Apoyo - Clase 05 - Introducción a las probabilidades (Parte 03)

1. Introducción

Técnicas de conteo son herramientas fundamentales en la teoría de probabilidades y la combinatoria, que nos permiten calcular la cantidad de formas en que se pueden organizar o seleccionar elementos en un conjunto. En esta clase, exploraremos dos conceptos clave: permutaciones y combinaciones (Montgomery and Runger 2018).

Las permutaciones se refieren al número de formas en que se pueden organizar un conjunto de elementos, teniendo en cuenta el orden. Esto es especialmente útil en situaciones donde el orden de los elementos es relevante. Por otro lado, las combinaciones se utilizan cuando el orden no es importante, permitiéndonos calcular el número de formas en que se pueden seleccionar elementos de un grupo sin considerar el orden.

Durante esta guía, abordaremos cómo aplicar estas técnicas a problemas prácticos, desarrollando las fórmulas necesarias y resolviendo ejemplos que ilustran cómo usar permutaciones y combinaciones para contar de manera efectiva.

2. Definiciones

2.1 Cómo abordar un problema

Antes de abordar problemas relacionados con combinaciones y permutaciones, es esencial considerar ciertos puntos que facilitarán la comprensión y resolución de estos problemas:

Tamaño de población \(n\)
- El tamaño de la población se refiere al número total de elementos disponibles en el conjunto. Conocer este número es crucial, ya que determinará las combinaciones o permutaciones posibles.
Tamaño de muestra \(r\)
- El tamaño de la muestra se refiere a cuántos elementos se seleccionarán del conjunto. Este número influye directamente en el cálculo de combinaciones o permutaciones, ya que puede variar la cantidad de formas en que se pueden elegir los elementos.
¿Importa el orden?
- Es importante definir si el orden de selección de los elementos es relevante. Si el orden importa, se utilizan permutaciones; si no, se utilizan combinaciones. Esta distinción es fundamental para aplicar la fórmula correcta.
¿Se puede repetir?
- Considerar si los elementos pueden ser seleccionados más de una vez es crucial. Si la repetición está permitida, se aplican combinaciones o permutaciones con repetición. Si no se permite, se utilizan las versiones sin repetición de estas.

Para abordar un problema relacionado con combinaciones o permutaciones, sigue estos pasos:

Identifica el contexto: comprende el escenario presentado en el problema y cuáles son los elementos involucrados.
Define \(n\) y \(r\): establece el tamaño de la población \(n\) y el tamaño de la muestra \(r\).
Determina el tipo de problema:
- Si el orden importa: utiliza permutaciones.
- Si el orden no importa: utiliza combinaciones.
- Evalúa si se permite la repetición de elementos.
Aplica la fórmula adecuada: usa las fórmulas correspondientes para calcular el número de combinaciones o permutaciones basadas en las condiciones definidas.
Interpreta el resultado: una vez que hayas calculado el resultado, asegúrate de entender su significado en el contexto del problema.

2.2. Combinaciones

Las combinaciones son una forma de seleccionar elementos de un conjunto donde el orden de selección no importa. En matemáticas, se denotan como \(C(n, r)\), donde \(n\) representa el número total de elementos en el conjunto y \(r\) representa el número de elementos que se seleccionan.

Problema 1. Combinaciones sin repetición

En este problema, exploramos el concepto de combinaciones sin repetición, donde se eligen elementos de un conjunto sin permitir que se repitan. Esto significa que el mismo elemento no puede ser seleccionado más de una vez.

Definición

Una combinación sin repetición es una selección de elementos de un conjunto donde el orden no importa, y no se permiten elementos duplicados. La fórmula para calcular el número de combinaciones sin repetición se expresa como:

\[ C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!} \]

Donde:

\(n\) es el tamaño de la población (total de elementos en el conjunto).
\(r\) es el tamaño de la muestra (número de elementos seleccionados).
\(!\) denota el factorial, que es el producto de todos los números enteros positivos hasta \(n\).

Ejemplo

Imaginemos que un grupo de investigadores de informática quiere seleccionar 3 algoritmos de un conjunto de 8 algoritmos diferentes para un proyecto de aprendizaje automático. En este caso, estamos interesados en calcular cuántas combinaciones diferentes de 3 algoritmos pueden seleccionarse de los 8 disponibles.

Aquí, tenemos:

\(n = 8\) (algoritmos disponibles)
\(r = 3\) (algoritmos seleccionados)

La solución a este problema nos dará el número total de maneras en que los investigadores pueden elegir 3 algoritmos del conjunto de 8 sin preocuparse por el orden de selección. Esto en código es:

# Definimos la función para calcular combinaciones
combinaciones_sin_repeticion <- function(n, r) {
  resultado <- factorial(n) / (factorial(r) * factorial(n - r))
  return(resultado)
}

# Definimos los valores de n y r
n <- 8  # Algoritmos disponibles
r <- 3  # Algoritmos seleccionados

# Calculamos el número de combinaciones
resultado <- combinaciones_sin_repeticion(n, r)

# Mostramos el resultado
resultado

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Problema 2. Combinaciones con repetición

En este problema, exploramos el concepto de combinaciones con repetición, donde se eligen elementos de un conjunto y se permite que se repitan. Esto significa que un mismo elemento puede ser seleccionado más de una vez.

Definición

Una combinación con repetición es una selección de elementos de un conjunto donde el orden no importa y se permiten elementos duplicados. La fórmula para calcular el número de combinaciones con repetición se expresa como:

\[ C(n, r) = \frac{(n + r - 1)!}{r!(n - 1)!} \]

Donde: - \(n\) es el tamaño de la población (total de elementos en el conjunto).

\(r\) es el tamaño de la muestra (número de elementos seleccionados).
\(!\) denota el factorial, que es el producto de todos los números enteros positivos hasta \(n\).

Ejemplo

Imaginemos que un grupo de estudiantes quiere elegir 3 sabores de helado de un total de 5 sabores disponibles para una fiesta. Es posible que seleccionen el mismo sabor más de una vez. En este caso, estamos interesados en calcular cuántas combinaciones diferentes de 3 sabores pueden seleccionarse de los 5 disponibles.

Aquí, tenemos:

\(n = 5\) (sabores de helado disponibles)
\(r = 3\) (sabores seleccionados)

La solución a este problema nos dará el número total de maneras en que los estudiantes pueden elegir 3 sabores de helado del conjunto de 5, permitiendo que se repita la selección de sabores.

Esto en código es:

# Cálculo de combinaciones con repetición
combinaciones_con_repeticion <- function(n, r) {
  resultado <- factorial(n + r - 1) / (factorial(r) * factorial(n - 1))
  return(resultado)
}

# Ejemplo
sabores <- 5  # Sabores de helado disponibles
seleccionados <- 3  # Sabores seleccionados

resultado <- combinaciones_con_repeticion(sabores, seleccionados)
resultado

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2.3. Permutaciones

Las permutaciones son una forma de seleccionar y organizar elementos de un conjunto donde el orden de selección sí importa. En matemáticas, se denotan como \(P(n, r)\), donde \(n\) representa el número total de elementos en el conjunto y \(r\) representa el número de elementos que se seleccionan y organizan. En el contexto de las permutaciones, cada selección de elementos es considerada única en función del orden en que se eligen, lo que las distingue de las combinaciones.

Problema 1. Permutaciones sin repetición

En este problema, exploramos el concepto de permutaciones sin repetición, donde se seleccionan y organizan elementos de un conjunto sin permitir que se repitan. Esto significa que el mismo elemento no puede ser seleccionado más de una vez.

Definición

Una permutación sin repetición es una disposición de elementos de un conjunto donde el orden es relevante y no se permiten elementos duplicados. La fórmula para calcular el número de permutaciones sin repetición se expresa como:

\[ P(n, r) = \frac{n!}{(n - r)!} \]

Donde:

\(n\) es el tamaño de la población (total de elementos en el conjunto).
\(r\) es el tamaño de la muestra (número de elementos seleccionados).
\(!\) denota el factorial, que es el producto de todos los números enteros positivos hasta \(n\).

Ejemplo

Imaginemos que un profesor de matemáticas quiere organizar 3 temas de un conjunto de 5 temas diferentes para una clase. En este caso, estamos interesados en calcular cuántas permutaciones diferentes de 3 temas pueden organizarse a partir de los 5 disponibles.

Aquí, tenemos:

\(n = 5\) (temas disponibles)
\(r = 3\) (temas seleccionados)

La fórmula para calcular las permutaciones sin repetición es:

\[ P(n, r) = \frac{n!}{(n - r)!} \]

Aplicando los valores:

\[ P(5, 3) = \frac{5!}{(5 - 3)!} = \frac{5!}{2!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 60 \]

Esto significa que hay 60 maneras diferentes de organizar 3 temas de un total de 5. Esto en código es:

# Definición de la función para calcular permutaciones sin repetición
mi_permutacion <- function(n, r) {
  resultado <- factorial(n) / factorial(n - r)
  return(resultado)
}

# Parámetros
n <- 5  # Temas disponibles
r <- 3  # Temas seleccionados

# Calculo de permutaciones
resultado <- mi_permutacion(n, r)
resultado

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Problema 2. Permutaciones con repetición

Las permutaciones con repetición son una forma de seleccionar elementos de un conjunto donde el orden de selección importa y se permiten elementos duplicados.

Definición

Las permutaciones con repetición se calculan utilizando la siguiente fórmula:

\[ P(n, r) = n^r \]

Donde:

\(n\) es el número total de elementos en el conjunto.
\(r\) es el número de elementos seleccionados.

Ejemplo

Supongamos que tenemos un conjunto de 4 letras: A, B, C y D. Queremos formar palabras de 3 letras, permitiendo que se repitan las letras. En este caso, el número de permutaciones con repetición se calcularía como:

\[ P(4, 3) = 4^3 = 64 \]

Esto significa que hay 64 combinaciones diferentes de palabras de 3 letras que se pueden formar con las letras A, B, C y D.

# Definición de la función para calcular permutaciones con repetición
mi_permutacion_repeticion <- function(n, r) {
  resultado <- n^r
  return(resultado)
}

# Parámetros
n <- 4  # Elementos disponibles (A, B, C, D)
r <- 3  # Elementos seleccionados

# Cálculo de permutaciones
resultado <- mi_permutacion_repeticion(n, r)
resultado

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4. Referencias

Montgomery, Douglas C., and George C. Runger. 2018. Applied Statistics and Probability for Engineers. 7th ed. Hoboken, NJ: Wiley.