\[ X = \begin{pmatrix} 6 & 9 \\ 10 & 6 \\ 8 & 3 \end{pmatrix} \]
Usando el nivel de significancia α=0.01, pruebe si es posible suponer que las variables son independientes.
Declaración de Hipotesis: H0 : Σ = Σ0 Ha: Σ ≠ Σ0
α=0.01, supondremos que las variables son independientes
# Información del problema
n <- 3
p <- 2
x <- matrix(c(6,10,8,9,6,3), ncol=2, nrow=3)
# Matriz de covarianza muestral
S <- cov(x)
# Matriz de covarianza fija Σ0
Sigma0 <- matrix(c(4,0,0,9),ncol = 2)
#Calculamos el estadístico de prueba
Propios <-eigen(S%*%solve(Sigma0))
val_prop <- Propios$values
val_prop## [1] 1.5 0.5 lambda_0 <--(n-1)*sum(log(val_prop))
lambda_0## [1] 0.5753641 # Calculamos el valor crítico
a <- 0.01
gl<- (1/2)*p*(p-1)
lambda_c <- qchisq(1-a,gl)
lambda_c## [1] 6.634897
Dado que λ0 ≤ λc, entonces no se rechaza H0. Es decir, con
un 99% de confianza es posible suponer que las variables son
independientes.
\[ X = \begin{pmatrix} 2 & 12 \\ 8 & 9 \\ 6 & 9 \\ 8 & 10 \end{pmatrix} \] Usando el nivel de significancia α=0.03, pruebe si es posible suponer que las variables son independientes con igual matriz de covarianza (Esfericidad).
Declaración de Hipotesis: H0 : Σ = Σ0 Ha: Σ
≠ Σ0
α=0.03, haremos una prueba de esfericidad
# Información del problema
n <- 4
p <- 2
x <- matrix(c(2,8,6,8,12,9,9,10), ncol=2, nrow=4)
# Matriz de covarianza muestral
S <- cov(x)
#Calculamos el estadístico de prueba
sigma_est <- sum(diag(S))/p
lambda_0 <- (n-1)*(log(sigma_est)-log(det(S)))
lambda_0## [1] 0.06741857 # Calculamos el valor crítico
a <- 0.03
gl<- (1/2)*(p+2)*(p-1)
lambda_c <- qchisq(1-a,gl)
lambda_c## [1] 7.013116
Dado que λ0 ≤ λc, entonces no se rechaza H0. Es decir, con
un 97% de confianza es posible suponer que las variables son
independientes con igual matriz de covarianza (Esfericidad).
| Mujer | x1 | x2 | x3 | Hombre | x1 | x2 | x3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 3.7 | 48.5 | 9.3 | 1 | 6.9 | 66.9 | 6.7 |
| 2 | 5.7 | 65.1 | 8.0 | 2 | 6.5 | 58.8 | 5.3 |
| 3 | 3.8 | 47.2 | 10.9 | 3 | 7.5 | 47.8 | 3.8 |
| 4 | 3.2 | 53.2 | 12.0 | 4 | 8.5 | 40.2 | 2.4 |
| 5 | 3.1 | 55.5 | 9.7 | 5 | 9.5 | 43.5 | 3.1 |
| 6 | 4.6 | 36.1 | 7.9 | 6 | 8.5 | 56.4 | 7.1 |
| 7 | 2.4 | 24.8 | 14.0 | 7 | 6.5 | 71.6 | 5.2 |
| 8 | 7.2 | 33.1 | 7.6 | 8 | 6.5 | 72.8 | 3.8 |
| 9 | 6.7 | 47.4 | 8.5 | 9 | 7.1 | 64.1 | 4.2 |
| 10 | 5.4 | 54.1 | 11.3 | 10 | 9.5 | 40.9 | 3.4 |
Usando el nivel de significancia α=0.1, pruebe si es posible
suponer que la matriz de covarianza para hombres y mujeres es la misma.
Declaración de Hipotesis:
H0 : Σ1 = Σ2 Ha: Σ1 ≠ Σ2
α=0.01
# Información del problema
p <- 3; q <- 2
n1 <- 10; n2 <- 10; N <- n1+n2
v1 <- n1-1; v2 <- n2-1; v <- N-q
datos1 <- matrix(c(3.7,5.7,3.8,3.2,3.1,4.6,2.4,7.2,6.7,5.4,48.5,65.1,47.2,53.2,55.5,36.1,24.8,33.1,47.4,54.1,9.3,8,10.9,12,9.7,7.9,14,7.6,8.5,11.3),ncol = 3, nrow= 10)
datos2 <- matrix(c(6.9,6.5,7.5,8.5,9.5,8.5,6.5,6.5,7.1,9.5,66.9,58.8,47.8,40.2,43.5,56.4,71.6,72.8,64.1,40.9,6.7,5.3,3.8,2.4,3.1,7.1,5.2,3.9,4.2,3.4),ncol = 3, nrow= 10)
# Matriz de covarianza muestral
S1 <- cov(datos1)
S2 <- cov(datos2)
# Matriz de la covarianza comun
Sp<- (1/v)*(v1*S1+v2*S2)
Sp## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 2.035333 -5.560556 -1.579222
## [2,] -5.560556 150.654444 2.618333
## [3,] -1.579222 2.618333 3.371389# lambda
lambda <-v*log(det(Sp))-(v1*log(det(S1))+v2*log(det(S2)))
round(lambda,2)## [1] 13.97# rho
rho <- 1-((2*p^2+3*p-1)/(6*(p+1)*(q-1)))*((1/v1)+(1/v2)-(1/v))
round(rho,2)## [1] 0.82# Calculamos ahora el estadístico de prueba
phi_0 <- lambda*rho
round(phi_0,2)## [1] 11.45 # Calculamos el valor crítico
a <- 0.01
gl <- (1/2)*p*(p+1)*(q-1)
phi_c <- qchisq(1-a,gl)
round(phi_c,2)## [1] 16.81
Dado que λ0 ≤ λc, entonces no se rechaza H0. Es decir, con
un 99% de confianza podemos decir que no hay suficientente evidencia
para concluir que que las matrices de covarianza para hombres y mujeres
no son las mismas.