Inferencia sobre la matriz de covarianza

Tarea #8

1.Se tiene la matriz de datos: \[ X = \left( {\begin{array}{cc} {6} & {9} \\ {10} & {6} \\ {8} & {3} \\ \end{array} } \right) \] Usando el nivel de significancia α=0.01 , pruebe si es posible suponer que las variables son independientes.

#Datos
X <- matrix(c(6, 10, 8, 9, 6, 3), nrow = 3, byrow = F)
#Matriz de covarianza
cov_matrix <- cov(X)
cov_matrix

##      [,1] [,2]
## [1,]    4   -3
## [2,]   -3    9

is_diagonal <- all(cov_matrix[lower.tri(cov_matrix)] == 0 & cov_matrix[upper.tri(cov_matrix)] == 0)
is_diagonal

## [1] FALSE

No son independientes.

2. Se tiene la matriz de datos: \[ X = \left( {\begin{array}{cc} {2} & {12} \\ {8} & {9} \\ {6} & {9} \\ {8} & {10} \\ \end{array} } \right) \] Usando el nivel de significancia α=0.03 , pruebe si es posible suponer que las variables son independientes con igual matriz de covarianza (Esfericidad).

#Datos
X2 <- matrix(c(2, 8, 6, 8, 12, 9, 9, 10), nrow = 4, byrow = F)

#Matriz de covarianza
S <- cov(X)

p <- ncol(X)
sigma2_hat <- sum(diag(S)) / p
det_S <- det(S)
det_S

## [1] 27

n <- nrow(X)

#Calcular el estadistico λ^*
lambda_star <- (n - 1) * (log(sigma2_hat) - log(det_S))

#Grados de libertad
df <- 1/2 * (p + 2) * (p - 1)
alpha <- 0.03

#Valor critico de chi-cuadrado
critical_value <- qchisq(1 - alpha, df)
critical_value

## [1] 7.013116

#Comparar λ^* con el valor crítico
if (lambda_star >= critical_value) {
  result <- "Rechazar H0: Las variables no son esfericas"
} else {
  result <- "No se rechaza H0: Las variables son esfericas"
}

result

## [1] "No se rechaza H0: Las variables son esfericas"

3. Se analizó la transpiración de 10 mujeres saludables y 10 hombres. Se midieron tres componentes: x1

   tasa de sudoración, x2

   contenido de sodio y x3

   contenido de potasio. Los resultados se presentan continuación.

#Datos
mujeres <- data.frame(
  x1 = c(3.7, 5.7, 3.8, 3.2, 3.1, 4.6, 2.4, 7.2, 6.7, 5.4),
  x2 = c(48.5, 65.1, 47.2, 53.2, 55.5, 36.1, 24.8, 33.1, 47.4, 54.1),
  x3 = c(9.3, 8, 10.9, 12, 9.7, 7.9, 14, 7.6, 8.5, 11.3)
)

hombres <- data.frame(
  x1 = c(6.9, 6.5, 7.5, 8.5, 9.5, 8.5, 6.5, 6.5, 7.1, 9.5),
  x2 = c(66.9, 58.8, 47.8, 40.2, 43.5, 56.4, 71.6, 72.8, 64.1, 40.9),
  x3 = c(6.7, 5.3, 3.8, 2.4, 3.1, 7.1, 5.2, 3.9, 4.2, 3.4)
)

#Matrices de covarianza
S_mujeres <- cov(mujeres)
S_hombres <- cov(hombres)

p <- ncol(mujeres)
n <- nrow(mujeres)

#Matriz de covarianza combinada
S <- (S_mujeres + S_hombres) / 2

#Traza de S
traza_S <- sum(diag(S))

#σ^2 estimado
sigma2_hat <- traza_S / p

#Determinante de S
det_S <- det(S)

#Calculo de λ*
lambda_star <- (n - 1) * (log(sigma2_hat) - log(det_S))

#Grados de libertad
df <- (p + 2) * (p - 1) / 2

#Valor critico de chi-cuadrado para alpha = 0.1
alpha <- 0.1
chi_critical <- qchisq(1 - alpha, df)

#Resultado
if (lambda_star >= chi_critical) {
  resultado <- "Se rechaza H0: las matrices de covarianza no son iguales."
} else {
  resultado <- "No se rechaza H0: las matrices de covarianza son iguales."
}

lambda_star

## [1] -21.79271

chi_critical

## [1] 9.236357

resultado

## [1] "No se rechaza H0: las matrices de covarianza son iguales."