EJERCICIO 1:

# Información del problema
n        <- 3
p        <- 2
# Vector de medias específico a probar
mu0   <- as.vector(c(9,5))
# Vector de medias muestral
data1<- c(6,10,8)
data2<- c(9,6,3)
mean(data1)
## [1] 8
mean(data2)
## [1] 6
xbar  <- as.vector(c(8,6))
# Matriz de covarianza muestral
x <- matrix(c(6,10,8,9,6,3),ncol=2)
S<- cov(x)
#Calculamos el estadístico de prueba:
T0   <- n*t((xbar-mu0)) %*% solve(S) %*% (xbar-mu0)
F0   <- ((n-p)/(p*(n-1)))*T0
round(F0,2)
##      [,1]
## [1,] 0.19
#Suponiendo que 𝛼=0.01, calculamos el valor crítico:
a     <- 0.01
Fc    <- qf(1-a,p,n-p)
round(Fc,2)
## [1] 4999.5
#Si queremos concluir la prueba por medio del 𝑝-value, debemos calcularlo:
p_value <- 1-pf(F0,p,n-p)
p_value
##           [,1]
## [1,] 0.8485281
## No se rechaza la hipotesis nula ya que Fc>F0, es decir que el vector de medias muestrales es igual al vector de media poblacional con un nivel de confianza de 99%

EJERCICIO 2:

# Información del problema
n        <- 4
p        <- 2
# Vector de medias específico a probar
mu0   <- as.vector(c(7,11))
# Vector de medias muestral
data1<- c(2,8,6,8)
data2<- c(12,9,9,10)
mean(data1)
## [1] 6
mean(data2)
## [1] 10
xbar  <- as.vector(c(6,10))
# Matriz de covarianza muestral
x <- matrix(c(2,8,6,8,12,9,9,10),ncol=2)
S<- cov(x)
#Calculamos el estadístico de prueba:
T0   <- n*t((xbar-mu0)) %*% solve(S) %*% (xbar-mu0)
F0   <- ((n-p)/(p*(n-1)))*T0
round(F0,2)
##      [,1]
## [1,] 4.55
#Suponiendo que 𝛼=0.03, calculamos el valor crítico:
a     <- 0.03
Fc    <- qf(1-a,p,n-p)
round(Fc,2)
## [1] 32.33
#Si queremos concluir la prueba por medio del 𝑝-value, debemos calcularlo:
p_value <- 1-pf(F0,p,n-p)
p_value
##           [,1]
## [1,] 0.1803279
## No se rechaza ya que Fc>F0, es decir que las medias muestrales no son iguales a las medias poblacionales con un nivel de confianza de 97%

EJERCICIO 3:

# Información del problema
n        <- 20
p        <- 3
# Vector de medias específico a probar
mu0   <- as.vector(c(4,50,10))
# Vector de medias muestral
data1<- c(3.7,5.7,3.8,3.2,3.1,4.6,2.4,7.2,6.7,5.4,3.9,4.5,3.5,4.5,1.5,8.5,4.5,6.5,4.1,5.5)
data2<- c(48.5,65.1,47.2,53.2,55.5,36.1,24.8,33.1,47.4,54.1,36.9,58.8,27.8,40.2,13.5,56.4,71.6,52.8,44.1,40.9)
data3<- c(9.3,8,10.9,12,9.7,7.9,14,7.6,8.5,11.3,12.7,12.3,9.8,8.4,10.1,7.1,8.2,10.9,11.2,9.4)
mean(data1)
## [1] 4.64
mean(data2)
## [1] 45.4
mean(data3)
## [1] 9.965
xbar  <- as.vector(c(4.6,45.4,10))
# Matriz de covarianza muestral
x <- matrix(c(data1,data2,data3),ncol=3)
S<- cov(x)
#Calculamos el estadístico de prueba:
T0   <- n*t((xbar-mu0)) %*% solve(S) %*% (xbar-mu0)
F0   <- ((n-p)/(p*(n-1)))*T0
round(F0,2)
##      [,1]
## [1,] 2.75
#Suponiendo que 𝛼=0.03, calculamos el valor crítico:
a     <- 0.03
Fc    <- qf(1-a,p,n-p)
round(Fc,2)
## [1] 3.79
#Si queremos concluir la prueba por medio del 𝑝-value, debemos calcularlo:
p_value <- 1-pf(F0,p,n-p)
p_value
##         [,1]
## [1,] 0.07464
## No se rechaza ya que Fc>F0, es decir que el vector de medias muestales es igual al vector de medias poblacional con un 97%

EJERCICIO 4:

# Información
n1     <- 15
n2     <- 12
p      <- 7
# Vectores de medias muestrales
xbar1    <- as.vector(c(168.78,63.89,38.98,73.46,45.85,57.24,43.09))
xbar2    <- as.vector(c(177.58,74.25,41.67,77.75,49.00,58.00,45.62))
# Matrices de covarianza muestrales
S1     <- matrix(c(37.64,22.10,6.38,15.65,9.49,2.75,9.02,
                   22.10,80.4,7.36,12.94,14.39,7.20,9.31,
                   6.38,7.36,1.92,3.06,1.49,0.76,1.98,15.65,
                   12.94,3.06,7.41,3.99,1.17,4.53,9.49,14.39,
                   1.49,3.99,9.42,2.559,1.12,2.75,7.20,0.76,
                   1.17,2.559,2.94,0.95,9.02,9.31,1.98,4.53,
                   1.12,0.95,3.78), 
  nrow = 7, byrow = TRUE)
S2     <- matrix(c(45.53,48.84,9.48,14.34,14.86,9.45,
                   8.92,48.84,74.20,9.63,19.34,19.77,
                   9.90,5.23,9.48,9.63,2.79,2.09,3.23,
                   1.86,2.31,14.34,19.34,2.09,12.57,
                   6.18,2.36,1.21,14.86,19.77,3.23,
                   6.18,6.77,3.02,1.84,9.45,9.90,1.86,
                   2.36,3.02,3.13,2.63,8.92,5.23,2.31,1.21,
                   1.84,2.63,6.14), 
  nrow = 7, byrow = TRUE)
#Calculamos la matriz de covarianza conjunta.
Sp     <- ((n1-1)*S1 + (n2-1)*S2)/(n1+n2-2)
Sp
##         [,1]    [,2]   [,3]    [,4]     [,5]    [,6]   [,7]
## [1,] 41.1116 33.8656 7.7440 15.0736 11.85280 5.69800 8.9760
## [2,] 33.8656 77.6720 8.3588 15.7560 16.75720 8.38800 7.5148
## [3,]  7.7440  8.3588 2.3028  2.6332  2.25560 1.24400 2.1252
## [4,] 15.0736 15.7560 2.6332  9.6804  4.95360 1.69360 3.0692
## [5,] 11.8528 16.7572 2.2556  4.9536  8.25400 2.76184 1.4368
## [6,]  5.6980  8.3880 1.2440  1.6936  2.76184 3.02360 1.6892
## [7,]  8.9760  7.5148 2.1252  3.0692  1.43680 1.68920 4.8184
#El estadístico es:
dif    <- xbar1 - xbar2
T0     <-  ((n1*n2)/(n1+n2))*t(dif)%*%solve(Sp)%*%dif
T0
##          [,1]
## [1,] 26.08934
#Entonces, el valor de prueba es:
F0     <- ((n1+n2-2-p)/(p*(n1+n2-2-1)))*T0
round(F0,2)
##      [,1]
## [1,]  2.8
#Suponiendo que 𝛼=0.06, calculamos el valor crítico:
a     <- 0.06
Fc    <- qf(1-a,p,(n1+n2-2-p))
round(Fc,2)
## [1] 2.44
## Se rechaza ya que F0>Fc, es decir que existe diferencia entre las dos muestras con un nivel de confianza de 94%