Aula Estatística bivariada

Author

Marcelo C. Ribeiro - Grupo X

Published

November 7, 2024

Code

library(rmarkdown)
library(ggplot2)
library(dplyr)


Attaching package: 'dplyr'

The following objects are masked from 'package:stats':

    filter, lag

The following objects are masked from 'package:base':

    intersect, setdiff, setequal, union

Code

library(plotly)


Attaching package: 'plotly'

The following object is masked from 'package:ggplot2':

    last_plot

The following object is masked from 'package:stats':

    filter

The following object is masked from 'package:graphics':

    layout

Code

library(corrplot)

corrplot 0.92 loaded

Code

library(polycor)
library(ltm)

Loading required package: MASS


Attaching package: 'MASS'

The following object is masked from 'package:plotly':

    select

The following object is masked from 'package:dplyr':

    select

Loading required package: msm

Introdução

Nesta aula, vamos investigar as relações entre variáveis qualitativas e quantitativas, qualitativa e qualitativa, e quantitativa e quantitativa em um conjunto de dados relacionados à saúde e nutrição. Utilizaremos tabelas de contingência, gráficos e medidas estatísticas apropriadas para realizar esta análise.

Dados simulados.

Code

# Definindo semente para reprodutibilidade
set.seed(123)

# Criando conjunto de dados simulado
n <- 150
dados <- data.frame(
  Idade = round(rnorm(n, mean = 40, sd = 15)),
  IMC = round(rnorm(n, mean = 25, sd = 4), 1),
  Atividade_Fisica = factor(sample(c("Baixa", "Moderada", "Alta"), n, replace = TRUE)),
  Fumante = factor(sample(c("Sim", "Não"), n, replace = TRUE)),
  Colesterol = round(rnorm(n, mean = 200, sd = 30)),
  Pressão_Arterial = round(rnorm(n, mean = 120, sd = 15))
)

# Visualizando as primeiras linhas do conjunto de dados
head(dados)

  Idade  IMC Atividade_Fisica Fumante Colesterol Pressão_Arterial
1    32 28.2         Moderada     Sim        170              120
2    37 28.1            Baixa     Não        149               74
3    63 26.3             Alta     Não        253              137
4    41 21.0             Alta     Sim        154              110
5    42 24.5             Alta     Sim        194              123
6    66 23.9         Moderada     Sim        196              124

Observações:

1. As medidas descritivas MÉDIA, MODA, MEDIANA, QUARTIS e PERCENTIS devem ser calculados apartir de variáveis ** QUANTITATIVAS**.

Para variável QUALITATIVA ou CATEGÓRICA PODE-SE APLICAR A MEDIDA DESCRITIVAS : MODA .

Relação entre Variáveis Qualitativas e Quantitativas

Exemplo: Relação entre Atividade Física e IMC

Para examinar a associação entre a variável qualitativa (Atividade_Fisica) e a variável quantitativa (IMC), podemos utilizar análises estatísticas descritivas resultantes do cruzamento dessas variáveis. O uso de um gráfico boxplot representa uma ferramenta visual eficaz para fornecer evidências dessa relação, facilitando a interpretação das diferenças de distribuição do (IMC) entre os diferentes níveis de (Atividade_Fisica) v.

Code

# Estatísticas descritivas do IMC por nível de Atividade Física
library(dplyr)
dados %>%
  group_by(Atividade_Fisica) %>%
  summarise(
    Média_IMC = mean(IMC),
    Mediana_IMC = median(IMC),
    Desvio_Padrão_IMC = sd(IMC)
  )

# A tibble: 3 × 4
  Atividade_Fisica Média_IMC Mediana_IMC Desvio_Padrão_IMC
  <fct>                <dbl>       <dbl>             <dbl>
1 Alta                  24.7        24.1              3.68
2 Baixa                 26.0        25.5              3.76
3 Moderada              25.5        25.3              3.81

Gráfico de boxplot para IMC por nível de Atividade Física

Code

# Gráfico de boxplot para IMC por nível de Atividade Física
library(ggplot2)

p <- ggplot(dados, aes(x = Atividade_Fisica, y = IMC, fill = Atividade_Fisica)) +
  geom_boxplot() +
  labs(title = "Boxplot de IMC por Nível de Atividade Física",
       x = "Nível de Atividade Física",
       y = "IMC") +
  theme_minimal()

p1<-ggplotly(p)

p1

Gráfico 1: Boxplot de IMC por Nível de Atividade Física

Interpretação

O gráfico de boxplot exibe a distribuição do Índice de Massa Corporal (IMC) para cada nível de atividade física (“Baixa”, “Moderada”, “Alta”). Ele mostra os seguintes pontos principais:

Mediana (linha central): Representa o valor mediano de IMC em cada grupo de atividade física.
Os indivíduos com atividade física alta tendem a ter um IMC mediano um pouco menor (24,1) do que aqueles com atividade física moderada (25,3) e baixa (25,5)
Dispersão (caixa e bigodes): Indica a variação do IMC em cada grupo.
A atividade física moderada (sd =3.814759) apresenta uma maior variação no IMC, sugerindo que pessoas com atividade física moderada têm IMCs mais variados, enquanto a atividade física alta tem a menor dispersão (sd=3.679909).
Outliers (pontos fora da caixa e dos bigodes): Indivíduos com valores de IMC muito acima ou abaixo do esperado para cada grupo.
Alguns outliers são visíveis no grupo de atividade física alta e moderada, indicando a presença de indivíduos com IMC muito altos neste grupo.

Conclusão: Há uma leve tendência de que, conforme aumenta o nível de atividade física, o IMC tende a diminuir, mas há também variações consideráveis dentro de cada grupo.

IMC está associado com a frequência de atividade física ?

Para investigar a associação entre uma variável qualitativa (como Atividade Física, caso seja dicotômica ou ordinal) e uma variável quantitativa contínua (como IMC), o coeficientie de correlação bisserial ou correlação polissérica são apropriados. Para calcular esses coeficientes no R, você pode usar pacotes como polycor, que oferece funções para obter tanto a correlação bisserial quanto a polissérica.

Correlação polissérica

Esse coeficiente é indicado se Atividade Física tiver mais de dois níveis ordenados (como “Nenhuma”, “Moderada”, “Alta”). Ele generaliza a correlação bisserial para uma variável qualitativa com categorias ordenadas e mede a associação entre uma variável contínua e uma qualitativa ordinal, assumindo uma normalidade latente subjacente.

Code

# Exemplo de dados para correlação polissérica
# Suponha uma variável contínua Y e uma variável ordinal X
polyserial_corr <- polyserial(dados$IMC,dados$Atividade_Fisica )

polyserial_corr

[1] 0.09627237

`Interpretação dos Coeficientes de Correlação

Para interpretar os coeficientes de correlação bisserial e polissérica e testar sua significância, segue:

**Correlação Polissérica ( $r_poly$): O coeficiente polissérico mede a associação entre uma variável contínua e uma variável ordinal, assumindo que a variável ordinal representa uma discretização de uma distribuição normal subjacente.

Valores altos de $r_ply$ (próximos de 1 ou -1) indicam uma associação forte entre a variável contínua e a variável ordinal, sugerindo uma mudança substancial nos valores médios ou na distribuição da variável contínua conforme as categorias da variável ordinal.
- Valores baixos (próximos de 0) indicam uma associação fraca ou inexistente, sugerindo que as categorias da variável ordinal não correspondem a variações sistemáticas na variável contínua.

Testes de Significância

Para verificar a significância desses coeficientes, você pode aplicar testes estatísticos apropriados que avaliam a hipótese nula de que a correlação é zero (ou seja, que não há associação entre as variáveis).

Correlação Polissérica:

A significância do coeficiente de correlação polissérica é normalmente testada via estimativas de erro padrão obtidas durante o ajuste da correlação. Essas estimativas podem ser usadas para construir um teste t:

$z=\frac{r_p}{ErroP}$

O coeficiente polissérico. Esse teste z pode ser usado para calcular o valor-p, assumindo uma distribuição normal padrão para o teste de significância.

No pacote polycor em R, a função polyserial() fornece uma estimativa do erro padrão para a correlação polissérica, permitindo realizar o teste de significância.

Esses métodos ajudam a avaliar se os coeficientes são estatisticamente diferentes de zero, confirmando a existência de uma associação significativa entre as variáveis contínua e qualitativa.

Code

# Extraia o valor de r_poly e o erro padrão

# Extraia o valor de r_p
r_p<- polyserial_corr

# Tamanho da amostra
n <- length(dados$IMC)

# Calcule o valor do teste t para r_b
t_value <- r_p*sqrt((n - 2)/(1 - r_p^2))

# Calcule o valor-p para o teste t
p_value <- 2 * pt(-abs(t_value), df = n - 2)

# Resultados
cat("Correlação Polisserial aproximada (r_pa):", r_p, "\n")

Correlação Polisserial aproximada (r_pa): 0.09627237

Code

cat("Valor t:", t_value, "\n")

Valor t: 1.17667

Code

cat("Valor-p:", p_value, "\n")

Valor-p: 0.2412165

Escolhido o nível de significância ,geralmente 5 % (0,05).

Hípoteses do Teste :

$H_0: R_p = 0$

$H_1:R_p\neq0$

Possíveis interpretações

Se o valor $p \< 0,05$, rejeita-se $H_0$ e conclui-se que o coeficiente de correlação polissérico estimado é estattísticamente significativo .

Se o valor $p\>0,05$ , NÃO rejeita-se $H_0$ e conclui-se que o coeficiente de correlação polissérico estimado NÃO É estatísticamente significativo .

Conclusão: para o teste aplicado: De acordo com o teste t , não reijeitamos a hipótese de que o coeficiente possérico estimado é igual a zero , logo , concluímos que a correlação estimada não é estatisticamente significativa.

Correlação bisserial

Esse coeficiente é adequado se Fumante for dicotômica (com dois níveis, como “Sim” e “Não”). Ele mede a associação entre uma variável contínua (como IMC) e uma variável binária que se supõe representar uma divisão de uma variável latente normal subjacente. O coeficiente bisserial estima a correlação subjacente assumindo que a variável dicotômica resulta de uma “dichotomização” de uma distribuição normal.

Code

# Exemplo de dados para correlação bisserial
# Suponha uma variável contínua Y e uma variável dicotômica X
biserial_corr <- biserial.cor(dados$IMC, dados$Fumante)

biserial_corr

[1] 0.01596333

#### Testando a significância

Code

# Extraia o valor de r_poly e o erro padrão

# Extraia o valor de r_p
r_b<- biserial_corr

# Tamanho da amostra
n <- length(dados$IMC)

# Calcule o valor do teste t para r_b
t_value <- r_b*sqrt((n - 2)/(1 - r_b^2))

# Calcule o valor-p para o teste t
p_value <- 2 * pt(-abs(t_value), df = n - 2)

# Resultados
cat("Correlação Bisserial  (r_b):", r_b, "\n")

Correlação Bisserial  (r_b): 0.01596333

Code

cat("Valor t:", t_value, "\n")

Valor t: 0.1942271

Code

cat("Valor-p:", p_value, "\n")

Valor-p: 0.8462644

Testando a hipótese de Associação entre o hábito de fumar e atividade física - Teste Qui-quadrado

Pressuposições do Teste Qui-Quadrado

O teste qui-quadrado possui algumas pressuposições importantes que devem ser verificadas para garantir a validade do teste. Essas pressuposições são as seguintes:

Amostra Aleatória: A amostra de dados deve ser obtida por um processo de amostragem aleatória, garantindo que cada observação seja independente das outras.
Tamanho da Amostra Adequado: As frequências esperadas em cada célula da tabela de contingência devem ser maiores ou iguais a 5. Caso contrário, o teste qui-quadrado pode não ser apropriado.
Medida de Associação: O teste qui-quadrado mede a associação entre as variáveis, mas não indica a direção ou a magnitude dessa associação.
Variáveis Categóricas: As variáveis analisadas devem ser qualitativas (categóricas), e a análise se dá por meio de uma tabela de contingência.

Essas hipóteses e pressuposições são essenciais para realizar o teste qui-quadrado de forma correta e interpretar seus resultados adequadamente.

Hipóteses e Pressuposições para o Teste Qui-Quadrado

Nesta seção, descrevemos as hipóteses e as pressuposições envolvidas no teste qui-quadrado, aplicado para investigar a associação entre as variáveis “Fumar” e “Atividade Física”.

Hipóteses do Teste Qui-Quadrado

O teste qui-quadrado é utilizado para verificar se há uma associação entre duas variáveis qualitativas. No caso deste estudo, estamos interessados em avaliar a relação entre ser fumante e o nível de atividade física.

Hipótese Nula (H₀): As variáveis “Fumar” e “Atividade Física” são independentes, ou seja, a proporção de fumantes não difere entre os diferentes níveis de atividade física.

$ H_0:$ O hábito de fumar e Atividade Física são independentes. (Associação não significativa)

$ H_1:$ O hábito de fumar e Atividade Física são dependentes. (Associação significativa)

Code

tabela_contingencia <- table(dados$Fumante, dados$Atividade_Fisica)
 tabela_contingencia

     
      Alta Baixa Moderada
  Não   26    24       21
  Sim   26    23       30

Code

# Teste do Qui-Quadrado para verificar associação entre Fumar e Atividade Física
teste_qui <- chisq.test(tabela_contingencia)
teste_qui


    Pearson's Chi-squared test

data:  tabela_contingencia
X-squared = 1.1862, df = 2, p-value = 0.5526

Interpretação dos Resultados

Após realizar o teste qui-quadrado, avaliamos o valor-p obtido:

Se o valor-p for menor que o nível de significância (geralmente 0,05), rejeitamos a hipótese nula, o que indica que existe uma associação significativa entre “Fumar” e “Atividade Física”.
Se o valor-p for maior a 0,05, não rejeitamos a hipótese nula, ou seja, não temos evidências suficientes para concluir que as variáveis são dependentes.

Conclusão: De acordo com teste qui-quadrado , o hábito de fumo não está associado com Atividade física ao nível de 5 % de significância .

Relação entre Variáveis Quantitativas

Neste exemplo, apresentamos três tipos de relação linear: Correlação Positiva, Correlação Negativa e Ausência de Correlação. Abaixo, as figuras são exibidas lado a lado para facilitar a visualização.

Correlação entre Colesterol e Pressão Arterial

Code

ggplot(dados, aes(x = Colesterol, y = Pressão_Arterial)) +
  geom_point() +
  geom_smooth(method = "lm", col = "blue", se = FALSE) +
  labs(title = "Gráfico de Dispersão: Colesterol vs Pressão Arterial",
       x = "Colesterol",
       y = "Pressão Arterial") +
  theme_minimal()

`geom_smooth()` using formula = 'y ~ x'

Correlação de Pearson

Code

# Correlação de Pearson entre Colesterol e Pressão Arterial
correlacao <- cor(dados$Colesterol, dados$Pressão_Arterial)
correlacao

[1] 0.09856814

Hipóteses e Pressuposições para a Correlação de Pearson

Nesta seção, descrevemos as hipóteses e pressuposições para a aplicação da correlação de Pearson, que é usada para medir a relação linear entre duas variáveis quantitativas. No exemplo, investigamos a relação entre as variáveis “Colesterol” e “Pressão Arterial”.

Hipóteses da Correlação de Pearson

A correlação de Pearson avalia a força e a direção da relação linear entre duas variáveis contínuas. Suas hipóteses são definidas da seguinte maneira:

Hipótese Nula (H₀): Não existe correlação linear entre as duas variáveis; o coeficiente de correlação populacional é igual a zero.
Hipótese Alternativa (H₁): Existe uma correlação linear entre as duas variáveis; o coeficiente de correlação populacional é diferente de zero.

Pressuposições da Correlação de Pearson

Para que a correlação de Pearson seja aplicada corretamente, as seguintes pressuposições devem ser atendidas:

Linearidade: As duas variáveis devem apresentar uma relação linear. Isso pode ser verificado visualmente com um gráfico de dispersão. Se a relação entre as variáveis for não-linear, a correlação de Pearson não é adequada.
Normalidade: As duas variáveis devem ser aproximadamente normalmente distribuídas, especialmente se o tamanho da amostra for pequeno. Essa pressuposição pode ser verificada através de testes de normalidade ou gráficos como o Q-Q plot.
Teste de Shapiro Wilk

O teste de Shapiro-Wilk é usado para verificar a normalidade de uma distribuição, e ele testa as seguintes hipóteses:

Hipótese Nula (H₀): Os dados seguem uma distribuição normal.
Hipótese Alternativa (H₁): Os dados não seguem uma distribuição normal.

Code

# Q-Q plot
            qqnorm(dados$Colesterol, main = "Q-Q Plot para Verificação de Normalidade")
            qqline(dados$Colesterol, col = "red", lwd = 2)  # Adiciona a linha de referência

Code

# Exemplo de código em R para o teste de Shapiro-Wilk
shapiro.test(dados$Colesterol)


    Shapiro-Wilk normality test

data:  dados$Colesterol
W = 0.99304, p-value = 0.6833

Code

shapiro.test(dados$Pressão_Arterial)


    Shapiro-Wilk normality test

data:  dados$Pressão_Arterial
W = 0.99097, p-value = 0.4551

Homocedasticidade: A variância dos valores ao longo da linha de regressão deve ser constante, ou seja, a dispersão dos pontos deve ser similar para todos os valores das variáveis. Caso contrário, pode haver heterocedasticidade, o que viola esta pressuposição.

Code

  # Aplicando o teste de Bartlett
  bartlett.test(dados$Colesterol~dados$Atividade_Fisica)


    Bartlett test of homogeneity of variances

data:  dados$Colesterol by dados$Atividade_Fisica
Bartlett's K-squared = 0.466, df = 2, p-value = 0.7922

H0: afirma que todas as variâncias dos grupos são iguais. H1: sugere que pelo menos uma das variâncias é diferente.

Escala de Medição: Ambas as variáveis devem ser medidas em uma escala intervalar ou de razão (QUANTITATIVAS).

Cálculo e Interpretação da Correlação de Pearson

O coeficiente de correlação de Pearson (( r )) varia entre -1 e 1:

( r = 1 ): Correlação linear perfeita positiva.
( r = -1 ): Correlação linear perfeita negativa.
( r = 0 ): Nenhuma correlação linear.

Interpretação dos Resultados

A magnitude e a direção da correlação são determinadas pelo valor de ( r ):

Correlação forte: Quando ( r ) está próximo de -1 ou 1, indicando uma forte relação linear.
Correlação fraca: Quando ( r ) está próximo de 0, indicando uma fraca ou inexistente relação linear.
Significado do sinal: Se ( r ) for positivo, a relação entre as variáveis é direta (aumento de uma variável corresponde ao aumento da outra). Se ( r ) for negativo, a relação é inversa (aumento de uma variável corresponde à diminuição da outra).

Essas hipóteses e pressuposições são fundamentais para realizar a análise de correlação de Pearson corretamente e interpretar seus resultados de forma adequadaConclusão : O gráfico de pontos e coeficiente de correlação de Pearson (r) indicam que a correlação entre o nível de Colesterol e a Pressão arterial é fraca .

Code

# Testa se existe correlacao entre o consumo de sorvete e a temperatura
cor.test(
  x = dados$Colesterol, 
  y = dados$Pressão_Arterial, 
  method = "pearson"
)


    Pearson's product-moment correlation

data:  dados$Colesterol and dados$Pressão_Arterial
t = 1.205, df = 148, p-value = 0.2301
alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 -0.06268358  0.25480460
sample estimates:
       cor 
0.09856814

Após calcular a correlação, o valor-p associado ao teste pode ser utilizado para verificar a significância estatística:

Se o valor-p for menor que o nível de significância (geralmente 0,05), rejeitamos a hipótese nula e concluímos que existe uma correlação linear significativa entre as duas variáveis.
Se o valor-p for maior ou igual a 0,05, não rejeitamos a hipótese nula, o que indica que não há evidências suficientes de uma correlação linear significativa entre as variáveis.

Conclusão : De acordo com o teste de correlação, as variáveis Colesterol e Pressão arterial não estão correlacionadas significativamente, ao nível de 5% de significância

Matriz de correlação - Variáveis Misturadas

Code

#Transformando todas as variáveis em numéricas

dados$Idade <- as.numeric(dados$Idade)
dados$IMC <- as.numeric(dados$IMC)
dados$Atividade_Fisica <- as.numeric(dados$Atividade_Fisica)
dados$Fumante <-  as.numeric(dados$Fumante)
dados$Colesterol <- as.numeric(dados$Colesterol)
dados$Pressão_Arterial <- as.numeric(dados$Pressão_Arterial)
 names(dados)

[1] "Idade"            "IMC"              "Atividade_Fisica" "Fumante"         
[5] "Colesterol"       "Pressão_Arterial"

Code

library(psych)


Attaching package: 'psych'

The following object is masked from 'package:ltm':

    factor.scores

The following object is masked from 'package:polycor':

    polyserial

The following objects are masked from 'package:ggplot2':

    %+%, alpha

Code

Mmixed <- mixedCor(data=dados, p=3, c= c(1,2,5,6),d=4, smooth = F,correct = 0)

Code

Mmixed

Call: mixedCor(data = dados, c = c(1, 2, 5, 6), p = 3, d = 4, smooth = F, 
    correct = 0)

Warning in abbreviate(colnames(R), minlength = minlength): abbreviate used with
non-ASCII chars

                 Idade IMC   Atv_F Fumnt Clstr Prs_A
Idade             1.00                              
IMC              -0.16  1.00                        
Atividade_Fisica  0.11  0.10  1.00                  
Fumante           0.05 -0.02  0.10  1.00            
Colesterol        0.07 -0.13  0.09  0.02  1.00      
Pressão_Arterial -0.02 -0.02  0.07  0.05  0.10  1.00

Code

str(Mmixed)

List of 6
 $ rho  : num [1:6, 1:6] 1 -0.162 0.1075 0.0484 0.0688 ...
  ..- attr(*, "dimnames")=List of 2
  .. ..$ : chr [1:6] "Idade" "IMC" "Atividade_Fisica" "Fumante" ...
  .. ..$ : chr [1:6] "Idade" "IMC" "Atividade_Fisica" "Fumante" ...
 $ rx   : 'psych' num [1:4, 1:4] 1 -0.162 0.0688 -0.0164 -0.162 ...
  ..- attr(*, "dimnames")=List of 2
  .. ..$ : chr [1:4] "Idade" "IMC" "Colesterol" "Pressão_Arterial"
  .. ..$ : chr [1:4] "Idade" "IMC" "Colesterol" "Pressão_Arterial"
 $ poly :List of 2
  ..$ rho: num 1
  ..$ tau: NULL
 $ tetra:List of 2
  ..$ rho: num 1
  ..$ tau: NULL
 $ rpd  : num [1, 1] 0.103
  ..- attr(*, "dimnames")=List of 2
  .. ..$ : chr "Atividade_Fisica"
  .. ..$ : chr "Fumante"
 $ Call : language mixedCor(data = dados, c = c(1, 2, 5, 6), p = 3, d = 4, smooth = F, correct = 0)
 - attr(*, "class")= chr [1:2] "psych" "mixed"

Observação: Variáveis Poli, são variáveis categóricas com mais de dois níveis

A função mixedCor requer que todas as variáveis sejam de natureza numérica (Quantitativa).

Argumentos da função mixedCor:

p = posição de variáveis categóricas com mais de 2 níveis presentes no conjunto de dados;

c = posição variáveis contínuas no conjunto de dados;

d = posição variáveis categóricas com 2 níveis (dicotômica) presentes no conjuntos de dados.

Code

Rho<-Mmixed[["rho"]] #Considerando apenas os coeficientes de correlação (rho)
Rho<-round(Rho, 2) #Considerar 2 casas após a vírgula
Rho<-as.data.frame(Rho) #Transformando o conjunto com os valores do coenficiente em "planilha".

Code

library(ggcorrplot)
Correlogram<-ggcorrplot(Rho, type = "upper", lab = TRUE)

library(plotly)
Correlogram<-ggplotly(Correlogram)
Correlogram