Informació (abans de començar)

Aquest és un document Rmd (pronunciat Erra-Markdown). En documents Rmd podem combinar text i instruccions de R, que posarem en chunks de codi. A continuació tens un primer chunk de codi (el troç que apareix en gris)

dades_x = c(0, 10, 20, 30)
dades_y = c(10, 100, 200, 350)
plot(dades_x, dades_y)

A l’extrem d’adalt a la dreta del chunk trobaràs dos botons:

Per acabar, tens disponible un botó que s’anomena Knit (barra superior, cap a l’esquerra). Aquest botó interpreta el document des del principi fins el final, i genera un document .html a la mateixa carpeta on has guardat el fitxer .Rmd. Fes click ara al botó Knit, i visualitza el document .html que es genera.

Comandes d’exemple

A continuació us adjuntem algunes comandes que podeu utilitzar per a resoldre el taller R:

dades_x = c(0, 10, 20, 30)
dades_y = c(10, 100, 200, 350)
model_lineal = lm(dades_y ~ dades_x)
summary(model_lineal)
## 
## Call:
## lm(formula = dades_y ~ dades_x)
## 
## Residuals:
##   1   2   3   4 
##  13  -9 -21  17 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)   
## (Intercept)  -3.0000    18.5203  -0.162  0.88620   
## dades_x      11.2000     0.9899  11.314  0.00772 **
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 22.14 on 2 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.9846, Adjusted R-squared:  0.9769 
## F-statistic:   128 on 1 and 2 DF,  p-value: 0.007722
plot(dades_x, dades_y)
abline(model_lineal, col="red")
curve(0.75 * x^1.8, col="blue", add=TRUE)

Taller 01

En un parc nacional s’ha començat a estudiar el creixement poblacional d’una espècie de cérvols introduïda a l’àrea l’any 2000. S’ha recopilat informació sobre la població de cérvols cada cert nombre d’anys, i es vol analitzar l’evolució d’aquesta població per preveure el seu comportament futur:

# Introduïm les dades
t = c(2, 4, 6, 8, 10, 12)
p = c(50, 70, 85, 120, 150, 190)

# Les mostrem
cbind(t, p)
##       t   p
## [1,]  2  50
## [2,]  4  70
## [3,]  6  85
## [4,]  8 120
## [5,] 10 150
## [6,] 12 190

on t és el nombre d’anys que han passat des del 2000, i p és la quantitat d’exemplars.

[2 punts] Quin és el millor model lineal de \(p\) en funció de \(t\)? Calcula els valors dels paràmetres a, b més adequats. Reflecteix el càlcul en l’informe Rmd.

El mejor modelo lineal de \(p\) en función de \(t\) es: \(p=a*t+b\)

model_lineal = lm(p ~ t)
summary(model_lineal)
## 
## Call:
## lm(formula = p ~ t)
## 
## Residuals:
##        1        2        3        4        5        6 
##   8.8095   0.9524 -11.9048  -4.7619  -2.6190   9.5238 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)   13.333      8.589   1.552 0.195523    
## t             13.929      1.103  12.631 0.000226 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 9.226 on 4 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.9755, Adjusted R-squared:  0.9694 
## F-statistic: 159.5 on 1 and 4 DF,  p-value: 0.0002262

Los parámetros a y b más adecuados son: 13.927 para a y 13.333 para b

\(p=13.929*t+13.333\)

Què indica cada constant? Reflecteix aquesta interpretació en un informe Rmd.

la constante “a” determina la pendiente, es decir, que tanto crece la población el eje y con respecto al eje x, en este caso, el incremento es directamente proporcional. Por otra parte, la constate “b” se refiere a en que momento el modelo de la poblacion se intersecta con el eje Y.

Traça amb R una gràfica lineal on també aparegui el model demanat.

plot(t, p)
abline(model_lineal, col="red")

[2 punts] Quin és el millor model exponencial de \(p\) en funció de \(t\)? Calcula els valors dels paràmetres alpha, beta més adequats. Reflecteix el càlcul en l’informe Rmd.

El mejor modelo exponencial de \(p\) en función de \(t\) es: \(p=α*β^t\)

N=log(p)
model_lineal2 = lm(N ~ t)
summary(model_lineal2)
## 
## Call:
## lm(formula = N ~ t)
## 
## Residuals:
##         1         2         3         4         5         6 
## -0.031297  0.039282 -0.032456  0.046492  0.003742 -0.025763 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) 3.677427   0.037282   98.64 6.33e-08 ***
## t           0.132947   0.004787   27.77 1.00e-05 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.04005 on 4 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.9948, Adjusted R-squared:  0.9936 
## F-statistic: 771.5 on 1 and 4 DF,  p-value: 9.995e-06
α_1 = exp(3.677)
β_1 = exp(0.1329)

Los parámetros alpha y beta más adecuados son: 39.527633 para alpha y 1.142135 para beta

\(p=39.5276 * 1.1421^t\)

Traça amb R una gràfica semi-log on també aparegui el model demanat.

plot(t,p,log = "y")
curve(39.5276 * 1.1421^x, col="blue", add=TRUE)

Traça amb R una gràfica lineal on també aparegui el model demanat.

plot(t, p)
curve(39.5276 * 1.1421^x, col="blue", add=TRUE)

[2 punts] Quin és el millor model potencial de \(p\) en funció de \(t\)? Calcula els valors dels paràmetres alpha, beta més adequats. Reflecteix el càlcul en l’informe Rmd.

El mejor modelo potencial de \(p\) en función de \(t\) es:\(p=t^α*β\)

A=log(t)
model_lineal3 = lm(N ~ A)
summary(model_lineal3)
## 
## Call:
## lm(formula = N ~ A)
## 
## Residuals:
##        1        2        3        4        5        6 
##  0.10840 -0.06362 -0.16692 -0.03313  0.02632  0.12895 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)  3.29512    0.15884  20.745 3.19e-05 ***
## A            0.73361    0.08408   8.725  0.00095 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.1246 on 4 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.9501, Adjusted R-squared:  0.9376 
## F-statistic: 76.13 on 1 and 4 DF,  p-value: 0.0009504
α_2=0.73361
β_2=exp(3.295)

los parámetros alpha y beta más adecuados son: 0.73361 para alpha y 26.97741 para beta

\(p=t^(0.73361)*26.97741\)

plot(t, p)
curve(26.977 * x^0.73361, col="blue", add=TRUE)

Traça amb R una gràfica log-log on també aparegui el model demanat.

plot(t,p,log = "xy")
curve(26.977 * x^0.73361, col="blue", add=TRUE)

Traça amb R una gràfica lineal on també aparegui el model demanat.

plot(t,p)
curve(26.977 * x^0.73361, col="blue", add=TRUE)

[2 punts] Model malthusià pur (I).

Quin és aquest model? És a dir, quins són els paràmetres \(x_0, q\) de la successió que satisfà que \(x_2 = 50\), que \(x_{14} = 240\) i que \(x_{n+1} = x_n \cdot q\)?

\(x_{n} = q^n*x_{0}\)

\(ln(x_{n}) = n*(ln(q)) + ln(x_{0})\)

\(p = t*ln(q) + ln(x_{0})\)

\(50= x_{2} = q^2*x_{0}\) \(240 = x_{14} = q^(14) *x_{0}\)

\(x_{0} = 50/q^2\)

\(q^(14)*50/q^2 = 250\)

\(q^(12) = 50/250\)

\(q^(12) = 5\)

\(q= 5^(1/12)\)

\(q ≈ 1.14353\)

\(x_{0} = 50/1.14353^2\)

\(x_{0} = 38.23621\)

\(x_{0} ≈ 38\) ciervos

Segons aquest model, quants exemplars trobarem l’any 2024? I l’any 2004?

q = 1.14
X = 38.23
x2004 = q^4*X
x2024 = q^(24)*X

el modelo maltusiano indica que en el año 2004 habrán 65 ciervos. Además, en el año 2024 habrán 887 ciervos

[2 punts] Comparació entre models

Dels tres primers models (lineal, exponencial, potencial): Quin és el millor? Per què?

Para saber cual modelo de población es el mejor o más acertado, se debe observar el coeficiente \(R^2\). Teniendo en cuenta esto, el coeficiente del primer modelo es de \(0.9755\), el del segundo es de \(0.9948\), y el último es de \(0.9501\), por lo que se puede afirmar que el modelo exponencial es el que mejor describe el comportamiento de la población

Compara el segon model (dependència exponencial) amb el quart model (model malthusià). Per què els coeficients són semblants però diferents?

El modelo de ependencia exponencial tiene una formula parecida al modelo malthusiano, ya que ambos obedecen a la forma \(y=a*b^x\), en este caso \(p=α*β^t\). Pero se diferencian en que el malthusiano, sus coeficientes hacen alusión a la población inicial de ciervos(en este caso) y “q” represente el factor de crecimiento. Mientras que en el modelo exponencial, alpha y beta son constantes.