Tarea #7

  1. Se tiene la matriz de datos: \[ X = \left( {\begin{array}{cc} {6} & {9} \\ {10} & {6} \\ {8} & {3} \\ \end{array} } \right) \] Pruebe si el vector de medias muestrales igual al vector μ0=(9,5), usando el nivel de significancia α=0.01.
#Datos
X <- matrix(c(6, 10, 8, 9, 6, 3), ncol = 2, byrow = F)  
n <- nrow(X)
mu0 <- c(9, 5)  
alpha <- 0.01

#Calcular medias muestrales
x_bar <- colMeans(X)

#Matriz de covarianza muestral
S <- cov(X)

#Estadistico de prueba
T0 <- n * t(x_bar - mu0) %*% solve(S) %*% (x_bar - mu0)

#Grados de libertad
p <- length(mu0)
df <- p * (n - 1)

#Valor critico
Xc <- qchisq(1 - alpha, df)

cat("Estadístico de prueba T0:", T0, "\n")
## Estadístico de prueba T0: 0.7777778
cat("Valor crítico Xc:", Xc, "\n")
## Valor crítico Xc: 13.2767
if (T0 > Xc) {
  cat("Se rechaza la hipótesis nula.\n")
} else {
  cat("No se rechaza la hipótesis nula.\n")
}
## No se rechaza la hipótesis nula.
  1. Se tiene la matriz de datos: \[ X = \left( {\begin{array}{cc} {2} & {12} \\ {8} & {9} \\ {6} & {9} \\ {8} & {10} \\ \end{array} } \right) \] Pruebe si el vector de medias muestrales igual al vector μ0=(7,11), usando el nivel de significancia α=0.03.
#Datos
X <- matrix(c(2, 8, 6, 8, 1, 2, 9, 9, 10, 9), ncol = 2, byrow = F)  
n <- nrow(X)  
mu0 <- c(7, 11)  
alpha <- 0.03 

#Calcular medias muestrales
x_bar <- colMeans(X)

#Matriz de covarianza muestral
S <- cov(X)

#Estadistico de prueba
T0 <- n * t(x_bar - mu0) %*% solve(S) %*% (x_bar - mu0)

#Grados de libertad
p <- length(mu0)  
df <- p * (n - 1)

#Valor critico
Xc <- qchisq(1 - alpha, df)

cat("Estadístico de prueba T0:", T0, "\n")
## Estadístico de prueba T0: 4.812729
cat("Valor crítico Xc:", Xc, "\n")
## Valor crítico Xc: 17.01049
if (T0 > Xc) {
  cat("Se rechaza la hipótesis nula.\n")
} else {
  cat("No se rechaza la hipótesis nula.\n")
}
## No se rechaza la hipótesis nula.
  1. Se analizó la transpiración de 20 mujeres saludables. Se midieron tres componentes: x1
    tasa de sudoración, x2
    contenido de sodio y x3
    contenido de potasio, y los resultados, se presentan continuación. Pruebe si el vector de medias es igual a μ0=(4,50,10) , con un nivel de significancia α=0.03. 
#Datos
X <- matrix(c(3.7, 48.5, 9.3,
               5.7, 65.1, 8,
               3.8, 47.2, 10.9,
               3.2, 53.2, 12,
               3.1, 55.5, 9.7,
               4.6, 36.1, 7.9,
               2.4, 24.8, 14,
               7.2, 33.1, 7.6,
               6.7, 47.4, 8.5,
               5.4, 54.1, 11.3,
               3.9, 36.9, 12.7,
               4.5, 58.8, 12.3,
               3.5, 27.8, 9.8,
               4.5, 40.2, 8.4,
               1.5, 13.5, 10.1,
               8.5, 56.4, 7.1,
               4.5, 71.6, 8.2,
               6.5, 52.8, 10.9,
               4.1, 44.1, 11.2,
               5.5, 40.9, 9.4), ncol = 3, byrow = TRUE)

n <- nrow(X) 
mu0 <- c(4, 50, 10) 
alpha <- 0.03  

#Calcular medias muestrales
x_bar <- colMeans(X)

#Matriz de covarianza muestral
S <- cov(X)

#Estadistico de prueba
T0 <- n * t(x_bar - mu0) %*% solve(S) %*% (x_bar - mu0)

#Grados de libertad
p <- length(mu0) 
df <- p * (n - 1)

#Valor critico
Xc <- qchisq(1 - alpha, df)

cat("Estadístico de prueba T0:", T0, "\n")
## Estadístico de prueba T0: 9.738773
cat("Valor crítico Xc:", Xc, "\n")
## Valor crítico Xc: 78.70151
if (T0 > Xc) {
  cat("Se rechaza la hipótesis nula.\n")
} else {
  cat("No se rechaza la hipótesis nula.\n")
}
## No se rechaza la hipótesis nula.
  1. Tenemos una muestra de 15 mujeres y 12 hombres. En la tabla siguiente se presenta la media de los valores de las diferentes variables medidas.
#Datos de las medias
mu_mujeres <- c(168.78, 63.89, 38.98, 73.46, 45.85, 57.24, 43.09)
mu_hombres <- c(177.58, 74.25, 41.67, 77.75, 49.00, 58.00, 45.62)

#Matrices de covarianza
SM <- matrix(c(37.64, 22.10, 6.38, 15.65, 9.49, 2.75, 9.02,
               22.10, 80.47, 7.36, 12.94, 14.39, 7.20, 9.31,
               6.38, 7.36, 1.92, 3.06, 1.49, 0.76, 1.98,
               15.65, 12.94, 3.06, 7.41, 3.99, 1.17, 4.53,
               9.49, 14.39, 1.49, 3.99, 9.42, 2.55, 9.42,
               2.75, 7.20, 0.76, 1.17, 2.55, 91.12, 2.94,
               9.02, 9.31, 1.98, 4.53, 9.42, 2.94, 3.78), ncol = 7)

SH <- matrix(c(45.53, 48.84, 9.48, 14.34, 14.86, 9.45, 8.92,
               48.84, 74.20, 9.63, 19.34, 19.77, 9.05, 23.27,
               9.48, 9.63, 5.23, 2.79, 2.09, 3.23, 1.86,
               14.34, 19.34, 2.79, 3.23, 12.57, 6.18, 2.36,
               14.86, 19.77, 2.09, 12.57, 6.77, 3.02, 6.77,
               9.45, 9.05, 3.23, 6.18, 3.02, 1.84, 3.13,
               8.92, 23.27, 1.86, 2.36, 6.77, 3.13, 6.14), ncol = 7)

n1 <- 15  
n2 <- 12  
mu0 <- mu_hombres - mu_mujeres 
alpha <- 0.06  

#Calcular matriz de covarianza combinada (Sp)
Sp <- ((n1 - 1) * SM + (n2 - 1) * SH) / (n1 + n2 - 2)

#Estadistico de prueba T^2
T0 <- (n1 * n2) / (n1 + n2) * t(mu0) %*% solve(Sp) %*% mu0

#Grados de libertad
p <- length(mu_mujeres)  
df1 <- p
df2 <- n1 + n2 - p - 1

#Valor critico para la distribución F
F_crit <- qf(1 - alpha, df1, df2)

#Comparación del estadistico de prueba con el valor crítico
cat("Estadístico de prueba T^2:", T0, "\n")
## Estadístico de prueba T^2: 22.07207
cat("Valor crítico F:", F_crit, "\n")
## Valor crítico F: 2.414015
if (T0 > F_crit) {
  cat("Se rechaza la hipótesis nula. Existen diferencias detectables.\n")
} else {
  cat("No se rechaza la hipótesis nula. No hay diferencias detectables.\n")
}
## Se rechaza la hipótesis nula. Existen diferencias detectables.