Múltiplos Decrementos - Exercício
1ª Questão
Um modelo de múltiplo decremento com duas causas de decremento é
especificado pelas seguintes forças de decremento:
μx1(t) =
\(\frac{1}{100-(x+t)}\)
μx2(t) = \(\frac{2}{100-(x+t)}\) , dado que
t < 100-x
a) F.D.P. da distribuição conjunta - 𝑓T,J(t,j)
b) F.D.P. da distribuição marginal - 𝑓T(t)
c) F.D.P. da distribuição marginal - 𝑓J(j)
d) F.D.P. da distribuição condicional de J, dado um decremento no tempo t - 𝑓T|J(t|j)
e) Prepare uma tabela e desenhe o gráfico de t p x(τ) para t = 1, 2, …, 10 e para x = 50.
f) Prepare uma tabela e desenhe o gráfico de t q x(1) e t q x(2) para t = 1, 2, …, 10 e para x = 50.
g) Encontre a distribuição de J(x) para x = 50.
h) Encontre a distribuição condicional de J(x) dado T(x) = 10 para x = 50.
Respostas:
a) F.D.P. da
distribuição conjunta - 𝑓T,J(t,j)
Substituindo o valor x = 50 nas forças de
decremento encontramos:
\[
\mu_{50}^1(t) = \frac{1}{50-t} \] \[
\mu_{50}^2(t) = \frac{2}{50-t} \] temos que:
\[ _tp_x^\tau(t) = \large{e^{-\int{^t_0
\frac{3}{100-(x-t)}dt}}} \]
resolvendo a integral:
\[
_tp_x^\tau(t) = \large{e^{3[\ln|50-t|-\ln(50)]}} \]
porém,
temos dado pela questão que t < 100-x , ou seja, podemos eliminar o
módulo da expressão, resultando em:
\[ =
\large{e^{3[\ln(50-t)-\ln(50)]}} \]
aplicando a propriedade
do ln da diferença:
\[
\large{e^{3\cdot \ln\left(\frac{50-t}{50}\right)}} \rightarrow
\left[e^{\ln\left(\frac{50-t}{50}\right)}\right]^3 \]
aplicando a propriedade \(e^{\ln\left(x\right)} = x\)
temos:
\[ \left (\frac{50-t}{50}\right)^3 \]
Concluimos que:
\[
\frac{(50-t)^{3}}{50^{3}} \cdot \frac{1}{50-t}\ \ \ , \ para \ \ \ \ j =
1\] \[ \frac{(50-t)^{3}}{50^{3}} \cdot
\frac{2}{50-t}\ \ \ , \ para \ \ \ \ j = 2\]
b) F.D.P. da distribuição marginal - 𝑓T(t)
\[ 𝑓_T(t) = \sum_{j = 1}^{2}{𝑓_{T,j}(t,j) = 𝑓_{T,1}
+ 𝑓_{T,2}} \] Substituindo os valores na fórmula acima, temos:
\[ = \frac{(50-t)^{2}}{50^{3}} + \frac{2
\cdot (50-t)^{2}}{50^{3}} = \boxed{\frac{3 \cdot (50-t)^{2}}{50^{3}}}
\] c) F.D.P. da distribuição marginal - 𝑓J(j)
\[ 𝑓_J(j) = \int_{0}^{50}{𝑓_{T,j}(t,j) dt}
\] Substituindo os valores encontrados na expressão acima, temos:
\[ 𝑓_J(j) = \int_{0}^{50}{\frac{j \cdot
(50-t)^{2}}{50^{3}}} \] \[𝑓_J(1) =
\int_{0}^{50}{\frac{ (50-t)^{2}}{50^{3}}} = \boxed{\frac{1}{3}}
\] \[ 𝑓_J(2) = \int_{0}^{50}{\frac{2
\cdot (50-t)^{2}}{50^{3}}} = \boxed{\frac{2}{3}} \]
d) F.D.P. da distribuição condicional de J, dado um
decremento no tempo t - 𝑓T|J(t|j)
\[ 𝑓_{J|T} (j|t) = \frac{𝑓_{T,j}
(t,1)}{𝑓_{T}(t)} \] \[ 𝑓_{J|T} (j|t) =
\require{cancel}
\frac{\frac{(50-t)^2}{50^3}}{\frac{3\cdot(50-t)^2}{50^3}} =
\frac{\cancel{(50-t)^2}}{\cancel{50^3}} \cdot \frac{\cancel{50^3}}{3
\cdot \cancel{(50-t)^2}} = \boxed{\frac{1}{3}} \ \ \ para\ \ j = 1
\] \[ 𝑓_{J|T} (j|t) = \require{cancel}
= \frac{2 \cdot\cancel{(50-t)^2}}{\cancel{50^3}} \cdot
\frac{\cancel{50^3}}{3 \cdot \cancel{(50-t)^2}} = \boxed{\frac{2}{3}} \
\ \ para\ \ j = 2 \] e) Prepare uma tabela e
desenhe o gráfico de t p
x(τ) para t = 1, 2, …, 10 e para x = 50.
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| t | tpx |
|---|---|
| 1 | 0.941192 |
| 2 | 0.884736 |
| 3 | 0.830584 |
| 4 | 0.778688 |
| 5 | 0.729000 |
| 6 | 0.681472 |
| 7 | 0.636056 |
| 8 | 0.592704 |
| 9 | 0.551368 |
| 10 | 0.512000 |
f) Prepare uma tabela e desenhe o gráfico de t q x(1) e
t q
x(2) para t = 1, 2, …, 10 e para x = 50.
| t | tq50_1 |
|---|---|
| 1 | 0.0196027 |
| 2 | 0.0384213 |
| 3 | 0.0564720 |
| 4 | 0.0737707 |
| 5 | 0.0903333 |
| 6 | 0.1061760 |
| 7 | 0.1213147 |
| 8 | 0.1357653 |
| 9 | 0.1495440 |
| 10 | 0.1626667 |
| t | tq50_2 |
|---|---|
| 1 | 0.0392053 |
| 2 | 0.0768427 |
| 3 | 0.1129440 |
| 4 | 0.1475413 |
| 5 | 0.1806667 |
| 6 | 0.2123520 |
| 7 | 0.2426293 |
| 8 | 0.2715307 |
| 9 | 0.2990880 |
| 10 | 0.3253333 |
g) Encontre a distribuição de J(x) para x = 50.
\[ P(J(50) = 1) =
\frac{\mu_{50}^{1}}{\mu_{50}^{1}+\mu_{50}^{2}} \] \[ P(J(50) = 2) =
\frac{\mu_{50}^{2}}{\mu_{50}^{1}+\mu_{50}^{2}} \] \[ P(J(50) = 1) = \boxed{\frac{1}{3}} \]
\[ P(J(50) = 2) = \boxed{\frac{2}{3}}
\]
\[ f_{j|T}(j(x)|10) = \frac{u(x+t)^{(j)}}{u(x+t)^{(\tau)}} \] \[ T(x) = j(x) - x \] \[ \therefore \ \ \ T(x) = 10 ; \ \ \ x = 50 \] \[ f_{j|T}(j | T) = \frac{u_{60}(10)^{j}}{u_{60}(10)^\tau} \] \[ u_{60}(10)^{1} = \frac{1}{100-(50+10)} = \frac{1}{40} \] \[ u_{60}(10)^{2} = \frac{2}{100-(50+10)} = \frac{2}{40} \] \[ u_{60}(10)^{\tau} = \frac{1}{40}+\frac{2}{40} = \frac{3}{40} \] \[ f_{1|T}(j|t) = \frac{\frac{1}{40}}{\frac{3}{40}} = \boxed{\frac{1}{3}} \] \[ f_{2|T}(j|t) = \frac{\frac{2}{40}}{\frac{3}{40}} = \boxed{\frac{2}{3}} \]
2ª Questão
Elabore uma tábua de serviço para um grupo de 100 funcionários da
empresa X, que participam do seu fundo de pensão. Considere que todos
tenham a idade de 30 anos, o plano tenha taxa de juros de 6% a.a. e as
seguintes taxas decrementais como hipóteses demográficas do plano:
I. Mortalidade: AT-2000 Male;
II. Entrada em invalidez: ALVARO
VINDAS;
III. Rotatividade: função monótona não crescente por idade
no valor de 2% até 50 anos;
IV. Aposentadoria, segundo as
probabilidades assumidas pela entidade fechada de previdência
complementar, no período de 1998 a 2003:
a) Calcule a probabilidade de entrada em invalidez para a idade de 45 anos.
b) O número de ativos que provavelmente entraram em invalidez aos 45 anos e irão sobreviver.
c) Para um indivíduo de idade x = 48 anos, calcule o prêmio único de um seguro temporário de 10 anos (B = 1) que cobre a sua saída do fundo de pensão por todas as causas.
Respostas:
Antes de responder os itens, vamos desenvolver a tábua multidecremental para auxiliar nas resoluções:
| Idade | AT-2000 Male | Aposentadoria | Alvaro Vindas | Rotatividadde |
|---|---|---|---|---|
| 30 | 0.000784 | 0 | 0.000605 | 0.02 |
| 31 | 0.000789 | 0 | 0.000615 | 0.02 |
| 32 | 0.000789 | 0 | 0.000628 | 0.02 |
| 33 | 0.000790 | 0 | 0.000643 | 0.02 |
| 34 | 0.000791 | 0 | 0.000660 | 0.02 |
Nota: Para diferenciar os riscos brutos dos riscos
competitivos utilizamos a seguinte notação:
Se considerarmos que os riscos expressos na tabela acima —
representados pelas taxas brutas decrementais — concorrem entre si,
podemos encontrar as taxas decrementais abaixo:
Considerando Mortalidade como risco primário:
\[ \small{Q_x^{(1)[4]} = q_x^{(1)} \left[1-\frac{1}{2}\left(q_x^{(2)}+q_x^{(3)}+q_x^{(4)}\right)+\frac{1}{3}\left(q_x^{(2)}\cdot q_x^{(3)}+ q_x^{(2)} \cdot q_x^{(4)}+q_x^{(3)} \cdot q_x^{(4)}\right)-\frac{1}{4} \left(q_x^{(2)}\cdot q_x^{(3)} \cdot q_x^{(4)}\right)\right]} \] Considerando Aposentadoria como risco primário:
\[ \small{Q_x^{(2)[4]} = q_x^{(2)} \left[1-\frac{1}{2}\left(q_x^{(1)}+q_x^{(3)}+q_x^{(4)}\right)+\frac{1}{3}\left(q_x^{(1)}\cdot q_x^{(3)}+ q_x^{(1)} \cdot q_x^{(4)}+q_x^{(3)} \cdot q_x^{(4)}\right)-\frac{1}{4} \left(q_x^{(1)}\cdot q_x^{(3)} \cdot q_x^{(4)}\right)\right]} \] Considerando Invalidez como risco primário: \[ \small{Q_x^{(3)[4]} = q_x^{(3)} \left[1-\frac{1}{2}\left(q_x^{(2)}+q_x^{(1)}+q_x^{(4)}\right)+\frac{1}{3}\left(q_x^{(2)}\cdot q_x^{(1)}+ q_x^{(2)} \cdot q_x^{(4)}+q_x^{(1)} \cdot q_x^{(4)}\right)-\frac{1}{4} \left(q_x^{(2)}\cdot q_x^{(1)} \cdot q_x^{(4)}\right)\right]} \] Considerando Rotatividade como risco primário: \[ \small{Q_x^{(4)[4]} = q_x^{(4)} \left[1-\frac{1}{2}\left(q_x^{(2)}+q_x^{(3)}+q_x^{(1)}\right)+\frac{1}{3}\left(q_x^{(2)}\cdot q_x^{(3)}+ q_x^{(2)} \cdot q_x^{(1)}+q_x^{(3)} \cdot q_x^{(1)}\right)-\frac{1}{4} \left(q_x^{(2)}\cdot q_x^{(3)} \cdot q_x^{(1)}\right)\right]} \] Para todas as causas: \[ Q_x^{(\tau)} = \sum_{j = 1}^4 (Q_x^{(j)}) \]
A partir das taxas decrementais acima acima e considerando que a
raiz da tábua é l30 = 100 nós
podemos encontrar os seguintes valores para dx (número de pessoas que deixaram o
grupo):
- Decremento 1 (Mortalidade):
\[ d_x^{(1)} = Q_x^{(1)[4]} \cdot l_x^\tau \]
- Decremento 2 (Aposentadoria):
\[ d_x^{(2)} = Q_x^{(2)[4]} \cdot l_x^\tau \]
- Decremento 3 (Invalidez):
\[ d_x^{(3)} = Q_x^{(3)[4]} \cdot l_x^\tau \]
- Decremento 4 (Rotatividade):
\[ d_x^{(4)} = Q_x^{(4)[4]} \cdot l_x^\tau \]
Valor para todos os decrementos:
\[ d_x^{(\tau)} = \sum_{j = 1}^4 (d_x^{(j)}) \ \ \ \ ou \ \ \ \ d_x^{(\tau)} = Q_x^{(\tau)[4]} \cdot l_x^\tau \] Por fim, podemos encontrar os valores do lx(τ):
\[ l_x^{(\tau)} = l_{x-1}^{(\tau)} - d_{x-1}^{(\tau)} \]
a) Calcule a probabilidade de entrada em invalidez
para a idade de 45 anos.
Para achar a probabilidade de uma pessoa de idade de 45 anos se invalidar, foi utilizada a seguinte fórmula:
\[ Q_x^j = \frac{d_x^{(j)}}{l_x^{\tau}}
\rightarrow Q_{45}^{(3)[4]} = \frac{d_{45}^{(3)}}{l_{45}^{\tau}}
\] Obtemos os seguintes valores:
| Idade | qx(3) |
|---|---|
| 45 | 0.0011611 |
\[ \boxed{Q_{45}^{(3)[4]} = 0,0011611} \]
Portanto, o valor encontrado para que a pessoa de idade de 45 anos entre em invalidez é de ≈ 0,11611%.
Nota: O resultado levou em consideração que as causas para
o participante deixar o grupo concorrem entre si. As saídas de
participantes que ocorreriam se cada causa atuasse por si só diferem
daquelas que ocorrem quando todas as causas competem entre si. Nesse
caso, se considerarmos cada causa agindo por si só, nós teriámos como
resultado a própria probabilidade dada pela tábua ALVARO VINDAS na idade
45.
b) O número de ativos que provavelmente entraram em
invalidez aos 45 anos e irão sobreviver.
\[ l_{45}^{ai} = p_{45}^{ai} \cdot
l_{45}^{\tau} \] Porém, temos que:
\[ p_x^{ai} = i_x \cdot \left (1 -
\frac{1}{2} \cdot q_x^i\right ) \] Obtendo o valor de pxai:
| Idade | AT-2000 Male | qx(4) | pxai |
|---|---|---|---|
| 45 | 0.001174 | 0.0199688 | 0.0011733 |
Substituindo o valor encontrado na fórmula, encontramos o valor de
lxai:
| Idade | lxtau | pxai | lxai |
|---|---|---|---|
| 45 | 71.9214 | 0.0011733 | 0.0843867 |
\[ \boxed{l_{45}^{ai} = 0,0843867} \]
Portanto, o numero de pessoas que entraram em invalidez e sobreviveram ≈ 0,0844
c) Para um indivíduo de idade x = 48 anos,
calcule o prêmio único de um seguro temporário de 10 anos (B = 1) que
cobre a sua saída do fundo de pensão por todas as causas.
\[ \Pi = B \cdot A^1_{x:n⃧} = \sum_{t=0}^{n-1}
v^{t+1} \cdot _{t|}q_x^{(\tau)} \] Considerando que a taxa de
juros do plano seja de 6% e se trata de um seguro temporário de 10 anos,
temos:
\[ \Pi = 1 \cdot A^1_{48:{10}\large⃧} = \sum_{t=0}^{9} v^{t+1} \cdot _{t|}q_{48}^{(\tau)} \] \[ \Pi = 1 \cdot A^1_{48:{10}\large⃧} = \sum_{t=0}^{9} \left(\frac{1}{1+0,06}\right)^{t+1} \cdot \left(\frac{l_{x+t}^\tau-l_{x+t+1}^\tau}{l_x^\tau}\right) \] Com isso obtemos os seguintes resultados:
| Idade | t | vt+1 | t|qx | t|qx*vt+1 | Axn |
|---|---|---|---|---|---|
| 48 | 0 | 0.9433962 | 0.0241619 | 0.0227943 | 0.0227943 |
| 49 | 1 | 0.8899964 | 0.0239923 | 0.0213531 | 0.0441474 |
| 50 | 2 | 0.8396193 | 0.0238380 | 0.0200149 | 0.0641622 |
| 51 | 3 | 0.7920937 | 0.0052466 | 0.0041558 | 0.0683180 |
| 52 | 4 | 0.7472582 | 0.0057231 | 0.0042766 | 0.0725947 |
| 53 | 5 | 0.7049605 | 0.0062352 | 0.0043956 | 0.0769902 |
| 54 | 6 | 0.6650571 | 0.0067828 | 0.0045109 | 0.0815011 |
| 55 | 7 | 0.6274124 | 0.0970333 | 0.0608799 | 0.1423810 |
| 56 | 8 | 0.5918985 | 0.0311749 | 0.0184524 | 0.1608334 |
| 57 | 9 | 0.5583948 | 0.0305817 | 0.0170767 | 0.1779100 |
\[ \boxed{\Pi = 0,1779100\ \ u.m.} \] Portanto, o valor do prêmio único pago pelo indivíduo de idade 48, coberto pela sua saída do grupo idependente da causa é de ≈ 0,1779 unidades monetárias.