Introducción

En el cálculo multivariable, la derivación parcial es el proceso de derivar una función respecto a una variable, manteniendo constantes las demás.

Es una herramienta fundamental en la optimización y en el análisis de funciones de múltiples variables.

Notación de la Derivada Parcial

Si \(f(x_1, x_2, ..., x_n)\) es una función de varias variables, la derivada parcial de \(f\) respecto a la variable \(x_j\) se denota por:

\[\frac{\partial f(\bullet)}{\partial x_j}\]
También podemos escribir la derivada parcial así:
\[ f_x \] O también: \(f_1\)
Es decir que: \[\frac{\partial f(\bullet)}{\partial x_j}\equiv f_{x_j}\equiv f_1\]
Donde solo derivamos con respecto a \(x_j\), y tratamos a las demás variables como constantes.

Nota: Se ha usado la notación “\(\bullet\)” para abreviar el conjunto de argumentos de la función: \(x_1,x_2,...,x_n\)

1. Regla de la Derivada del multiplo de una Constante por una Función

La regla de la derivada de la constante por una función establece que si una función \(f(x_1,x_2,...,x_n)\) está multiplicada por una constante \(c\), entonces la derivada parcial de \(c \cdot f(x_1,x_2,...,x_n)\) es simplemente \(c\) multiplicada por la derivada de \(f(x)\).

\[\frac{\partial}{\partial x_j} [\color{red}{c} \cdot f(x_1,x_2,...,x_n)] = \color{red}{c} \cdot \frac{\partial f(x)}{\partial x_j}\]

2. Regla de la derivada de suma/diferencia de funciones.

Si \(f(x_1,x_2,...,x_n)\) es la suma y/o diferencia de funciones, entonces la derivada parcial de \(f\) respecto a \(x_j\) será suma y/o diferencia de las derivadas de cada uno de las términos.

Sí \[f(x_1,x_2,...,x_n)=\color{blue}{g(x_1,x_2,...,x_n)}\pm \color{magenta}{h(x_1,x_2,...,x_n)}\]

Entonces:

\[ \frac{\partial f(\bullet)}{\partial x_j}=\frac{\partial \color{blue}{g(\bullet)}}{\partial x_j} \pm \frac{\partial \color{magenta}{h(\bullet)}}{\partial x_j} \]

Nota: Se ha usado la notación “\(\bullet\)” para abreviar el conjunto de argumentos de la función: \(x_1,x_2,...,x_n\)

3. Regla de la Potencia

Si \(f(x_1,x_2,...,x_n) = x_j^n\), donde \(n\) es una constante, la derivada parcial de \(f\) respecto a \(x\) es:

\[\frac{\partial}{\partial x_j}(x_j^n) = n x_j^{n-1}\]

> Nota: la derivada de una constante es “0”, y recuerde que depende del contexto una variable puede ser considerada como una constante.

4. Regla del Producto

Si \(f(x_1,x_2,...,x_n) = \color{blue}{g(x_1,x_2,...,x_n)}\cdot \color{magenta}{h(x_1,x_2,...,x_n)}\), entonces:

\[\frac{\partial}{\partial x_j}[\color{blue}{g(\bullet)}\cdot \color{magenta}{h(\bullet)}] = \frac{\partial \color{blue}{g(\bullet)}}{\partial x_j}\cdot \color{magenta}{h(\bullet)}+\color{blue}{g(\bullet)}\cdot \frac{\partial \color{magenta}{h(\bullet)}}{\partial x_j}\]

Nota: Se ha usado la notación “\(\bullet\)” para abreviar el conjunto de argumentos de la función: \(x_1,x_2,...,x_n\)

5. Regla del Cociente

Si \(f(x_1,x_2,...,x_n) =\frac{\color{blue}{g(x_1,x_2,...,x_n)}}{\color{magenta}{h(x_1,x_2,...,x_n)}}\) ,

entonces:

\[ \frac{\partial}{\partial x_j}\left(\frac{\color{blue}{g(\bullet)}}{\color{magenta}{h(\bullet)}}\right) = \frac{\frac{\partial \color{blue}{g(\bullet)}}{\partial x_j} \cdot \color{magenta}{h(\bullet)} - \color{blue}{g(\bullet)}\frac{\partial \color{magenta}{h(\bullet)}}{\partial x_j}}{(\color{magenta}{h(\bullet)})^2} \]

Nota: Se ha usado la notación “\(\bullet\)” para abreviar el conjunto de argumentos de la función: \(x_1,x_2,...,x_n\)

6. Regla de la cadena.

Si \(f(x_1,x_2,...,x_n)=\color{blue}{g(}\color{magenta}{h(x_1,x_2,...,x_n)}\color{blue}{)}\)

Entonces:

\[ \frac{\partial f(\bullet)}{\partial x_j}=\frac{\partial \color{blue}{g(}\color{magenta}{h(\bullet)}\color{blue}{)}}{\partial \color{magenta}{h(\bullet)}} \cdot \frac{\partial \color{magenta}{h(\bullet)}}{\partial x_j} \]

Nota: Se ha usado la notación “\(\bullet\)” para abreviar el conjunto de argumentos de la función: \(x_1,x_2,...,x_n\)

7. Regla de la función exponencial

Si \(f(x_1,x_2,x_3,...,x_n)=a^{\color{blue}{g(x_1,x_2,x_3,...,x_n)}}\)

Entonces: \[ \frac{\partial f(\bullet)}{\partial x_j}=\frac{\partial \color{blue}{g(\bullet)}}{\partial x_j} \cdot a^{\color{blue}{g(\bullet)}} \ln(a) \]


Si \(a=e\) siendo: \(f(x_1,x_2,x_3,...,x_n)=e^{\color{blue}{g(x_1,x_2,x_3,...,x_n)}}\)
Entonces: \[ \frac{\partial f(\bullet)}{\partial x_j}=\frac{\partial \color{blue}{g(\bullet)}}{\partial x_j} \cdot e^{\color{blue}{g(\bullet)}} \] Porque \(\ln(e)=1\)

Nota: Se ha usado la notación “\(\bullet\)” para abreviar el conjunto de argumentos de la función: \(x_1,x_2,...,x_n\)

8. Regla de la Derivada de la Función Logarítmica

Si \(f(x_1,x_2,x_3,...,x_n)=\ln(\color{blue}{g(x_1,x_2,x_3,...,x_n)})\)

Entonces: \[ \frac{\partial f(\bullet)}{\partial x_j}=\frac{\frac{\partial\color{blue}{g(\bullet)}}{\partial x_j}}{\color{blue}{g(\bullet)}} \]

Derivadas de orden superior y derivación Parcial Mixta.

La derivación parcial mixta es un concepto del cálculo multivariable que se refiere a la derivación de una función con respecto a más de una variable en secuencia. Si tienes una función de varias variables \(f(x, y, z, \dots)\), la derivación parcial mixta se obtiene derivando primero con respecto a una variable y luego con respecto a otra.

Por ejemplo, si \(f(x, y)\) es una función de dos variables, las derivadas parciales mixtas serían:

1. Derivada de \(f\) respecto a \(x\) y luego respecto a \(y\): \[ \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} \]

2. Derivada de \(f\) respecto a \(y\) y luego respecto a \(x\): \[ \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \]

Una propiedad importante de las derivadas parciales mixtas, bajo ciertas condiciones de continuidad (condiciones de las funciones suaves, como el teorema de Young-Clairaut), es que suelen ser iguales: \[ \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \] —

Notación de Leibniz y Notación de Newton para derivadas parciales y mixtas.

En el caso de las derivadas parciales mixtas si se usa la notación de Leibniz, se deriva de derecha a izquierda, es decir para calcular la siguiente derivada: \[ \frac{\partial^2 f(\bullet)}{\partial x \partial y} \] Debe interpretarse así: \[ \frac{\partial^2 f(\bullet)}{\partial x \partial y}=\frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial}{\partial y}(f(\bullet))) \] Es decir derivar primero respecto a \(y\) y luego respecto a \(x\)

Por otro lado al utilizar la notación de Newton la derivación se hace de izquierda a derecha, para calcular la siguiente derivada:

\[ f_{xy} \] Se procede de la siguiente manera: \[ f_{xy}=D_y[D_x[f]] \]

Teorema de Young-Clairut

El Teorema de Young, también conocido como Teorema de Clairaut, es un resultado fundamental en el cálculo de varias variables que establece condiciones bajo las cuales las derivadas parciales mixtas cruzadas de una función son iguales, es decir, el orden en el que se toman las derivadas parciales no importa.

Formalmente, el teorema dice lo siguiente:

Si \(f(x_1, x_2, \dots, x_n)\) es una función que tiene derivadas parciales de segundo orden continuas en un entorno de un punto, entonces las derivadas parciales mixtas cruzadas son iguales en ese punto. Esto es:

\[ \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} = \frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i} \]

para todas las variables \(x_i\) y \(x_j\).

Condición de Continuidad

El teorema de Young depende de que las derivadas parciales mixtas de la función sean continuas en el punto en cuestión. Si no se cumple la continuidad de las derivadas, es posible que las derivadas parciales mixtas no sean iguales.

Ejemplo

Si tienes una función \(f(x, y) = x^2 y + y^3 x\), las derivadas parciales de segundo orden son:

\[ \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right) = 2x + 3y^2 \] y \[ \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial f}{\partial y} \right) = 2x + 3y^2 \]

En este caso, ambas derivadas parciales mixtas son iguales, cumpliendo el teorema de Young.