\[
X = \begin{pmatrix}
6 & 9 \\
10 & 6 \\
8 & 3
\end{pmatrix}
\] Pruebe si el vector de medias muestral es igual al vector µ0 =
(9,5), usando el nivel de significancia α=0.01.
Declaración de Hipotesis:
H0:𝜇 = (9,5) = 𝜇0
Ha:𝜇≠ 𝜇0
# Información del problema
n <- 3
p <- 2
x <- matrix(c(6,10,8,9,6,3), ncol=2, nrow=3)
# Vector de medias específico a probar
mu0 <- as.vector(c(9,5))
# Vector de medias muestral
xbar <- apply(x,2,mean)
# Matriz de covarianza muestral
S <- cov(x)
#Calculamos el estadístico de prueba:
T0 <- n*t((xbar-mu0)) %*% solve(S) %*% (xbar-mu0)
F0 <- ((n-p)/(p*(n-1)))*T0
round(F0,2)## [,1]
## [1,] 0.19#Calculamos el valor crítico:
a <- 0.01
Fc <- qf(1-a,p,n-p)
round(Fc,2)## [1] 4999.5Conclusión: Dado que Fc ≥ F0 no rehazamos la hipotesis nula. Es decir, no hay sufienciente efidencia para decir que el vector de medias muestral es diferente de (9,5).
\[
X = \begin{pmatrix}
2 & 12 \\
8 & 9 \\
6 & 9 \\
8 & 10
\end{pmatrix}
\] Pruebe si el vector de medias muestral es igual al vector µ0 =
(7,11), usando el nivel de significancia α=0.03.
Declaración de Hipotesis:
H0:𝜇 = (7,11) = 𝜇0
Ha:𝜇≠ 𝜇0
# Información del problema
n <- 4
p <- 2
x <- matrix(c(2,8,6,8,12,9,9,10), ncol=2, nrow=4)
# Vector de medias específico a probar
mu0 <- as.vector(c(7,11))
# Vector de medias muestral
xbar <- apply(x,2,mean)
# Matriz de covarianza muestral
S <- cov(x)
#Calculamos el estadístico de prueba:
T0 <- n*t((xbar-mu0)) %*% solve(S) %*% (xbar-mu0)
F0 <- ((n-p)/(p*(n-1)))*T0
round(F0,2)## [,1]
## [1,] 4.55#Calculamos el valor crítico:
a <- 0.03
Fc <- qf(1-a,p,n-p)
round(Fc,2)## [1] 32.33
Conclusión: Dado que Fc ≥ F0 no rehazamos
la hipotesis nula. Es decir, no hay sufienciente efidencia para decir
que el vector de medias muestral es diferente de (7,11)
3. Se analizó la transpiración de 20 mujeres saludables.Se
midieron tres componentes: x1: tasa de sudoración, x2: contenido de
sodio y x3: contenido de potasio, y los resultados, se presentan
continuación.
| Individuo | x1 | x2 | x3 |
|---|---|---|---|
| 1 | 3.7 | 48.5 | 9.3 |
| 2 | 5.7 | 65.1 | 8.0 |
| 3 | 3.8 | 47.2 | 10.9 |
| 4 | 3.2 | 53.2 | 12.0 |
| 5 | 3.1 | 55.5 | 9.7 |
| 6 | 4.6 | 36.1 | 7.9 |
| 7 | 2.4 | 24.8 | 14.0 |
| 8 | 7.2 | 33.1 | 7.6 |
| 9 | 6.7 | 47.4 | 8.5 |
| 10 | 5.4 | 54.1 | 11.3 |
| 11 | 3.9 | 36.9 | 12.7 |
| 12 | 4.5 | 58.8 | 12.3 |
| 13 | 3.5 | 27.8 | 9.8 |
| 14 | 4.5 | 40.2 | 8.4 |
| 15 | 1.5 | 13.5 | 10.1 |
| 16 | 8.5 | 56.4 | 7.1 |
| 17 | 4.5 | 71.6 | 8.2 |
| 18 | 6.5 | 52.8 | 10.9 |
| 19 | 4.1 | 44.1 | 11.2 |
| 20 | 5.5 | 40.9 | 9.4 |
Pruebe si el vector de medias es igual a µ0 = (4,50,10), con un nivel
de significancia α=0.03.
Declaración de Hipotesis:
H0:𝜇 = (4,50,10) = 𝜇0
Ha:𝜇≠ 𝜇0
#Información del problema
n <-20
x1 <-c(3.7,5.7,3.8,3.2,3.1,4.6,2.4,7.2,6.7,5.4,3.9,4.5,3.5,4.5,1.5,8.5,4.5,6.5,4.1,5.5)
x2 <-c(48.5,65.1,47.2,53.2,55.5,36.1,24.8,33.1,47.4,54.1,36.9,58.8,27.8,40.2,13.5,56.4,71.6,52.8,44.1,40.9)
x3 <- c(9.3,8,10.9,12,9.7,7.9,14,7.6,8.5,11.3,12.7,12.3,9.8,8.4,10.1,7.1,8.2,10.9,11.2,9.4)
#Datos
data<-cbind(x1,x2,x3)
p <- ncol(data)
# Vector de medias específico a probar
mu0 <- as.vector(c(4,50,10))
# Vector de medias muestral
xbar <- colMeans(data)
# Matriz de covarianza muestral
S <- cov(data)
#Calculamos el estadístico de prueba:
T0 <- n*t((xbar-mu0)) %*% solve(S) %*% (xbar-mu0)
F0 <- ((n-p)/(p*(n-1)))*T0
round(F0,2)## [,1]
## [1,] 2.9#Calculamos el valor crítico:
a <- 0.03
Fc <- qf(1-a,p,n-p)
round(Fc,2)## [1] 3.79
Conclusión: Dado que Fc ≥ F0 no rehazamos
la hipotesis nula. Es decir, no hay sufienciente efidencia para decir
que el vector de medias es diferente de (4,50,10)
4. Tenemos una muestra de 15 mujeres y 12 hombres. En la
tabla siguiente se presenta la media de los valores de las diferentes
variables medidas.
| Total | Est | Pes | Pie | Lbr | Aes | Dcr | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Mujeres | 168.78 | 63.89 | 38.98 | 73.46 | 45.85 | 57.24 | 43.09 |
| Hombres | 177.58 | 74.25 | 41.67 | 77.75 | 49.00 | 58.00 | 45.62 |
Las matrices de covarianza son:
SM = \[\begin{pmatrix} 37.64 & &&&&&& \\ 22.10 & 80.4 &&&&& \\ 6.38 & 7.36 & 1.92 \\ 15.65 & 12.94& 3.06 & 7.41 \\ 9.49 &14.39 &1.49& 3.99& 9.42 \\ 2.75 & 7.20 & 0.76 & 1.17 & 2.559 & 2.94\\ 9.02 & 9.31 &1.98 &4.53 &1.12 &0.95 & 3.78 \end{pmatrix}\] SH = \[\begin{pmatrix} 45.53 && &&&&& \\ 48.84& 74.20 \\ 9.48& 9.63& 2.79 \\ 14.34 &19.34& 2.09& 12.57 \\ 14.86& 19.77& 3.23& 6.18& 6.77\\ 9.45 &9.90& 1.86& 2.36& 3.02& 3.13\\ 8.92& 5.23& 2.31& 1.21& 1.84& 2.63& 6.14\\ \end{pmatrix}\]Pruebe si existen diferencias detectables entre las dos muestras, con un nivel de significancia α = 0.06.
Declaración de Hipotesis:
H0: 𝜇 mujeres = 𝜇 hombres
Ha: 𝜇 mujeres≠ 𝜇hombres
# Informacion del ejercicio
n1 <- 15
n2 <- 12
p <- 7
#Vectores de medias muestrales
xbar1 <-as.vector(c(168.78,63.89,39.98,73.46,45.85,57.24,43.09))
xbar2 <-as.vector(c(177.58,74.25,41.67,77.75,49.00,58.00,45.62))
#Matrices de covarianza muestrales
S1 <-matrix(c(37.64, 22.10, 6.38, 15.65, 9.49, 2.75, 9.02,
22.10,80.4, 7.36, 12.94, 14.39, 7.20, 9.31,
6.38,7.36,1.92,3.06,1.49,0.76,1.98,
15.65,12.94,3.06,7.41,3.99,1.17,4.63,
9.49,14.39,1.49,3.99,9.42,2.559,1.12,
2.75,7.20,0.76,1.17,2.559,2.94,0.95,
9.02,9.31,1.98,4.53,1.12,6.95,3.78), nrow=7,byrow=TRUE)
S2 <-matrix(c(45.53, 48.84, 9.48, 14.34, 14.86, 9.45, 8.92,
48.84,74.20, 9.63, 19.34, 19.77, 9.90, 5.23,
9.48, 9.63,2.79, 2.09, 3.23, 1.86,2.31,
14.34,19.34,2.09,12.57,6.18,2.36,1.21,
14.86,19.77,3.23,6.18,6.77,3.02,1.84,
9.45,9.90,1.86,2.36,3.02,3.13,2.63,
8.92,5.23,2.31,1.21,1.84,2.63,6.14), nrow=7, byrow=TRUE)
#Calculamos la matriz de covarianza conjunta
Sp <-((n1-1)*S1+ (n2-1)*S2)/(n1+n2-2)
#Estadistico de prueba
dif <-xbar1-xbar2
T0 <-((n1*n2)/(n1+n2))*t(dif)%*%solve(Sp)%*%dif
T0## [,1]
## [1,] 27.97848F0 <-((n1+n2-2-p)/(p*(n1+n2-2-1)))*T0
round(F0,2)## [,1]
## [1,] 3#Valorcrítico:
a <-0.06
Fc <-qf(1-a,p,(n1+n2-2-p))
round(Fc,2)## [1] 2.44
Conclusión: Dado que F0 ≥ Fc rehazamos la
hipotesis nula. Es decir, hay evidencia para concluir que existen
diferencias significativas entre las medias de las dos muestras.