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EJERCICIO 1:

# Información del problema
n        <- 3
p        <- 2
p1<- 1
p2<- 1
# Matriz de covarianza muestral
x <- matrix(c(6,10,8,9,6,3),ncol=2)
S<- cov(x)
S

##      [,1] [,2]
## [1,]    4   -3
## [2,]   -3    9

# Calculamos el estadístico de prueba
sigma_est  <- sum(diag(S))/p
lambda_0   <- (n-1)*(log(sigma_est)-log(det(S)))
lambda_0 

## [1] -2.848069

# Calculamos el valor crítico
a          <-  0.01
gl         <- (1/2)*(p+2)*(p-1)
lambda_c   <- qchisq(1-a,gl)
lambda_c

## [1] 9.21034

# Construcción de matriz para los valores propios
Propios  <- eigen(S)
val_prop <- Propios$values
# rho
rho    <- 1-((1+p2+3)/(2*n))
round(rho,2)

## [1] 0.17

# Calculamos ahora el estadístico de prueba
phi_0  <- -2*rho*lambda_c
round(phi_0,2)

## [1] -3.07

# Calculamos el valor crítico
a          <- 0.01
gl         <- p1*p2
phi_c      <- qchisq(1-a,gl)
round(phi_c,2)

## [1] 6.63

## No se rechaza ya que el valor critico es mayor que el estadistico. Con el 99% de confianza se concluye que existe alguna clase de dependencia entre estas variables

EJERCICIO 2:

# Información del problema
n        <- 4
p        <- 2
p1<- 1
p2<- 1
# Matriz de covarianza muestral
x <- matrix(c(2,8,6,8,12,9,9,10),ncol=2)
S<- cov(x)
S

##           [,1]      [,2]
## [1,]  8.000000 -3.333333
## [2,] -3.333333  2.000000

# Calculamos el estadístico de prueba
sigma_est  <- sum(diag(S))/p
lambda_0   <- (n-1)*(log(sigma_est)-log(det(S)))
lambda_0 

## [1] 0.06741857

# Calculamos el valor crítico
a          <-  0.03
gl         <- (1/2)*(p+2)*(p-1)
lambda_c   <- qchisq(1-a,gl)
lambda_c

## [1] 7.013116

# Construcción de matriz para los valores propios
Propios  <- eigen(S)
val_prop <- Propios$values
# rho
rho    <- 1-((1+p2+3)/(2*n))
round(rho,2)

## [1] 0.38

# Calculamos ahora el estadístico de prueba
phi_0  <- -2*rho*lambda_c
round(phi_0,2)

## [1] -5.26

# Calculamos el valor crítico
a          <- 0.01
gl         <- p1*p2
phi_c      <- qchisq(1-a,gl)
round(phi_c,2)

## [1] 6.63

## No se rechaza la hipotesis nula ya que el valor critico es mayor que el estadistico, es decir que las variables son independientes con igual matriz de covarianza (Esfericidad).

EJERCICIO 3:

# Información del problema
p<- 3
q<- 2
n1<- 10
n2<- 10
N<- n1+n2
v1 <- n1-1
v2 <- n2-1
v<- N-q
s1 <- matrix(c(3.7,5.7,3.8,3.2,3.1,4.6,2.4,7.2,6.7,5.4,48.5,65.1,47.2,53.2,55.5,36.1,24.8,33.1,47.4,54.1,9.3,8,10.9,12,9.7,7.9,14,7.6,8.5,11.3),ncol=3)
s2 <- matrix(c(6.9,6.5,7.5,8.5,9.5,8.5,6.5,6.5,7.1,9.5,66.9,58.8,47.8,40.2,43.5,56.4,71.6,72.8,64.1,40.9,6.7,5.3,3.8,2.4,3.1,7.1,5.2,3.9,4.2,3.4),ncol=3)
S1<- cov(s1)
S2<- cov(s2)
a<- 0.01
# Sp
Sp     <- (1/v)*(v1*S1+v2*S2)
Sp

##           [,1]       [,2]      [,3]
## [1,]  2.035333  -5.560556 -1.579222
## [2,] -5.560556 150.654444  2.618333
## [3,] -1.579222   2.618333  3.371389

# lambda*
lambda <-  v*log(det(Sp))-(v1*log(det(S1))+v2*log(det(S2)))
round(lambda,2)

## [1] 13.97

# rho
rho    <- 1-((2*p^2+3*p-1)/(6*(p+1)*(q-1)))*(((1/v1)+(1/v2)-(1/v)))
round(rho,2)

## [1] 0.82

# Calculamos ahora el estadístico de prueba
phi_0  <- lambda*rho 
round(phi_0,2)

## [1] 11.45

# Calculamos el valor crítico
a          <-  0.01
gl         <- (1/2)*p*(p+1)*(q-1)
phi_c      <- qchisq(1-a,gl)
round(phi_c,2)

## [1] 16.81

### No se rechaza ya que el valor critico es mayor que el valor estadistico, es decir que se puede suponer que la matriz de covarianza para hombres y mujeres es la misma con un 99% de confianza.