Introdução

Este trabalho apresenta um modelo de múltiplo decremento com duas causas de decremento e suas respectivas análises, além de uma tábua de serviço desenvolvida para um grupo de funcionários de uma empresa, considerando diferentes taxas de saída.

Modelo de Múltiplo Decremento

A força de decremento para cada causa pode ser interpretada como a taxa instantânea de saída de um grupo populacional devido a uma determinada causa.

Um modelo de múltiplo decremento com duas causas de decremento é especificado pelas seguintes forças de decrementos:

Decremento 1: \(\mu_{x1}(t) = \frac{1}{100 - (x + t)}\), \(t \leq 100 - x\)
Decremento 2: \(\mu_{x2}(t) = \frac{2}{100 - (x + t)}\), \(t \leq 100 - x\)

Isso demonstra que, à medida que o tempo𝑡avança, a força de decremento aumenta, refletindo uma maior propensão à ocorrência dos eventos de decremento conforme o grupo populacional envelhece.

Para fins de estudo, será considerado uma idade \(x = 50\) anos para um indivíduo:

\[ \mu_{50,1}(t) = \frac{1}{50 - t}, \quad \mu_{50,2}(t) = \frac{2}{50 - t} \]

library(readxl)
library(DT)
library(knitr)

x <- 50
t <- seq(0, 49, 1)

FDP da Distribuição Conjunta \(f_{T,J}(t,j)\)

A função de densidade de probabilidade conjunta para o tempo e o tipo de decremento pode ser calculada como:

\[ f_{T,J}(t,1) = \left(\frac{50 - t}{50}\right)^3 \cdot \frac{1}{50 - t} = \frac{(50 - t)^2}{50^3} \] \[ f_{T,J}(t,2) = \left(\frac{50 - t}{50}\right)^3 \cdot \frac{2}{50 - t} = \frac{2 \cdot (50 - t)^2}{50^3} \]

As fórmulas fornecem uma base matemática sólida para calcular a probabilidade de um determinado decremento ocorrer em um determinado momento𝑡.

μ1 <- 1 / (50 - t); μ1

##  [1] 0.02000000 0.02040816 0.02083333 0.02127660 0.02173913 0.02222222
##  [7] 0.02272727 0.02325581 0.02380952 0.02439024 0.02500000 0.02564103
## [13] 0.02631579 0.02702703 0.02777778 0.02857143 0.02941176 0.03030303
## [19] 0.03125000 0.03225806 0.03333333 0.03448276 0.03571429 0.03703704
## [25] 0.03846154 0.04000000 0.04166667 0.04347826 0.04545455 0.04761905
## [31] 0.05000000 0.05263158 0.05555556 0.05882353 0.06250000 0.06666667
## [37] 0.07142857 0.07692308 0.08333333 0.09090909 0.10000000 0.11111111
## [43] 0.12500000 0.14285714 0.16666667 0.20000000 0.25000000 0.33333333
## [49] 0.50000000 1.00000000

μ2 <- 2 / (50 - t); μ2

##  [1] 0.04000000 0.04081633 0.04166667 0.04255319 0.04347826 0.04444444
##  [7] 0.04545455 0.04651163 0.04761905 0.04878049 0.05000000 0.05128205
## [13] 0.05263158 0.05405405 0.05555556 0.05714286 0.05882353 0.06060606
## [19] 0.06250000 0.06451613 0.06666667 0.06896552 0.07142857 0.07407407
## [25] 0.07692308 0.08000000 0.08333333 0.08695652 0.09090909 0.09523810
## [31] 0.10000000 0.10526316 0.11111111 0.11764706 0.12500000 0.13333333
## [37] 0.14285714 0.15384615 0.16666667 0.18181818 0.20000000 0.22222222
## [43] 0.25000000 0.28571429 0.33333333 0.40000000 0.50000000 0.66666667
## [49] 1.00000000 2.00000000

Força Total de Decremento

A força total de decremento, que combina as duas causas, é a soma das forças de decremento individuais:

\[\mu{_{x}^{(\tau)}}(t) = \sum{_{j=1}^{m}}\mu{_{x}^{(j)}}(t)\]
\[\mu{_{50}^{(\tau)}}(t) = \mu{_{50}^{1}}(t) + \mu{_{50}^{2}}(t)\]
\[\mu{_{50}^{(\tau)}}(t) = \frac{1}{50-t} + \frac{2}{50-t}\]
\[\mu{_{50}^{(\tau)}}(t) = \frac{3}{50-t}\]

Essa fórmula fornece uma visão consolidada de como diferentes causas impactam conjuntamente o grupo populacional.

μτ <- μ1 + μ2; μτ

##  [1] 0.06000000 0.06122449 0.06250000 0.06382979 0.06521739 0.06666667
##  [7] 0.06818182 0.06976744 0.07142857 0.07317073 0.07500000 0.07692308
## [13] 0.07894737 0.08108108 0.08333333 0.08571429 0.08823529 0.09090909
## [19] 0.09375000 0.09677419 0.10000000 0.10344828 0.10714286 0.11111111
## [25] 0.11538462 0.12000000 0.12500000 0.13043478 0.13636364 0.14285714
## [31] 0.15000000 0.15789474 0.16666667 0.17647059 0.18750000 0.20000000
## [37] 0.21428571 0.23076923 0.25000000 0.27272727 0.30000000 0.33333333
## [43] 0.37500000 0.42857143 0.50000000 0.60000000 0.75000000 1.00000000
## [49] 1.50000000 3.00000000

Probabilidade de Sobrevivência

A probabilidade de que um indivíduo sobreviva até o tempo𝑡sem sofrer nenhum decremento é dada pela seguinte expressão, conforme apresentada a seguir:

\[{_t}p{_{x}^{(\tau)}} = e^{-\int_{0}^{t}\mu{_{x}^{(\tau)}}(t)dt}\]
\[{_t}p{_{50}^{(\tau)}} = e^{-\int_{0}^{t}\mu{_{50}^{(\tau)}}(t)dt}\]
Substituindo a força total de decremento:
\[{_t}p{_{50}^{(\tau)}} = e^{-\int_{0}^{t}\frac{3}{50 - t}dt}\]
Resolvendo a integral:
\[\int_{0}^{t}\frac{3}{50 - t} dt = - 3ln(50 - t) + 3ln(50)\]
Voltando a expressão da probabilidade:
\[{_t}p{_{50}^{(\tau)}} = e^{-(-3ln(50 - t) + 3ln(50))}\]
\[{_t}p{_{50}^{(\tau)}} = e^{3ln(50 - t) - 3ln(50)}\]
Aplicando a propriedade dos logaritmos, \[ln(a) - ln(b) = ln(\frac{a}{b})\]:
\[{_t}p{_{50}^{(\tau)}} = e^{3ln\frac{(50-t)}{50}}\]
\[{_t}p{_{50}^{(\tau)}} = (\frac{(50-t)}{50})^3\]

pτ <- ((50 - t) / 50) ^ 3; pτ

##  [1] 1.000000 0.941192 0.884736 0.830584 0.778688 0.729000 0.681472 0.636056
##  [9] 0.592704 0.551368 0.512000 0.474552 0.438976 0.405224 0.373248 0.343000
## [17] 0.314432 0.287496 0.262144 0.238328 0.216000 0.195112 0.175616 0.157464
## [25] 0.140608 0.125000 0.110592 0.097336 0.085184 0.074088 0.064000 0.054872
## [33] 0.046656 0.039304 0.032768 0.027000 0.021952 0.017576 0.013824 0.010648
## [41] 0.008000 0.005832 0.004096 0.002744 0.001728 0.001000 0.000512 0.000216
## [49] 0.000064 0.000008

FDP da Distribuição Conjunta \(f_{T,J}(t,j)\)

A função de densidade de probabilidade conjunta para o tempo e o tipo de decremento pode ser calculada como:

\(f_{T, J}(t, j) = {_t}p{_x^{(\tau)}} \cdot \mu{_x^{(j)}}(t)\)

\[ f_{T,J}(t,j) = \begin{cases} f_{T,J}(t,1) = (\frac{(50-t)}{50})^3 \cdot \frac{1}{50-t} = \frac{(50 - t)^2}{50^3}, t\le50 \\ f_{T,J}(t,2) = (\frac{(50-t)}{50})^3 \cdot \frac{2}{50-t} = \frac{2 \cdot (50 - t)^2}{50^3}, t\le50 \end{cases} \] As fórmulas fornecem uma base matemática sólida para calcular a probabilidade de um determinado decremento ocorrer em um determinado momento𝑡.

FDP da Distribuição Marginal \(f_T(t)\)

\[f_{T}(t) = {_t}p{_x^{(\tau)}} \cdot \mu{_x^{(\tau)}}(t)\]
\[f_{T}(t) = (\frac{(50-t)}{50})^3 \cdot \frac{3}{50-t} = \frac{3(50-t)^2}{50^3}, t\le50\]

fT <- pτ * μτ; fT

##  [1] 0.060000 0.057624 0.055296 0.053016 0.050784 0.048600 0.046464 0.044376
##  [9] 0.042336 0.040344 0.038400 0.036504 0.034656 0.032856 0.031104 0.029400
## [17] 0.027744 0.026136 0.024576 0.023064 0.021600 0.020184 0.018816 0.017496
## [25] 0.016224 0.015000 0.013824 0.012696 0.011616 0.010584 0.009600 0.008664
## [33] 0.007776 0.006936 0.006144 0.005400 0.004704 0.004056 0.003456 0.002904
## [41] 0.002400 0.001944 0.001536 0.001176 0.000864 0.000600 0.000384 0.000216
## [49] 0.000096 0.000024

FDP da Distribuição Marginal \(f_J(j)\)

\[f_{J}(j) = {_\infty}q{_{x}^{(j)}}\]
Calculando a probabilidade de que o decremento ocorra até o tempo t
\[_{50}q{_{50}^{(1)}} = \int{_{0}^{50}}\frac{(50 - t)^2}{50^3}dt = \frac{1}{3}\]

q1 <- function(t) {
  ((50 - t) ^ 2 / 50 ^ 3)
}
funcaoq1 <- integrate(q1, 0, 50)$value; funcaoq1

## [1] 0.3333333

\[_{50}q{_{50}^{(2)}} = 1 - {_{50}}q{_{50}^{(1)}} = \frac{2}{3}\]

q2 <- 1 - funcaoq1; q2

## [1] 0.6666667

Fdp da distribuição condicional de J, dado um decremento no tempo \(t\) \(f_{J|T}(j|t)\)

\(f_{J|T}(j|t) = \frac{f_{T, J}(t, j)}{f_{T}(t)} = \frac{{_t}p{_x^{(\tau)}} \cdot \mu{_x^{(j)}}(t)}{{_t}p{_x^{(\tau)}} \cdot \mu{_x^{(\tau)}}(t)} = \frac{\mu_{x}^{(j)}(t)}{\mu_{x}^{(\tau)}(t)}\)
\(f_{J|T}(1|t) = \frac{\mu_{x}^{(1)}(t)}{\mu_{x}^{(\tau)}(t)} = \frac{1}{50-t} \cdot \frac{50-t}{3} = \frac{1}{3}\)

fj1 <- μ1/μτ; fj1[1]

## [1] 0.3333333

\(f_{J|T}(2|t) = \frac{\mu_{x}^{(2)}(t)}{\mu_{x}^{(\tau)}(t)} = \frac{2}{50-t} \cdot \frac{50-t}{3} = \frac{2}{3}\)

fj2 <- μ2/μτ; fj2[1]

## [1] 0.6666667

Tabela de Valores e Gráficos para \(t p_{50}\), \(t q_{50}^{(1)}\) e \(t q_{50}^{(2)}\)

Distribuição de \(J(x)\) para \(x = 50\)

t = seq(1, 10, 1)
idades <- seq(51, 60, 1)
f1 <- function(t)(50-t)^2/(50^3)
f2 <- function(t)2*(50-t)^2/(50^3)
q11 <- rep(0, 10)
q12 <- rep(0, 10)
for (i in t) {
q11[i] <- integrate(f1, 0, i)$value
q12[i] <- integrate(f2, 0, i)$value
}
graf <- data.frame(idades, t, pτ[2:11], q11, q12);graf

plot(idades, pτ[2:11], "o", pch = 20, cex=0.7, main="Gráfico",xlab="x+t", ylab="10p50(τ)")

plot(t, q11, type="o", pch=20, cex=0.7, col="blue", main=" ", xlab="t", ylab=bquote(q[x]), ylim=c(0, 0.35))
lines(t, q12, type="o", pch=20, cex=0.7, col="red")
legend("topleft", legend=c(bquote(q[50]^{(1)}), bquote(q[50]^{(2)})), col=c("blue", "red"), pch=20)

f) Prepare uma tabela e desenhe o gráfico de \({_t}q_{x}^{(1)}\) e \({_t}q_{x}^{(2)}\) para \(t = 1, 2, . . . , 10\) e para \(x = 50\).

f1 <- function(t)(50-t)^2/(50^3)
f2 <- function(t)2*(50-t)^2/(50^3)
q11 <- rep(0, 10)
q12 <- rep(0, 10)
for (i in t) {
q11[i] <- integrate(f1, 0, i)$value
q12[i] <- integrate(f2, 0, i)$value
}
dfq10 <- data.frame(t, q11, q12); dfq10

g) Encontre a distribuição de J(x) para x = 50.

\(f_{J} = {_t}q_{x}^{(j)}\)
\({_t}q_{50}^{(j)} = \int_{0}^{50}f_{T, J}(t, j) dt\)
\(_{50}q_{50}^{(1)} = \int_{0}^{50}\frac{(50 - t)^2}{50^3} dt\)

funcaoq501 <- function(t) (50 - t)^2 / (50^3)
q501 <- integrate(funcaoq501, 0, 50)$value; q501

## [1] 0.3333333

\(_{50}q_{50}^{(2)} = \int_{0}^{50} \frac{2 \cdot (50 - t)^2}{50^3} dt\)

funcaoq502 <- function(t) 2 * (50 - t)^2 / (50^3)
q502 <- integrate(funcaoq502, 0, 50)$value; q502

## [1] 0.6666667

h) Encontre a distribuição condicional de J(x) dado T(x) = 10 para x = 50.

\(f_{J|T}(1|10) = \frac{\mu_{50}^{(1)}(10)}{\mu_{50}^{(\tau)}(10)} = \frac{1}{50-10} \cdot \frac{50-10}{3} = \frac{1}{3}\)
\(f_{J|T}(2|10) = \frac{\mu_{50}^{(2)}(10)}{\mu_{50}^{(\tau)}(10)} = \frac{2}{50-10} \cdot \frac{50-10}{3} = \frac{2}{3}\)

Tábua de Serviço para Funcionários da Empresa X

Para este estudo, foi desenvolvida uma tábua de serviço considerando um grupo de 100 funcionários, todos com idade inicial de 30 anos. As taxas e premissas utilizadas são descritas a seguir:

Hipóteses Demográficas

Mortalidade: Tábua AT-2000 Male.
Invalidez: Álvaro Vindas.
Rotatividade: 2% até 50 anos.
Aposentadoria: Probabilidades variando de 0.10 aos 55 anos até 1.00 para 60 anos ou mais.
Taxa de juros: 6% ao ano.

Cálculo das Taxas Ajustadas

As taxas de mortalidade (\(q_{ax}\)), invalidez (\(i_{ax}\)), rotatividade (\(r_{ax}\)), e aposentadoria (\(A_{ax}\)) foram ajustadas considerando interações entre as causas de saída do grupo, conforme a fórmula:

#importando tabuas de invalidez e mortalidade
tabua_invalidez <- read_excel("ALVARO_VINDAS.xlsx")
tabua_vida <- read_excel('AT-2000-male.xlsx')

#unindo as tabuas em um unico df
tabua_servico <- merge(tabua_vida, tabua_invalidez, by = "x")

#acrescentando a coluna de rotatividade
tabua_servico$rotatividade <- ifelse(tabua_servico$x >= 30 & tabua_servico$x <= 50, 0.02, 0)

#acrescentando a coluna de aposentadoria
tabua_servico$aposentadoria <- ifelse(tabua_servico$x == 55, 0.1, ifelse(tabua_servico$x >= 56 & tabua_servico$x <= 59, 0.03,
ifelse(tabua_servico$x >= 60, 1.0, 0)))

#filtrando a tabua de servico entre 30 e 60 anos
tabua_servico <- tabua_servico[tabua_servico$x >= 30 & tabua_servico$x <= 60, ]

# q_d taxa de mortalidade
tabua_servico$q_d <- tabua_servico$`mortalidade` * (1 - 1/2 * (tabua_servico$`invalidez` + tabua_servico$rotatividade + tabua_servico$aposentadoria) + 1/3 * (tabua_servico$`invalidez` * tabua_servico$rotatividade + tabua_servico$`invalidez` * tabua_servico$aposentadoria + tabua_servico$rotatividade * tabua_servico$aposentadoria) - 1/4 * tabua_servico$`invalidez` * tabua_servico$rotatividade * tabua_servico$aposentadoria)

# q_i taxa de invalidez
tabua_servico$q_i <- tabua_servico$`invalidez` * (1 - 1/2 * (tabua_servico$`mortalidade` + tabua_servico$rotatividade + tabua_servico$aposentadoria) + 1/3 * (tabua_servico$`mortalidade` * tabua_servico$rotatividade + tabua_servico$`mortalidade` * tabua_servico$aposentadoria + tabua_servico$rotatividade * tabua_servico$aposentadoria) - 1/4 * tabua_servico$`mortalidade` * tabua_servico$rotatividade * tabua_servico$aposentadoria)

# q_r taxa de rotatividade
tabua_servico$q_r <- tabua_servico$rotatividade * (1 - 1/2 * (tabua_servico$`mortalidade` + tabua_servico$`invalidez` + tabua_servico$aposentadoria) + 1/3 * (tabua_servico$`mortalidade` * tabua_servico$`invalidez` + tabua_servico$`mortalidade` * tabua_servico$aposentadoria + tabua_servico$`invalidez` * tabua_servico$aposentadoria) - 1/4 * tabua_servico$`mortalidade` * tabua_servico$`invalidez` * tabua_servico$aposentadoria)

# q_a taxa de aposentadoria
tabua_servico$q_a <- tabua_servico$aposentadoria * (1 - 1/2 * (tabua_servico$`mortalidade` + tabua_servico$`invalidez` + tabua_servico$rotatividade) + 1/3 * (tabua_servico$`mortalidade` * tabua_servico$`invalidez` + tabua_servico$`mortalidade` * tabua_servico$rotatividade + tabua_servico$`invalidez` * tabua_servico$rotatividade) - 1/4 * tabua_servico$`mortalidade` * tabua_servico$`invalidez` * tabua_servico$rotatividade)

# q_t taxa total
tabua_servico$q_t <- tabua_servico$q_d + tabua_servico$q_i + tabua_servico$q_r + tabua_servico$q_a
tabua_servico$p_t <- 1 - tabua_servico$q_t

# criando colunas lx_t e dx_t
for (i in 1:nrow(tabua_servico)) {
  if (i == 1) {
    tabua_servico$lx_t[i] <- 100
    tabua_servico$dx_t[i] <- tabua_servico$lx_t[i] * tabua_servico$q_t[i]
  } else {
    tabua_servico$lx_t[i] <- tabua_servico$lx_t[i-1] - tabua_servico$dx_t[i-1]
    tabua_servico$dx_t[i] <- tabua_servico$lx_t[i] * tabua_servico$q_t[i]
  }
}

# criando colunas de comutação Dx e Cx
v <- 1/(1+0.06)
tabua_servico$Dx <- tabua_servico$lx_t * v^tabua_servico$x
tabua_servico$Cx <- tabua_servico$dx_t * v^(tabua_servico$x+1)
for (i in 1:nrow(tabua_servico))
{
tabua_servico$Mx[i] = sum(tabua_servico$Cx[i:nrow(tabua_servico)])
}

tabua_servico <- round(tabua_servico, 6)
#tabua_servico
kable(tabua_servico, format = "pandoc")

	x	mortalidade	invalidez	rotatividade	aposentadoria	q_d	q_i	q_r	q_a	q_t	p_t	lx_t	dx_t	Dx	Cx	Mx
31	30	0.000784	0.000605	0.02	0.00	0.000776	0.000599	0.019986	0.000000	0.021361	0.978639	100.00000	2.136076	17.411013	0.350861	5.711661
32	31	0.000789	0.000615	0.02	0.00	0.000781	0.000609	0.019986	0.000000	0.021375	0.978625	97.86392	2.091885	16.074623	0.324153	5.360800
33	32	0.000789	0.000628	0.02	0.00	0.000781	0.000621	0.019986	0.000000	0.021388	0.978612	95.77204	2.048389	14.840586	0.299446	5.036647
34	33	0.000790	0.000643	0.02	0.00	0.000782	0.000636	0.019986	0.000000	0.021404	0.978596	93.72365	2.006046	13.701107	0.276657	4.737201
35	34	0.000791	0.000660	0.02	0.00	0.000783	0.000653	0.019985	0.000000	0.021421	0.978579	91.71760	1.964726	12.648915	0.255621	4.460544
36	35	0.000792	0.000681	0.02	0.00	0.000784	0.000674	0.019985	0.000000	0.021443	0.978557	89.75288	1.924572	11.677318	0.236223	4.204923
37	36	0.000794	0.000704	0.02	0.00	0.000786	0.000697	0.019985	0.000000	0.021467	0.978533	87.82831	1.885453	10.780114	0.218323	3.968699
38	37	0.000823	0.000732	0.02	0.00	0.000814	0.000724	0.019984	0.000000	0.021523	0.978477	85.94285	1.849775	9.951596	0.202067	3.750377
39	38	0.000872	0.000764	0.02	0.00	0.000863	0.000756	0.019984	0.000000	0.021603	0.978397	84.09308	1.816631	9.186231	0.187214	3.548309
40	39	0.000945	0.000801	0.02	0.00	0.000935	0.000793	0.019983	0.000000	0.021710	0.978290	82.27645	1.786249	8.479042	0.173663	3.361095
41	40	0.001043	0.000844	0.02	0.00	0.001032	0.000835	0.019981	0.000000	0.021848	0.978152	80.49020	1.758582	7.825433	0.161295	3.187432
42	41	0.001168	0.000893	0.02	0.00	0.001156	0.000884	0.019979	0.000000	0.022019	0.977981	78.73162	1.733572	7.221189	0.150002	3.026137
43	42	0.001322	0.000949	0.02	0.00	0.001308	0.000939	0.019977	0.000000	0.022224	0.977776	76.99804	1.711232	6.662441	0.139687	2.876135
44	43	0.001505	0.001014	0.02	0.00	0.001489	0.001003	0.019975	0.000000	0.022467	0.977533	75.28681	1.691478	6.145634	0.130259	2.736448
45	44	0.001715	0.001088	0.02	0.00	0.001697	0.001076	0.019972	0.000000	0.022745	0.977255	73.59533	1.673934	5.667509	0.121611	2.606189
46	45	0.001948	0.001174	0.02	0.00	0.001927	0.001161	0.019969	0.000000	0.023057	0.976943	71.92140	1.658315	5.225095	0.113657	2.484578
47	46	0.002198	0.001271	0.02	0.00	0.002175	0.001257	0.019965	0.000000	0.023397	0.976603	70.26309	1.643937	4.815678	0.106294	2.370920
48	47	0.002463	0.001383	0.02	0.00	0.002437	0.001367	0.019962	0.000000	0.023766	0.976234	68.61915	1.630785	4.436798	0.099475	2.264626
49	48	0.002740	0.001511	0.02	0.00	0.002711	0.001494	0.019958	0.000000	0.024162	0.975838	66.98836	1.618568	4.086183	0.093142	2.165151
50	49	0.003028	0.001657	0.02	0.00	0.002995	0.001638	0.019953	0.000000	0.024586	0.975414	65.36979	1.607207	3.761748	0.087253	2.072009
51	50	0.003330	0.001823	0.02	0.00	0.003294	0.001802	0.019949	0.000000	0.025044	0.974956	63.76259	1.596870	3.461566	0.081784	1.984757
52	51	0.003647	0.002014	0.00	0.00	0.003643	0.002010	0.000000	0.000000	0.005654	0.994346	62.16572	0.351464	3.183844	0.016981	1.902972
53	52	0.003980	0.002231	0.00	0.00	0.003976	0.002227	0.000000	0.000000	0.006202	0.993798	61.81426	0.383379	2.986645	0.017475	1.885991
54	53	0.004331	0.002479	0.00	0.00	0.004326	0.002474	0.000000	0.000000	0.006799	0.993201	61.43088	0.417685	2.800115	0.017961	1.868516
55	54	0.004698	0.002762	0.00	0.00	0.004692	0.002756	0.000000	0.000000	0.007447	0.992553	61.01319	0.454367	2.623657	0.018432	1.850555
56	55	0.005077	0.003089	0.00	0.10	0.004816	0.002927	0.000000	0.099592	0.107335	0.892665	60.55882	6.500099	2.456715	0.248766	1.832122
57	56	0.005465	0.003452	0.00	0.03	0.005374	0.003391	0.000000	0.029866	0.038631	0.961369	54.05873	2.088353	2.068890	0.075400	1.583356
58	57	0.005861	0.003872	0.00	0.03	0.005762	0.003803	0.000000	0.029854	0.039419	0.960581	51.97037	2.048620	1.876383	0.069778	1.507956
59	58	0.006265	0.004350	0.00	0.03	0.006158	0.004271	0.000000	0.029841	0.040270	0.959730	49.92175	2.010355	1.700394	0.064599	1.438178
60	59	0.006694	0.004895	0.00	0.03	0.006578	0.004806	0.000000	0.029826	0.041210	0.958790	47.91140	1.974407	1.539546	0.059853	1.373579
61	60	0.007170	0.005516	0.00	1.00	0.003578	0.002751	0.000000	0.993670	1.000000	0.000000	45.93699	45.936991	1.392549	1.313726	1.313726

datatable(tabua_servico, options = list(pageLength = 31, scrollY = "300px", scrollX = TRUE))

Cálculos Utilizando a Tábua de Serviço

Para calcular a probabilidade de entrada em invalidez para a idade de 45 anos:

q_i_45 <- tabua_servico$q_i[tabua_servico$x == 45]
q_i_45

## [1] 0.001161

Para calcular o número de ativos que provavelmente entraram em invalidez aos 45 anos e irão sobreviver:

n_i_45 <- tabua_servico$lx_t[tabua_servico$x == 45] * tabua_servico$q_i[tabua_servico$x == 45] * (1 - tabua_servico$q_d[tabua_servico$x == 45]/2)
n_i_45

## [1] 0.08342029

Para calcular o prêmio único de um seguro temporário de 10 anos para um indivíduo de 48 anos que cobre sua saída do fundo de pensão, utilizou-se a seguinte fórmula:

pup <- (tabua_servico$Mx[tabua_servico$x == 48] - tabua_servico$Mx[tabua_servico$x == 58]) / tabua_servico$Dx[tabua_servico$x == 48]

pup <- paste("RS", format(pup, decimal.mark = ",", big.mark = ".", nsmall = 2, digits = 6))

pup

## [1] "RS 0,17791"

Construção e Utilização da Tábua de Múltiplos Decrementos

Carlos Alberto G B, Fred Abrãao dos S P, João Pedro A R

Introdução

Modelo de Múltiplo Decremento

FDP da Distribuição Conjunta \(f_{T,J}(t,j)\)

Força Total de Decremento

Probabilidade de Sobrevivência

FDP da Distribuição Conjunta \(f_{T,J}(t,j)\)

FDP da Distribuição Marginal \(f_T(t)\)

FDP da Distribuição Marginal \(f_J(j)\)

Fdp da distribuição condicional de J, dado um decremento no tempo \(t\) \(f_{J|T}(j|t)\)

Tabela de Valores e Gráficos para \(t p_{50}\), \(t q_{50}^{(1)}\) e \(t q_{50}^{(2)}\)

Distribuição de \(J(x)\) para \(x = 50\)

f) Prepare uma tabela e desenhe o gráfico de \({_t}q_{x}^{(1)}\) e \({_t}q_{x}^{(2)}\) para \(t = 1, 2, . . . , 10\) e para \(x = 50\).

g) Encontre a distribuição de J(x) para x = 50.

h) Encontre a distribuição condicional de J(x) dado T(x) = 10 para x = 50.

Tábua de Serviço para Funcionários da Empresa X

Hipóteses Demográficas

Cálculo das Taxas Ajustadas

Cálculos Utilizando a Tábua de Serviço