Ejercicios:

  1. Se tiene la matriz de datos:

\[ X = \begin{pmatrix} 6 & 9 \\ 10 & 6 \\ 8 & 3 \end{pmatrix} \]

Usando el nivel de significancia α=0.01, pruebe si es posible suponer que las variables son independientes.

Declaración de Hipotesis: H0 : Σ = Σ0 Ha: Σ ≠ Σ0

α=0.01, supondremos que las variables son independientes

# Información del problema
n <- 3
p <- 2
x <- matrix(c(6,10,8,9,6,3), ncol=2, nrow=3)

# Matriz de covarianza muestral
S <- cov(x)

# Matriz de covarianza fija Σ0
Sigma0 <- matrix(c(4,0,0,9),ncol = 2)

#Calculamos el estadístico de prueba
 Propios <-eigen(S%*%solve(Sigma0))
 val_prop <- Propios$values
 val_prop
## [1] 1.5 0.5
 lambda_0 <--(n-1)*sum(log(val_prop))
 lambda_0
## [1] 0.5753641
 # Calculamos el valor crítico
 a <- 0.01
 gl<- (1/2)*p*(p-1)
 lambda_c <- qchisq(1-a,gl)
 lambda_c
## [1] 6.634897



Dado que λ0 ≤ λc, entonces no se rechaza H0. Es decir, con un 99% de confianza es posible suponer que las variables son independientes.

  1. Se tiene la matriz de datos:

\[ X = \begin{pmatrix} 2 & 12 \\ 8 & 9 \\ 6 & 9 \\ 8 & 10 \end{pmatrix} \] Usando el nivel de significancia α=0.03, pruebe si es posible suponer que las variables son independientes con igual matriz de covarianza (Esfericidad).



Declaración de Hipotesis: H0 : Σ = Σ0 Ha: Σ ≠ Σ0

α=0.03, haremos una prueba de esfericidad

# Información del problema
n <- 4
p <- 2
x <- matrix(c(2,8,6,8,12,9,9,10), ncol=2, nrow=4)

# Matriz de covarianza muestral
S <- cov(x)

#Calculamos el estadístico de prueba
 sigma_est <- sum(diag(S))/p
 lambda_0 <- (n-1)*(log(sigma_est)-log(det(S)))
 lambda_0
## [1] 0.06741857
 # Calculamos el valor crítico
  a <- 0.03
 gl<- (1/2)*(p+2)*(p-1)
 lambda_c <- qchisq(1-a,gl)
 lambda_c
## [1] 7.013116



Dado que λ0 ≤ λc, entonces no se rechaza H0. Es decir, con un 97% de confianza es posible suponer que las variables son independientes con igual matriz de covarianza (Esfericidad).

  1. Se analizó la transpiración de 10 mujeres saludables y 10 hombres. Se midieron tres componentes: x1:tasa de sudoración, x2:contenido de sodio y x3: contenido de potasio. Los resultados se presentan continuación.
Datos para Mujeres y Hombres
Mujer x1 x2 x3 Hombre x1 x2 x3
1 3.7 48.5 9.3 1 6.9 66.9 6.7
2 5.7 65.1 8.0 2 6.5 58.8 5.3
3 3.8 47.2 10.9 3 7.5 47.8 3.8
4 3.2 53.2 12.0 4 8.5 40.2 2.4
5 3.1 55.5 9.7 5 9.5 43.5 3.1
6 4.6 36.1 7.9 6 8.5 56.4 7.1
7 2.4 24.8 14.0 7 6.5 71.6 5.2
8 7.2 33.1 7.6 8 6.5 72.8 3.8
9 6.7 47.4 8.5 9 7.1 64.1 4.2
10 5.4 54.1 11.3 10 9.5 40.9 3.4



Usando el nivel de significancia α=0.1, pruebe si es posible suponer que la matriz de covarianza para hombres y mujeres es la misma.

Declaración de Hipotesis:

H0 : Σ1 = Σ2 Ha: Σ1 ≠ Σ2

α=0.01

 # Información del problema
p <- 3; q <- 2
n1 <- 10; n2 <- 10;  N <- n1+n2
v1 <- n1-1; v2 <- n2-1; v <- N-q

datos1 <- matrix(c(3.7,5.7,3.8,3.2,3.1,4.6,2.4,7.2,6.7,5.4,48.5,65.1,47.2,53.2,55.5,36.1,24.8,33.1,47.4,54.1,9.3,8,10.9,12,9.7,7.9,14,7.6,8.5,11.3),ncol = 3, nrow= 10)

datos2 <- matrix(c(6.9,6.5,7.5,8.5,9.5,8.5,6.5,6.5,7.1,9.5,66.9,58.8,47.8,40.2,43.5,56.4,71.6,72.8,64.1,40.9,6.7,5.3,3.8,2.4,3.1,7.1,5.2,3.9,4.2,3.4),ncol = 3, nrow= 10)

# Matriz de covarianza muestral
S1 <- cov(datos1)
S2 <- cov(datos2)

# Matriz de la covarianza comun
Sp<- (1/v)*(v1*S1+v2*S2)
Sp
##           [,1]       [,2]      [,3]
## [1,]  2.035333  -5.560556 -1.579222
## [2,] -5.560556 150.654444  2.618333
## [3,] -1.579222   2.618333  3.371389
# lambda
lambda <-v*log(det(Sp))-(v1*log(det(S1))+v2*log(det(S2)))
round(lambda,2)
## [1] 13.97
# rho
rho <- 1-((2*p^2+3*p-1)/(6*(p+1)*(q-1)))*((1/v1)+(1/v2)-(1/v))
 round(rho,2)
## [1] 0.82
# Calculamos ahora el estadístico de prueba
 phi_0 <- lambda*rho
 round(phi_0,2)
## [1] 11.45
 # Calculamos el valor crítico
 a <- 0.01
 gl <- (1/2)*p*(p+1)*(q-1)
 phi_c <- qchisq(1-a,gl)
 round(phi_c,2)
## [1] 16.81



Dado que λ0 ≤ λc, entonces no se rechaza H0. Es decir, con un 99% de confianza podemos decir que no hay suficientente evidencia para concluir que que las matrices de covarianza para hombres y mujeres no son las mismas.