1. Ecuación de la circunferencia.

1.1. Definición.

Toda \(\text{circunferencia}\) con centro \((x_1,y_1)\) y radio \(r\), se define mediante la ecuación:

\((x-x_1)^2+(y-y_1)^2=r^2\)

Ejemplo (a)

Determinar la ecuación de la circunferencia \(C\) con centro \(O(2,3)\) y radio \(7\).

Análisis
  1. Para construir la ecuación de una circunferencia se requiere conocer las coordenadas de su centro y la medida de su radio, los que deben ser reemplazados en la ecuación \((x-x_1)^2+(y-y_1)^2=r^2\)

\((1)\) \((x_1,y_1)=(2,3) \land r=7\) \((2)\) \((x-x_1)^2+(y-y_1)^2=r^2\)

\(\phantom{(2)}\Rightarrow\) \((x-2)^2+(y-3)^2=7^2\)

\(\phantom{(2)}\Rightarrow\) \((x-2)^2+(y-3)^2=49\)

Ejemplo (b)

Determinar la ecuación de la circunferencia \(C\) con centro \(O(0,0)\) y que contiene al punto \(P(3,4)\).

Análisis
  1. Para construir la ecuación de una circunferencia se requiere conocer las coordenadas de su centro y la medida de su radio. Sin embargo, en el ejercicio no se específica la medida del radio.

  2. La distancia entre el centro de la circunferencia y cualquier punto de la circunferencia corresponde a la medida del radio.

  3. La distancia entre dos

\((1)\) \((x_1,y_1)=(0,0) \land (3,4)\in C\)

\((2)\) \(d(O,P)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\)

\(\phantom{(2)}\Rightarrow\) \(d(O,P)=\sqrt{(3-0)^2+(4-0)^2}\)

\(\phantom{(2)}\Rightarrow\) \(\phantom{d(O,P)}=\sqrt{3^2+4^2}\)

\(\phantom{(2)}\Rightarrow\) \(\phantom{d(O,P)}=\sqrt{9+16}\)

\(\phantom{(2)}\Rightarrow\) \(\phantom{d(O,P)}=\sqrt{25}\)

\(\phantom{(2)}\Rightarrow\) \(\phantom{d(O,P)}=5\)

\((4)\) \((x_1,y_1)=(0,0) \land r=5\)

\((5)\) \((x-x_1)^2+(y-y_1)^2=r^2\)

\(\phantom{(5)}\Rightarrow\) \((x-0)^2+(y-0)^2=5^2\)

\(\phantom{(5)}\Rightarrow\) \(x^2+y^2=25\)