Ejercicio 1

H0= las variables son independientes Ha: Las variables no son independientes

# Información del problema
n        <- 3
p        <- 2
# Matriz de covarianza muestral
X <- matrix(c(6,10,8,9,6,3),ncol=2)
X
##      [,1] [,2]
## [1,]    6    9
## [2,]   10    6
## [3,]    8    3
S <- cov(X)
S
##      [,1] [,2]
## [1,]    4   -3
## [2,]   -3    9
# Matriz de covarianza fija
Sigma0     <- matrix(c(4,0,0,9),ncol=2)
# Calculamos el estadístico de prueba
Propios    <- eigen(S%*%solve(Sigma0))
val_prop   <- Propios$values
val_prop 
## [1] 1.5 0.5
lambda_0   <- -(n-1)*sum(log(val_prop))
lambda_0 
## [1] 0.5753641
# Calculamos el valor crítico
a          <-  0.01
gl         <- (1/2)*p*(p-1)
lambda_c   <- qchisq(1-a,gl)
lambda_c
## [1] 6.634897

Como lambdac > lambda0 no rechazamos, es decir, con un 99% de confianza concluimos que no existe evidencia significativa para decir que no son independientes.

Ejercicio 2

H0= Las variables son independientes con igual convarianza Ha: Las variables no son indpendientes y las covarianzas son diferentes

# Información del problema
n        <- 4
p        <- 2
# Matriz de covarianza muestral
x <- matrix(c(2,8,6,8,12,9,9,10),ncol=2)
x
##      [,1] [,2]
## [1,]    2   12
## [2,]    8    9
## [3,]    6    9
## [4,]    8   10
S <- cov(x)
S
##           [,1]      [,2]
## [1,]  8.000000 -3.333333
## [2,] -3.333333  2.000000
# Calculamos el estadístico de prueba
sigma_est  <- sum(diag(S))/p
lambda_0   <- (n-1)*(log(sigma_est)-log(det(S)))
lambda_0 
## [1] 0.06741857
# Calculamos el valor crítico
a          <-  0.03
gl         <- (1/2)*(p+2)*(p-1)
lambda_c   <- qchisq(1-a,gl)
lambda_c
## [1] 7.013116

Como LambdaC > lambda0, no rechazamos por ende podemos concluir que son independientes y a la vez, tienen covarianzas iguales.

Ejercicio 3

\[H_0: \Sigma_1= \Sigma_2\] Ha: MAtriz de covarianza 1 no es igual a la matriz de covarianza 2

# Información del problema
p <- 3; q <- 2
n1 <- 10; n2 <- 10; N <- n1+n2
v1 <- n1-1; v2 <- n2-1; v <- N-q

Datos1 <- matrix(c(3.7,5.7,3.8,3.2,3.1,4.6,2.4,7.2,6.7,5.4,48.5,65.1,47.2,53.2,55.5,36.1,24.8,33.1,47.4,54.1,9.3,8,10.9,12,9.7,7.9,14,7.6,8.5,11.3),ncol=3)
Datos1
##       [,1] [,2] [,3]
##  [1,]  3.7 48.5  9.3
##  [2,]  5.7 65.1  8.0
##  [3,]  3.8 47.2 10.9
##  [4,]  3.2 53.2 12.0
##  [5,]  3.1 55.5  9.7
##  [6,]  4.6 36.1  7.9
##  [7,]  2.4 24.8 14.0
##  [8,]  7.2 33.1  7.6
##  [9,]  6.7 47.4  8.5
## [10,]  5.4 54.1 11.3
Datos2 <- matrix(c(6.9,6.5,7.5,8.5,9.5,8.5,6.5,6.5,7.1,9.5,66.9,58.8,47.8,40.2,43.5,56.4,71.6,72.8,64.1,40.9,6.7,5.3,3.8,2.4,3.1,7.1,5.2,3.9,4.2,3.4),ncol=3)
Datos2 
##       [,1] [,2] [,3]
##  [1,]  6.9 66.9  6.7
##  [2,]  6.5 58.8  5.3
##  [3,]  7.5 47.8  3.8
##  [4,]  8.5 40.2  2.4
##  [5,]  9.5 43.5  3.1
##  [6,]  8.5 56.4  7.1
##  [7,]  6.5 71.6  5.2
##  [8,]  6.5 72.8  3.9
##  [9,]  7.1 64.1  4.2
## [10,]  9.5 40.9  3.4
s1 <- cov(Datos1)
s1
##           [,1]       [,2]      [,3]
## [1,]  2.612889   1.787778 -2.422889
## [2,]  1.787778 143.724444 -5.726667
## [3,] -2.422889  -5.726667  4.381778
s2 <- cov(Datos2)
s2
##             [,1]      [,2]       [,3]
## [1,]   1.4577778 -12.90889 -0.7355556
## [2,] -12.9088889 157.58444 10.9633333
## [3,]  -0.7355556  10.96333  2.3610000
#Calculamos los valores necesarios para conseguir el estadístico de prueba

# Sp
Sp     <-(1/v)*(v1*s1+v2*s2)
Sp
##           [,1]       [,2]      [,3]
## [1,]  2.035333  -5.560556 -1.579222
## [2,] -5.560556 150.654444  2.618333
## [3,] -1.579222   2.618333  3.371389
# lambda*
lambda <-  v*log(det(Sp))-(v1*log(det(s1))+v2*log(det(s2)))
round(lambda,2)
## [1] 13.97
# rho
rho    <- 1-((2*p^2+3*p-1)/(6*(p+1)))*(((1/v1)+(1/v2)-(1/v)))
round(rho,2)
## [1] 0.82
# Calculamos ahora el estadístico de prueba
phi_0  <- lambda*rho 
round(phi_0,2)
## [1] 11.45
# Calculamos el valor crítico
a          <-  0.01
gl         <- (1/2)*p*(p+1)*(q-1)
phi_c      <- qchisq(1-a,gl)
round(phi_c,2)
## [1] 16.81

Como lambdaC > lambda0 no rechazamos H0, por ende concluimos que \[ \Sigma_1= \Sigma_2\]