\[ SL = \frac{\text{Quantité livrée à temps}}{\text{Quantité totale demandée}} \] \(SL\) est le niveau de service, qui mesure la qualité du service fournisseur. / ### Turnover Rate Formula (Taux de rotation des stocks)
\[ TR = \frac{\text{Sortie totale de stock (consommation)}}{\text{Inventaire moyen}} \] \(TR\) est le taux de rotation, qui mesure l’efficacité de la gestion des stocks. / ### Stock Coverage Formula (Couverture des stocks)
\[ CV = \frac{\text{Inventaire moyen}}{\text{Consommation moyenne journalière}} \] \(CV\) est la couverture des stocks, qui indique combien de jours l’inventaire peut couvrir la demande.
\[ TR = \frac{\sum (C_i \cdot D_i)}{\sum (C_i \cdot I_i)} \] \(TR\) est le taux de rotation pour un ensemble d’articles. \(C_i\) est le coût unitaire de l’article \(i\).
\(D_i\) est la demande annuelle de l’article \(i\).
\(I_i\) est l’inventaire moyen de l’article \(i\).
\[ I(t) = I(t-1) + X(t) - d(t) \]\(I(t)\) est le niveau d’inventaire au temps \(t\).
\(X(t)\) est la quantité livrée au temps.
\(d(t)\) est la demande au temps.
\[ S = r + EOQ \]\(S\) est le niveau de réapprovisionnement maximal.
\(r\) est le point de commande.
\(EOQ\) est la quantité économique de commande.
\[ r = D \cdot L + SS \]\(r\) est le point de commande.
\(D\) est la demande. \(L\) est le délai de réapprovisionnement (lead time).
\(SS\) est le stock de sécurité.
\[ SS = k \cdot s \cdot \sqrt{L} \]\(SS\) est le stock de sécurité.
\(k\) est le facteur de risque.
\(s\) est la déviation standard de la demande.
\(L\) est le délai de réapprovisionnement.
\[ EOQ = \sqrt{\frac{2 \cdot D \cdot a}{h}} \]
\(EOQ\) est la quantité économique de commande.
\(D\) est la demande annuelle. \(a\) est le coût par commande.
\(h\) est le coût de détention unitaire par an.
\[ TC(Q) = \frac{a \cdot D}{Q} + \frac{h \cdot Q}{2} \]
\(TC(Q)\) est le coût total.
\(Q\) est la quantité de commande.
\[ Ch = \frac{h \cdot Q}{2} \]
\(Ch\) est le coût de détention en fonction de la quantité de commande.
\[ Co = a \cdot \frac{D}{Q} \]
\(Co\) est le coût de commande basé sur la quantité commandée.
\[ n = \frac{D}{Q} \]
\(n\) est le nombre optimal de commandes à passer dans une période donnée.
\[ Te = \frac{EOQ}{D} \cdot 12 \]
\(Te\) est la périodicité optimale en mois si \(D\) est la demande annuelle.
Pour minimiser le coût total, on prend la dérivée de la formule du coût total : \[ \frac{d TC(Q)}{d Q} = - \frac{a \cdot D}{Q^2} + \frac{h}{2} = 0 \] Cette dérivation est utilisée pour trouver la quantité \(Q\) qui minimise le coût total.
\[ B = C_T + D \cdot u \]
\(B\) est le total budget.
\(C_T\) est le coût total de traitement des commandes.
\(D\) est la demande annuelle (en unités).
\(u\) est le coût unitaire de l’article (sans réduction).
\[ B’ = C_T + D \cdot u’ \] avec : \[ u’ = u \cdot (1 - r) \]\(B’\) est le total budget avec réduction.
\(u’\) est le coût unitaire de l’article après réduction.
\(u\) est le coût unitaire de l’article. \(r\) est le taux de réduction.
\[ Q_i = \sqrt{\frac{2 \cdot D \cdot a}{h \cdot u_i}} \]\(Q_i\) est la quantité économique de commande (EOQ) pour l’intervalle \(i\).
\(D\) est la demande annuelle (en unités). \(a\) est le coût de passation d’une commande.
\(h\) est le coût de détention par unité et par an.
\(u_i\) est le coût unitaire de l’article pour l’intervalle \(i\).
\[ B_i = \frac{D \cdot u_i}{Q_i} + a \cdot \frac{D}{Q_i} + h \cdot \frac{Q_i}{2} \]\(B_i\) est le budget total avec EOQ.
\(Q_i\) est la quantité économique de commande pour l’intervalle \(i\).
\(a\) est le coût de passation d’une commande.
\(h\) est le coût de détention par unité et par an.
\[ B_t = \sum \left( \frac{D \cdot u_i}{Q} + a \cdot \frac{D}{Q} + h \cdot \frac{Q}{2} \right) \]\(B_t\) est le budget total avec réduction progressive.
\(u_i\) est le coût unitaire de l’article dans l’intervalle \(i\).
\(Q\) est la quantité commandée.
\[ Q_i = \sqrt{\frac{2 \cdot D \cdot a_i}{h \cdot u}} \]\(Q_i\) est la quantité économique de commande pour l’intervalle \(i\).
\(a_i\) est le coût de passation de commande dépendant de la quantité.
\(h\) est le coût de détention par unité et par an. \(u\) est le coût unitaire de l’article.
\[ B = a + \frac{D \cdot h}{F - D} \]\(B\) est le coût total pour l’approvisionnement continu.
\(a\) est le coût de passation de commande.
\(D\) est la demande annuelle (en unités).
\(h\) est le coût de détention par unité et par an.
\(F\) est le taux de production (d’approvisionnement).
\(F - D\) est la différence entre la production et la consommation.
\[ Q^* = \sqrt{\frac{2 \cdot D \cdot a}{h \cdot (F - D)}} \]\(Q^*\) est la quantité économique optimale pour l’approvisionnement continu.
\(a\) est le coût de passation de commande. \(h\) est le coût de détention par unité et par an.
\(F\) est le taux de production.
\(D\) est la demande annuelle.
\[ SS = (D_{\text{max}} - D) \cdot L \]\(SS\) est le stock de sécurité.
\(D_{\text{max}}\) est la demande maximale par période.
\(D\) est la demande moyenne par période.
\(L\) est le délai de livraison.
\[ r = D \cdot L + SS \]\(r\) est le point de commande.
\(D\) est la demande moyenne par période.
\(L\) est le délai de livraison.
\(SS\) est le stock de sécurité.
\[ SS = k \cdot s_D \cdot L \]\(SS\) est le stock de sécurité.
\(k\) est le coefficient de sécurité (en fonction du niveau de service souhaité).
\(s_D\) est l’écart-type de la demande.
\(L\) est le délai de livraison.
\[ r = D \cdot L + SS \]\(r\) est le point de commande.
\(D\) est la demande moyenne par période.
\(L\) est le délai de livraison.
\(SS\) est le stock de sécurité.
\[ Q_W = \sqrt{\frac{2 \cdot A_W \cdot D}{h_W}} \] \[ Q_R = \sqrt{\frac{2 \cdot A_R \cdot D}{h_R}} \]
\(Q_W\) est la quantité de commande pour le stock du grossiste (warehouse).
\(Q_R\) est la quantité de commande pour le stock du détaillant (retailer).
\(A_W\) et \(A_R\) sont les coûts de commande respectifs pour le grossiste et le détaillant.
\(D\) est la demande annuelle.
\(h_W\) et \(h_R\) sont les coûts de détention respectifs pour le grossiste et le détaillant.
\[ TC(Q_W, Q_R) = \frac{A_W \cdot D}{Q_W} + \frac{A_R \cdot D}{Q_R} + \frac{h_W \cdot Q_W}{2} + \frac{h_R \cdot Q_R}{2} - \frac{h_W \cdot Q_R}{2} \]
\(TC(Q_W, Q_R)\) est le coût total de réapprovisionnement conjoint.
\(A_W\) et \(A_R\) sont les coûts de commande pour le grossiste et le détaillant.
\(Q_W\) et \(Q_R\) sont les quantités de commande pour le grossiste et le détaillant.
\(h_W\) et \(h_R\) sont les coûts de détention respectifs pour le grossiste et le détaillant.
\[Q^*_{\text{R}} = \sqrt{\frac{2 \cdot D \cdot (A_R + A_W/n)}{h_R + (n-1) \cdot h_W}}\]
\(Q^*_{\text{R}}\) est la quantité optimale pour le détaillant avec réapprovisionnement conjoint.
\(D\) est la demande annuelle.
\(A_R\) et \(A_W\) sont les coûts de commande pour le détaillant et le grossiste.
\(h_R\) et \(h_W\) sont les coûts de détention respectifs pour le détaillant et le grossiste. \(n\) est un entier qui représente le ratio entre les quantités commandées.
\[ TC(n, Q_R) = \frac{D}{Q_R} \cdot \left( A_R + \frac{A_W}{n} \right) + \frac{Q_R}{2} \cdot \left( (n - 1) \cdot h_W + h_R \right) \]
\(TC(n, Q_R)\) est le coût total avec réapprovisionnement conjoint.
\(D\) est la demande annuelle.
\(A_R\) et \(A_W\) sont les coûts de commande pour le détaillant et le grossiste.
\(Q_R\) est la quantité de commande du détaillant.
\(h_R\) et \(h_W\) sont les coûts de détention respectifs pour le détaillant et le grossiste.
\(n\) est le ratio des quantités commandées.
\[ n^* = \frac{h_R - h_W}{A_R/A_W} \]
\(n^*\) est le nombre optimal de commandes pour le grossiste et le détaillant.
\(h_R\) et \(h_W\) sont les coûts de détention respectifs pour le détaillant et le grossiste.
\(A_R\) et \(A_W\) sont les coûts de commande respectifs pour le détaillant et le grossiste.
\[ Q = \sqrt{\frac{2 \cdot D \cdot c_o}{c_h}} \]
\(Q\) est la quantité économique de commande.
\(D\) est la demande annuelle.
\(c_o\) est le coût de commande.
\(c_h\) est le coût de détention par unité.
\[ \text{P}[D_L > r^*] = \frac{c_h}{c_h + c_p} \]
\(\text{P}[D_L > r^*]\) est la probabilité que la demande pendant le délai dépasse le point de commande optimal. \(c_h\) est le coût de détention par unité.
\(c_p\) est le coût de pénalité (coût de rupture de stock).
\(D_L\) est la demande pendant le délai de livraison.
\[ F(r^*) = 1 - \text{P}[D_L > r^*] \] \(F(r^*)\) est la fonction de distribution cumulée pour le point de commande optimal. \(\text{P}[D_L > r^*]\) est la probabilité que la demande pendant le délai dépasse le point de commande optimal.
Total Cost Formula with Stochastic Demand (Coût total avec demande aléatoire)
\[ TC = \frac{A \cdot D}{Q} + \frac{h \cdot Q}{2} + \text{P}[D_L > r^*] \cdot c_p \]\(TC\) est le coût total. \(A\) est le coût de commande.
\(D\) est la demande annuelle. \(Q\) est la quantité économique de commande.
\(h\) est le coût de détention par unité.
\(\text{P}[D_L > r^*]\) est la probabilité de rupture de stock.
\(c_p\) est le coût de pénalité (coût de rupture de stock).
\[ Q = \sqrt{\frac{2 \cdot D \cdot c_o}{c_h}} \] 2. Calculer \(r\) à l’aide de la distribution cumulative : \[ F(r^*) = 1 - \text{P}[D_L > r^*] \] 3. Répéter jusqu’à convergence pour obtenir les valeurs optimales de \(Q\) et \(r^*\).
\[ X_n = X_{n-1} + C_{n-1} - d_n \]\(X_n\) est la position de l’inventaire à la fin de la période.
\(X_{n-1}\) est la position de l’inventaire au début de la période.
\(C_{n-1}\) est le nombre de produits commandés au début de la période.
\(d_n\) est la demande pendant la période \(n\).
\[ p_{ij}(n) = P(X_{n+1} = j \mid X_n = i) \]
\(p\_{ij}(n)\) est la probabilité de passer de l’état \(i\) à l’état \(j\) à la période \(n\).
\[ P = [p_{ij}] \]
La matrice \(P\) est une matrice stochastique où chaque ligne représente une somme égale à 1.
\[ P(\infty) \cdot (I - P) = 0 \]
La distribution stationnaire se trouve en résolvant ce système d’équations.
\(P(\infty)\) est la probabilité à l’état stationnaire, et \(P\) est la matrice de transition.
\[ g = P \cdot q \]
\(g\) est le revenu moyen attendu par période.
\(P\) est le vecteur de probabilité à l’état stationnaire.
\(q\) est le vecteur des revenus immédiats attendus.
\[ q_i = p_{11} \cdot r_{11} + p_{12} \cdot r_{12} \] \(q_i\) est le revenu immédiat attendu pour l’état \(i\).
\(p_{ij}\) est la probabilité de transition entre les états \(i\) et \(j\).
\(r_{ij}\) est le revenu associé à la transition entre les états \(i\) et \(j\).
\[ q_1 = p_{11} \cdot r_{11} + p_{12} \cdot r_{12} \] \[ q_2 = p_{21} \cdot r_{21} + p_{22} \cdot r_{22} \] \(q = [q_1, q_2]^T\) est le vecteur des revenus immédiats attendus pour les états 1 et 2.
\[ \text{Expected Holding Cost} = 50 \cdot (X_{n-1} + C_{n-1} - d_n) \]
Le coût de détention est calculé en fonction de l’inventaire restant après la demande.
\[ \text{Expected Shortage Cost} = 40 \cdot (d_n - X_{n-1} - C_{n-1}) \]Le coût de rupture est calculé si la demande dépasse le stock disponible.
\[ g = P \cdot q \]
Le revenu moyen par période est calculé en multipliant le vecteur de probabilité stationnaire \(P\) par le vecteur de revenu immédiat \(q\).
\[ I_t = I_{t-1} + X_t - d_t \]
\(I_t\) est le niveau d’inventaire à la fin de la période.
\(I_{t-1}\) est le niveau d’inventaire au début de la période.
\(X_t\) est la quantité produite (ou commandée) à la période.
\(d_t\) est la demande pendant la période \(t\).
\[ TC = \sum_{t=1}^{T} (s_t \cdot Y_t + h_t \cdot I_t) \]
\(TC\) est le coût total.
\(T\) est le nombre de périodes (horizon).
\(s_t\) est le coût de lancement (ou de commande) à la période \(t\).
\(h_t\) est le coût de détention par article à la période.
\(Y_t\) est une variable binaire qui vaut 1 s’il y a production à la période, et 0 sinon.
\(I_t\) est le niveau d’inventaire à la période \(t\).
\[ \min \sum_{t=1}^{T} (s_t \cdot Y_t + h_t \cdot I_t) \]L’objectif est de minimiser le coût total d’inventaire en choisissant la quantité à produire \(X_t\) à chaque période.
\[ X_t = \sqrt{\frac{2 \cdot D \cdot s_t}{h_t}} \]
\(X_t\) est la quantité économique de commande (EOQ) pour la période.
\(D\) est la demande annuelle.
\(s_t\) est le coût de commande à la période.
\(h_t\) est le coût de détention par unité à la période \(t\).
\[ \sum_{t=1}^{n} h_t \cdot (I_t - d_t) \leq s_t \leq \sum_{t=1}^{n} h_t \cdot I_t \]Cette formule est utilisée pour déterminer la quantité optimale à commander afin d’équilibrer les coûts de commande et de détention.
\[ Q_i = \sum_{t=i}^{i+n} d_t \]
\(Q_i\) est la quantité à commander à la période \(i\) pour couvrir les demandes de \(n\) périodes.
\(d_t\) est la demande pendant la période \(t\).
\[ \min \sum_{t=1}^{T} (s_t \cdot Y_t + h_t \cdot I_t + p_t \cdot X_t) \]Cette formule permet de minimiser les coûts totaux d’inventaire, y compris les coûts de production, de commande et de détention.
\(p_t\) est le coût de production à la période \(t\).
\[ I^+t - I^-t = I^+{t-1} - I^-{t-1} + X_t - d_t \]
\(I^+_t\) est l’inventaire positif (stock disponible).
\(I^-_t\) est l’inventaire négatif (ventes perdues ou retards).
\(X_t\) est la quantité produite à la période.
\(d_t\) est la demande à la période \(t\).
\[ I^+_t - I^-t = I^+{t-1} + X_t - d_t \]Cette formule gère les ventes perdues lorsque la demande dépasse l’inventaire disponible. \(I^+_t\) est l’inventaire disponible.
\(I^-_t\) est le coût des ventes perdues.
\(X_t\) est la production. \(d_t\) est la demande.
\[ I_t = I_{t-1} + X_t - d_t \]\(I_t\) est le niveau d’inventaire à la fin de la période.
\(I_{t-1}\) est le niveau d’inventaire au début de la période.
\(X_t\) est la quantité produite (ou commandée) à la période.
\(d_t\) est la demande pendant la période \(t\).
\[ TC = \sum_{t=1}^{T} (s_t \cdot Y_t + h_t \cdot I_t) \]
\(TC\) est le coût total.
\(T\) est le nombre de périodes (horizon).
\(s_t\) est le coût de lancement (ou de commande) à la période \(t\).
\(h_t\) est le coût de détention par article à la période.
\(Y_t\) est une variable binaire qui vaut 1 s’il y a production à la période \(t\), et 0 sinon.
\(I_t\) est le niveau d’inventaire à la période \(t\).
\[ R + M(P_5) \]Cette formule décrit la politique de réapprovisionnement basée sur le niveau de réapprovisionnement \(R\) et la quantité de commande fixe \(Q\).
\(M(P_5)\) représente une variable de demande en attente.
\[ P(\text{taux de service}) = \frac{1}{\mu} \]Dans une file d’attente M/M/1 :
\(P\) est la probabilité de service.
\(\lambda\) est le taux d’arrivée (distribution de Poisson).
\(\mu\) est le taux de service (distribution exponentielle).
\[ \lambda = \mu = 2 \]
Dans une file d’attente M/M/2/5/6 :
\(\lambda\) est le taux d’arrivée.
\(\mu\) est le taux de service.
Cette formule inclut 2 serveurs, une capacité de file de 5 et une population de 6 clients.
\[ SL = \frac{\text{Quantité livrée à temps}}{\text{Quantité totale demandée}} \]\(SL\) est le niveau de service, qui mesure la qualité du service.
\[ TC = \frac{A \cdot D}{Q} + \frac{h \cdot Q}{2} \]\(TC\) est le coût total. \(A\) est le coût de commande.
\(D\) est la demande annuelle. \(Q\) est la quantité de commande économique.
\(h\) est le coût de détention par unité.
\[ \Delta C = C_{\text{initial}} - C_{\text{optimisé}} \] \(\Delta C\) est la réduction du coût d’inventaire.
\(C_{\text{initial}}\) est le coût initial d’inventaire.
\(C_{\text{optimisé}}\) est le coût après optimisation.
\[ P_{\text{tot}} = \sum_{i=1}^{n} \left( SL_i \cdot C_i \right) \]
\(P_{\text{tot}}\) est la performance totale.
\(SL_i\) est le niveau de service pour l’entité.
\(C_i\) est le coût associé à l’entité \(i\).
\[ F = a \cdot F_1 + b \cdot F_2 \]\(F\) est la fonction d’agrégation. \(a\) et \(b\) sont des coefficients de pondération.
\(F_1\) est le premier objectif (ex: minimisation du coût).
\(F_2\) est le deuxième objectif (ex: maximisation du service).
\[ \min Z = \sum_{t=1}^{T} \left( s_t \cdot Y_t + p_t \cdot X_t + \sum_{i=1}^{N} h_{it} \cdot I_{it} + \sum_{i=1}^{N} l_i \cdot E_{it} \right) \]
\(s_t\) est le coût de mise en place pour la période.
\(p_t\) est le coût de désassemblage pour la période.
\(h_{it}\) est le coût de stockage de l’article \(i\) à la période \(t\).
\(I_{it}\) est le niveau d’inventaire de l’article \(i\) à la période \(t\).
\(l_i\) est le coût de surplus pour l’article \(i\).
\(E_{it}\) est le stock excédentaire de l’article \(i\) à la période \(t\).
\(Y_t\) est une variable binaire qui vaut 1 s’il y a un setup à la période \(t\), 0 sinon.
\(X_t\) est la quantité désassemblée à la période \(t\).
\[ I_{it} = I_{it-1} + a_i \cdot X_t - d_{it}, \forall i = 1, \dots, N, \forall t = 1, \dots, T \]
\(I_{it}\) est le niveau d’inventaire de l’article \(i\) à la période \(t\).
\(I_{it-1}\) est le niveau d’inventaire de l’article \(i\) à la période précédente \(t-1\).
\(a_i\) est le taux de désassemblage de l’article \(i\).
\(X_t\) est la quantité désassemblée à la période \(t\).
\(d_{it}\) est la demande de l’article \(i\) à la période \(t\).
\[ X_t \leq M \cdot Y_t, \forall t = 1, \dots, T \]
\(X_t\) est la quantité désassemblée à la période \(t\).
\(M\) est un grand nombre arbitraire.
\(Y_t\) est une variable binaire indiquant si un setup a lieu à la période \(t\).