

Dari hasil diatas nilai harapan dari \(\bar{x}\) dan \(s^2\) sudah mendekati atau hampir sama dengan nilai parameter \(μ\) dan \(σ^2\) sehingga dapat dikatakan bahwa :

• \(\bar{x}\) adalah penduga tak bias bagi μ

• \(s^2\) adalah penduga tak bisa bagi σ2

Ketakbiasan Penduga Least-Square dalam Regresi Linier

\(b=(X'X)^{-1}X'y\) dapat ditunjukkan sebagai penduga tak bias bagi \(\beta\) jika \(E(\varepsilon )=0\)

Algoritma

1. Tentukan \(\beta _{0}\) dan \(\beta _{1}\)

2. Ulangi k kali

   • Bangkitkan n buah data X dari sebaran yang tertentu (misal: normal)

   • Bangkitkan \(ε\) yang menyebar normal dengan nilai tengah 0 dan ragam \(\sigma _{\varepsilon }^{2}\)

   • Hitung \(b_{0}\) dan \(b_{1}\)

3. Hitung rata-rata dari \(b_{0}\) dan \(b_{1}\), bandingkan dengan \(\beta _{0}\) dan \(\beta _{1}\)

Aplikasi di R

n = 50 #ukuran contoh
k = 1000 #ulangan
beta       = c(8,20) # beta_0 = 8 dan beta_1 = 20
sigmaerror = 3

betaduga   = matrix(NA,k,2)
for (i in 1:k){
  x = runif(n)*10
  epsilon = rnorm(n,0,sqrt(sigmaerror))
  X = cbind(1,x)
  y = X %*% beta + epsilon
  betaduga[i,] = solve (t(X) %*% X) %*% (t(X) %*% y)
}

rataanbetaduga = apply(betaduga,2,mean)
names(rataanbetaduga) = c("bo","b1")
rataanbetaduga

##        bo        b1 
##  7.995179 20.002052

Dari hasil diatas nilai harapan dari \(b_{0}\) dan \(b_{1}\) sudah mendekati atau hampir sama dengan nilai parameter \(\beta _{0}\) dan \(\beta _{1}\) sehingga dapat dikatakan bahwa :

\(b\) merupakan penduga tak bias bagi \(β\)

Selang Kepercayaan

Apa arti dari SK 95% ?

• SK 95% bagi \(θ\) : Kita percaya 95% bahwa selang a sampai b memuat nilai parameter \(θ\) yang sebenarnya.

• SK 95% : Jika kita melakukan 100 kali percontohan acak dan setiap percontohan acak dibuat selang kepercayaannya, maka dari 100 SK yang terbentuk, ada 95 SK yang mencakup parameter sedangkan sisanya sebanyak 5 SK tidak mencakup parameter.

Algoritma

1. Tentukan sebaran yang akan digunakan

2. Ulangi k kali

   • Bangkitkan n buah data X dari sebaran yang tertentu

   • Hitung nilai \(\bar{x}\) dan \(s^2\)

   • Hitung \(\sigma _{\bar{x}}^{2}\) dan buat selang kepercayaann \((1- α)%\)

3. Hitung proporsi banyaknya selang kepercayaan yang memuat \(μ\), bandingkan dengan \((1-α)\)

Aplikasi di R

n    = 50
k    = 100 #ulangan
alpha  = 0.05
mu   = 50
std  = 10

set.seed(503)
sampel = matrix(rnorm(n*k,mu,std),k)
xbar = apply(sampel,1,mean)
s    = apply(sampel,1,sd)
SE   = s/sqrt(n)
z    = qnorm(1-alpha/2)
SK   = (xbar-z*SE < mu & mu < xbar+z*SE)

sum(SK)/k #proporsi banyaknya SK yang memuat mu

## [1] 0.95

matplot(rbind (xbar-z*SE, xbar+z*SE), rbind(1:k,1:k), col=ifelse(SK,"blue","red"), type = "l", lty = 1,main='Selang Kepercayaan', xlab='SK', ylab='banyak ulangan')
abline(v=mu)

Latihan Praktikum

Kelompok Ganjil

1. Lakukan simulasi untuk membuktikan bahwa penduga mean \((λ)\) dan penduga varian dari sebaran Poisson merupakan penduga Tak Bias (note: Distribusi Poisson memiliki satu parameter, yaitu \(λ\), yang mewakili rata-rata dan varians distribusi)

2. Lakukan simulasi untuk membuktikan bahwa \(b_{0}\) dan \(b_{1}\) merupakan penduga tak bias bagi \(\beta _{0}\) dan \(\beta _{1}\)

3. Lakukan simulasi untuk selang kepercayaan 90%

Kelompok Genap

1. Lakukan simulasi untuk membuktikan bahwa penduga mean dan penduga varian dari sebaran seragam (uniform) merupakan penduga Tak Bias

2. Lakukan simulasi untuk membuktikan bahwa \(b_{0}\) dan \(b_{1}\) merupakan penduga tak bias bagi \(\beta _{0}\) dan \(\beta _{1}\)

3. Lakukan simulai untuk selang kepercayaan 99%