Ejemplo 1

Información del problema

n        <- 3
p        <- 2

Datos

Datos <- matrix(c(6,9,10,6,8,3),nrow=3,byrow=T)
Datos
##      [,1] [,2]
## [1,]    6    9
## [2,]   10    6
## [3,]    8    3

Matriz de covarianza muestral

S <- cov(Datos)
S
##      [,1] [,2]
## [1,]    4   -3
## [2,]   -3    9

Calculamos el estadístico de prueba

# Matriz de covarianza fija
Sigma0     <- matrix(c(4,0,0,9),ncol=2)
Sigma0
##      [,1] [,2]
## [1,]    4    0
## [2,]    0    9
# Calculamos el estadístico de prueba
Propios    <- eigen(S%*%solve(Sigma0))
val_prop   <- Propios$values
val_prop 
## [1] 1.5 0.5
lambda_0   <- -(n-1)*sum(log(val_prop))
lambda_0 
## [1] 0.5753641

Calculamos el valor crítico

a          <-  0.01
gl         <- (1/2)*p*(p-1)
lambda_c   <- qchisq(1-a,gl)
lambda_c
## [1] 6.634897

Conclusion

NO rechazamos hipotesis, por lo que en efecto, confirmamos con un 99% de confianza que las variables son independiente

Ejemplo 2

Información del problema

n2        <- 4
p2        <- 2

Datos

Datos2 <- matrix(c(2,12,8,9,6,9,8,10),nrow=4,byro=T)
Datos2
##      [,1] [,2]
## [1,]    2   12
## [2,]    8    9
## [3,]    6    9
## [4,]    8   10

Matriz de covarianza muestral

S2 <- cov(Datos2)
S2
##           [,1]      [,2]
## [1,]  8.000000 -3.333333
## [2,] -3.333333  2.000000

Calculamos el estadístico de prueba

sigma_est2  <- sum(diag(S2))/p2
lambda_02   <- (n2-1)*(log(sigma_est2)-log(det(S2)))
lambda_02
## [1] 0.06741857

Calculamos el valor critico

a2          <-  0.03
gl2         <- (1/2)*(p2+2)*(p2-1)
lambda_c2   <- qchisq(1-a2,gl2)
lambda_c2
## [1] 7.013116

Conclusion

NO rechazamos hipotesis, con un 97% de confianza confirmamos que las variables son independientes con igual matriz de covarianza (Esfericidad).

Ejemplo 3

Información del problema

p3 <- 3; q3 <- 2
na <- 10; nb <- 10; N <- na+nb
v1 <- na-1; v2 <- nb-1; v <- N-q3

Datos

Datos3a <- matrix(c(3.7,48.5,9.3,5.7,65.1,8,3.8,47.2,10.9,3.2,53.2,12,3.1,55.5,9.7,4.6,36.1,7.9,2.4,    24.8,14,7.2,33.1,7.6,6.7,47.4,8.5,5.4,54.1,11.3),nrow=10,byrow=T)
Datos3a
##       [,1] [,2] [,3]
##  [1,]  3.7 48.5  9.3
##  [2,]  5.7 65.1  8.0
##  [3,]  3.8 47.2 10.9
##  [4,]  3.2 53.2 12.0
##  [5,]  3.1 55.5  9.7
##  [6,]  4.6 36.1  7.9
##  [7,]  2.4 24.8 14.0
##  [8,]  7.2 33.1  7.6
##  [9,]  6.7 47.4  8.5
## [10,]  5.4 54.1 11.3
Datos3b <- matrix(c(6.9,66.9,6.7,6.5,58.8,5.3,7.5,  47.8,3.8,8.5,40.2,2.4,9.5,43.5,3.1,8.5,56.4,7.1,6.5,71.6,5.2,6.5,72.8,3.9,7.1,64.1,4.2,9.5,40.9,3.4),nrow=10,byrow=T)
Datos3b
##       [,1] [,2] [,3]
##  [1,]  6.9 66.9  6.7
##  [2,]  6.5 58.8  5.3
##  [3,]  7.5 47.8  3.8
##  [4,]  8.5 40.2  2.4
##  [5,]  9.5 43.5  3.1
##  [6,]  8.5 56.4  7.1
##  [7,]  6.5 71.6  5.2
##  [8,]  6.5 72.8  3.9
##  [9,]  7.1 64.1  4.2
## [10,]  9.5 40.9  3.4

Matriz de covarianza muestral

Sa <- cov(Datos3a)
Sa
##           [,1]       [,2]      [,3]
## [1,]  2.612889   1.787778 -2.422889
## [2,]  1.787778 143.724444 -5.726667
## [3,] -2.422889  -5.726667  4.381778
Sb <- cov(Datos3b)
Sb
##             [,1]      [,2]       [,3]
## [1,]   1.4577778 -12.90889 -0.7355556
## [2,] -12.9088889 157.58444 10.9633333
## [3,]  -0.7355556  10.96333  2.3610000

Calculamos los valores necesarios para conseguir el estadístico de prueba

Sp     <- (1/v)*(v1*Sa+v2*Sb)
Sp
##           [,1]       [,2]      [,3]
## [1,]  2.035333  -5.560556 -1.579222
## [2,] -5.560556 150.654444  2.618333
## [3,] -1.579222   2.618333  3.371389
lambda3 <-  v*log(det(Sp))-(v1*log(det(Sa))+v2*log(det(Sb)))
round(lambda3,2)
## [1] 13.97
rho    <- 1-((2*p3^2+3*p3-1)/(6*(p3+1)))*(((1/v1)+(1/v2))-(1/v))
round
## function (x, digits = 0)  .Primitive("round")
rho
## [1] 0.8194444

Calculamos ahora el estadístico de prueba

phi_0  <- lambda3*rho 
round(phi_0,2)
## [1] 11.45

Calculamos el valor crítico

a3          <-  0.01
gl3         <- (1/2)*p3*(p3+1)*(q3-1)
phi_c3      <- qchisq(1-a3,gl3)
round(phi_c3,2)
## [1] 16.81

Conclusion

No rechazamos hipotesis nula, afirmamos con un 99% de confianza que la matriz de covarianza de ambas poblaciones, hombres y mujeres es similar.