1 PROBLEMA A. SERVICIO EN UN RESTAURANTE

Es conocido que parte fundamental del servicio en un restaurante es el tiempo que los clientes esperan para ser atendidos. Suponga que en un restaurante se han recibido quejas de que el tiempo para preparar las cuentas al final de la comida es muy largo. Considere que un mesero en promedio atiende la cuenta de una mesa cada 10 minutos.

1.1 Punto 1

Determine la probabilidad de que el mesero haga el cobro de al menos 8 mesas por hora. Asuma que los clientes piden la cuenta de forma independiente y a una rapidez constante. Explique qué ocurriría en una hora pico, si hubiera al menos 10 mesas solicitando la cuenta.

# Definimos el parámetro lambda

#Si se atienede una mesa cada 10 minutos , en una hora que tiene 60 minutos u mesero atiende 6 mesas

lambda <- 6  # El promedio de mesas atendidas por hora 

# Rango de valores de x (número de mesas atendidas por hora)
x <- c(0:6)

# Calculamos la función de probabilidad Poisson para cada valor de x
pois <- exp(-lambda) * lambda^x / factorial(x)

# Creamos un data frame con los resultados
t3 <- data.frame(x, pois)

# Calculamos la probabilidad de al menos 8 mesas por hora
# Usamos la función dpois para obtener las probabilidades puntuales de Poisson

pois1 <- dpois(x, lambda = lambda)

# Probabilidad acumulada para menos de 8 mesas
p_menos_8 <- ppois(7, lambda)

# Probabilidad de al menos 8 mesas
p_al_menos_8 <- 1 - p_menos_8
cat("La probabilidad de atender al menos 8 mesas por hora es:", p_al_menos_8, "\n")
## La probabilidad de atender al menos 8 mesas por hora es: 0.2560202
# ¿Qué sucede si hay al menos 10 mesas en una hora pico?
# Probabilidad acumulada para menos de 10 mesas
p_menos_10 <- ppois(9, lambda)

# Probabilidad de no poder atender a todas las mesas si hay al menos 10
cat("La probabilidad de atender menos de 10 mesas en una hora pico es:", p_menos_10, "\n")
## La probabilidad de atender menos de 10 mesas en una hora pico es: 0.916076

1.2 Punto 2

Determine la probabilidad de que el tiempo de espera entre el cobro de una mesa y otra sea de menos de 5 minutos.

lambda <- 1/10  
t <- 5  
prob_t_menor_5 <- 1 - exp(-lambda * t)
cat("La probabilidad de que el tiempo de espera sea menor a 5 minutos:", prob_t_menor_5, "\n")
## La probabilidad de que el tiempo de espera sea menor a 5 minutos: 0.3934693

1.3 Punto 3

Si se tienen dos meseros en el restaurante que trabajan a la misma velocidad, determine la probabilidad de que juntos hagan el cobro de almenos 10 mesas en una hora. Asuma que los meseros trabajan de forma independiente, y que la suma de variables aleatorias independientes de Poisson con parámetros \(\lambda_{1}\) y \(\lambda_{2}\) es una variable aleatoria de Poisson con parámetro \(\lambda\) = \(\lambda_{1}\) + \(\lambda_{2}\)

lambda_total <- 6 + 6  # Tasa combinada de ambos meseros
# Probabilidad acumulada de 0 a 9 mesas
prob_menos_de_10 <- ppois(9, lambda = lambda_total)
# Probabilidad de al menos 10 mesas
prob_al_menos_10 <- 1 - prob_menos_de_10
cat("La probabilidad de que juntos atiendan al menos 10 mesas en una hora:", prob_al_menos_10, "\n")
## La probabilidad de que juntos atiendan al menos 10 mesas en una hora: 0.7576078

2 Problema B. PROMEDIO DE LANCES DE UN DADO

Se desea analizar el promedio de lances de un dado legal. Asuma que cada lanzamiento es independiente del otro.

2.1 Punto 1

Suponga que se lanza dos veces un dado legal. Sea Y la variable aleatoria que corresponde al promedio del lance de los dos dados. Identifique media y varianza de la variable Y. Elabore una gráfica de la función de masa de probabilidad f (Y).

lanzamientos.Y <- expand.grid(1:6, 1:6) # todas las combinaciones de lanzamientos
Y <- rowMeans(lanzamientos.Y) # promedio de cada combinación

#lanzamientos.Y <- expand.grid(1:6, 1:6) 
#Y <- rowMeans(lanzamientos.Y) 
#Estas lineas de codigo se realizaron con ayuda de ChatGPT

# calcular la media y varianza de Y
media.Y <- mean(Y)
varianza.Y <- var(Y)

cat("La Media de Y es:", media.Y)
## La Media de Y es: 3.5
cat("La Varianza de Y es:", varianza.Y)
## La Varianza de Y es: 1.5
# grafica de la función de masa de probabilidad de Y
f.Y <- table(Y) / length(Y)  

cat("La Función de Masa de Probabilidad de Y es:",f.Y)
## La Función de Masa de Probabilidad de Y es: 0.02777778 0.05555556 0.08333333 0.1111111 0.1388889 0.1666667 0.1388889 0.1111111 0.08333333 0.05555556 0.02777778
# grafico
barplot(f.Y, main = "Función de masa de probabilidad de Y (Promedio de 2 dados)",
        xlab = "Promedio Y", ylab = "Probabilidad", col = "lightblue")

2.2 Punto 2

Suponga que se lanza tres veces un dado legal. Sea W la variable aleatoria que corresponde al promedio del lance de los tres dados. Identifique media y varianza de la variable W.

lanzamientos.W <- expand.grid(1:6, 1:6, 1:6) # todas las combinaciones de lanzamientos
W <- rowMeans(lanzamientos.W) # promedio de cada combinación

#lanzamientos.W <- expand.grid(1:6, 1:6, 1:6)
#W <- rowMeans(lanzamientos.W) 
#Estas lineas de codigo se realizaron con ayuda de ChatGPT

# calcular la media y varianza de W
media.W <- mean(W)
varianza.W <- var(W)

cat("La Media de W es:", media.W)
## La Media de W es: 3.5
cat("La Varianza de W es:", varianza.W)
## La Varianza de W es: 0.9767442

2.3 Punto 3

Grafique la función de masa de probabilidad f (W).

f.W <- table(W) / length(W)  

cat("La Función de Masa de Probabilidad de W es:",f.W)
## La Función de Masa de Probabilidad de W es: 0.00462963 0.01388889 0.02777778 0.0462963 0.06944444 0.09722222 0.1157407 0.125 0.125 0.1157407 0.09722222 0.06944444 0.0462963 0.02777778 0.01388889 0.00462963
# grafico
barplot(f.W, main = "Función de masa de probabilidad de W (Promedio de 3 dados)",
        xlab = "Promedio W", ylab = "Probabilidad", col = "lightgreen")

2.4 Punto 4

Suponga ahora que se desea lanzar 10 veces un dado legal.

2.4.1 a)

Genere aleatoriamente números comprendidos entre 1 y 6 que representarían lo que se obtuvo en cada lanzamiento y promedie dichos resultados. Replique esto 50 veces.

n_lanzamientos <- 10
n_replicas <- 50

# Generar los lanzamientos y calcular promedios
promedios <- replicate(n_replicas, mean(sample(1:6, n_lanzamientos, replace = TRUE)))

2.4.2 b)

Elabore un histograma de frecuencias relativas para el promedio de los 10 lances. Encuentre media muestral y varianza muestral para los 50 resultados del promedio de los 10 lances.

hist(promedios, breaks = 10, probability = TRUE, col = "lightblue", 
     main = "Histograma de Frecuencias Relativas - Promedio de 10 Lances",
     xlab = "Promedio", ylab = "Frecuencia Relativa")

# Calcular media y varianza muestral
media_muestral <- mean(promedios)
varianza_muestral <- var(promedios)

# Mostrar resultados
media_muestral
## [1] 3.454
varianza_muestral
## [1] 0.2453918

2.5 Punto 5

Concluya y trate de buscar una generalización con base en los resultados obtenidos.

cat("Para concluir como el dado tiene un valor medio de 3.5, los promedios de varios 
lanzamientos se mantendrán alrededor de ese valor.")
## Para concluir como el dado tiene un valor medio de 3.5, los promedios de varios 
## lanzamientos se mantendrán alrededor de ese valor.
cat(" La dispersión de los promedios será baja, ya que tomar varios lanzamientos reduce
la variabilidad de los resultados Varianza moderada: La dispersión de los promedios será
baja, ya que tomar varios lanzamientos reduce la variabilidad de los resultados")
##  La dispersión de los promedios será baja, ya que tomar varios lanzamientos reduce
## la variabilidad de los resultados Varianza moderada: La dispersión de los promedios será
## baja, ya que tomar varios lanzamientos reduce la variabilidad de los resultados
cat("A pesar de que cada ejecución arroje valores diferentes, el patrón se mantiene. Esto
es un reflejo del Teorema Central del Límite: aunque los resultados de cada lanzamiento 
del dado son aleatorios, el promedio de muchos lanzamientos tiende a una distribución 
normal con media en 3.5.")
## A pesar de que cada ejecución arroje valores diferentes, el patrón se mantiene. Esto
## es un reflejo del Teorema Central del Límite: aunque los resultados de cada lanzamiento 
## del dado son aleatorios, el promedio de muchos lanzamientos tiende a una distribución 
## normal con media en 3.5.