Modelo de Goodwin
Introducción y motivación
El modelo de Goodwin es un modelo dinámico para explicar los ciclos económicos dentro del capitalismo, donde la rentabilidad y el empleo fluctúan, pero tienden a promedios constantes a largo plazo. Este modelo toma algunas ideas de Marx sobre la contradicción del capitalismo, pero ofrece una interpretación donde la rentabilidad se restaura no necesariamente por la caída de los salarios, sino por la incapacidad de estos para seguir el ritmo del crecimiento de la productividad (Goodwin 1982).
Supuestos1
- Productividad de trabajo \(a\) exógena:
\[ \frac{Y}{L} = a \]
\[ a = a_0 e^{\alpha t} \]
\[ \frac{\dot{a}}{a} = \alpha \]
- Oferta de trabajo \(N\) exógena
\[ N = N_0 e^{\beta t} \]
\[ \beta >0 \]
\[ \frac{\dot{N}}{N} = \beta \]
El hecho que exista tanto \(N\) como \(L\) significa que en un momento dado puede haber desempleo
- Dos factores productivos: \(K\), \(L\)
- Salarios destinados al consumo y beneficios destinados a la inversión
- El cociente \(K/Y\) es constante
\[ \frac{K}{Y} = k \]
- Curva de Phillips:
\[ \frac{\dot{w}}{w} = f(v) \implies f'(v) > 0 \]
donde \(v\) es la tasa de empleo:
\[ v = \frac{L}{N} \]
Desarrollo del modelo
A partir de los supuestos, se procede a obtener un sistema de ecuaciones diferenciales de la participación de los salarios en la economía en el nivel de producción y la tasa de empleo. El sistema resultante será no lineal y su dinámica genera ciclos en todas las variables del modelo. Estos ciclos son generados de forma endógena (sin shocks externos en la economía).
Participación de los salarios en la producción
\[ u = \frac{wL}{Y} = \frac{w}{a} \]
La participación del capital será:
\[ 1-u = 1 - \frac{w}{a} \implies \text{ tasa de beneficio}= \frac{(1- \frac{w}{a})Y}{K} = \frac{1-\frac{w}{a}}{k} \]
Por constancia de capital-trabajo, se tiene que la tasa de crecimiento del capital es igual a la tasa de crecimiento del nivel de producción:
\[ \frac{\dot{K}}{K} = \frac{\dot{Y}}{y} \]
Como la tasa de crecimiento \(a\) es exógena (primer supuesto), si aplicamos logaritmos y derivamos, tenemos que:
\[ \frac{\dot{Y}}{Y} - \frac{\dot{L}}{L} = \alpha \implies \boxed{\frac{\dot{L}}{L} = \frac{\dot{Y}}{Y} - \alpha} \]
Derivación de “v” a partir de la tasa de empleo
\[ V = \frac{L}{N} \]
\[ \frac{\dot{V}}{V} = \frac{\dot{L}}{L} - \underbrace{\frac{\dot{N}}{N}}_\beta \implies \frac{\dot{V}}{V} = \underbrace{\frac{1- \frac{w}{a}}{k} - \alpha}_{\dot{L}/L} - \beta \]
\[ \boxed{\frac{\dot{V}}{V} = \frac{1}{k} - (\alpha + \beta) - \frac{1}{k} U} \]
Derivación de “u” a partir de la curva de Phillips
Asumimos que la curva de Phillips toma una forma lineal:
\[ \frac{\dot{W}}{W} = \gamma + \rho V \quad \gamma, \rho >0 \]
\[ U = \frac{wL}{Y} = \frac{w}{a} \implies \frac{\dot{U}}{U} + \frac{\dot{W}}{W} + \frac{\dot{L}}{L} - \frac{\dot{Y}}{Y} \]
\[ \implies \frac{\dot{U}}{U} = \frac{\dot{W}}{W} + \frac{\dot{Y}}{Y} -\alpha - \frac{\dot{Y}}{Y} \]
\[ \boxed{\frac{\dot{U}}{U} = -(\alpha + \gamma) + \rho V} \]
Sistema de ecuaciones resultante
\[ \begin{cases} \frac{dV}{dt} = V (\frac{1}{k} - (\alpha + \beta) - \frac{1}{k} U) \\ \frac{dU}{dt} = U(-(\alpha + \gamma) + \rho V) \end{cases} \]
Se puede reescribir el sistema en forma más compacta, de forma que el sistema de ecuaciones se asemeje a las ecuaciones de Lotka-Volterra:
\[ \begin{cases} \frac{dV}{dt} = (a_1 - b_1 U) V \\ \frac{dU}{dt} = (-a_2 + b_2 V) U \end{cases} \]
donde
\(a_1 = \frac{1}{k} - (\alpha + \beta)\)
\(b_1 = \frac{1}{k}\)
\(a_2 = \alpha + \gamma\)
\(b_2 = \rho\)
Puntos críticos
En un modelo Lotka-Volterra, existen dos estados estacionarios:
- \(U^0=V^0=0\) (estado trivial)
- \(U^0 = \frac{a_1}{b_1} , V^0 = \frac{a_2}{b_2}\)
En el modelo de Goodwin se tiene que:
\[ \boxed{U^0= 1-(\alpha + \beta)k}, \quad \boxed{V^0 = \frac{\alpha + \gamma}{\rho}} \]
Análisis de estabilidad
Para analizar el comportamiento de las trayectorias alrededor del punto de equilibrio \((U^0, V^0)\), se calculan los autovalores de la matriz jacobiana del sistema en el punto de equilibrio:
\[ J (U,V) = \begin{bmatrix} \frac{d \dot{V}}{dV} & \frac{d \dot{V}}{dU} \\ \frac{d \dot{U}}{dV} & \frac{d \dot{U}}{dU} \end{bmatrix} \implies \begin{bmatrix} a_1-b_1U & -b_1V \\ b_2U & -a_2 +b_2V \end{bmatrix} \]
en \((\frac{a_1}{b_1}, \frac{a_2}{b_2})\):
\[ J(\frac{a_1}{b_1}, \frac{a_2}{b_2}) = \begin{bmatrix} a_1-b_1\frac{a_1}{b_1} & -b_1\frac{a_2}{b_2} \\ b_2\frac{a_1}{b_1} & -a_2 +b_2\frac{a_2}{b_2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -b_1\frac{a_2}{b_2} \\ b_2\frac{a_1}{b_1} & 0 \end{bmatrix} \]
El siguiente paso es calcular los autovalores como \(|J-\lambda I| = 0\):
\[ |J-\lambda I| = 0 \implies \begin{vmatrix} -\lambda & -b_1 \frac{a_2}{b_2} \\ b_2 \frac{a_1}{b_1} & -\lambda \end{vmatrix} = 0 \implies \lambda^2 + \underbrace{b_2 \frac{a_1}{b_1}b_1 \frac{a_2}{b_2}}_{>0} =0 \]
Como los autovalores de la matriz jacobiana son complejos, el sistema exhibe una dinámica oscilatoria en torno al punto de equilibrio. En particular, como la parte real es 0, se tiene un centro neutral.
Análisis del modelo
Ciclos económicos como un oscilador conservativo no lineal
El modelo de Goodwin modela los ciclos económicos como un sistema oscilador en el que ciertas variables económicas (\(u\) y \(v\)) fluctúan dentro de ciertos límites.
Que sea conservativo significa que el sistema no pierde energía (en términos económicos, esto podría referirse a un ciclo recurrente de expansión y contracción sin pérdida neta a largo plazo).
La no linealidad implica que las relaciones entre las variables no son proporcionales, lo que añade complejidad y realismo al comportamiento del sistema.
Interpretación de las variables
\(u\) representa la distribución de ingresos entre los trabajadores y los capitalistas (la participacion del salario).
\(v\) representa la tasa de empleo y, por definición, es menor que uno, lo que sugiere que nunca se alcanza el pleno empleo. Ambos indicadores fluctúan entre ciertos límites.
La variable \(u\) puede superar 1 de manera excepcional, lo que se puede interpretar como un caso donde los salarios y el consumo son mayores que la producción total debido a pérdidas o desinversión.
Ciclos de crecimiento y empleo
Como todo modelo del ciclo económico, se describe cómo el crecimiento y el empleo oscilan. En particular, en la fase de expansión se tiene que:
- El producto y el empleo aumentan, lo que aumenta la participación de los trabajadores en los ingresos y reduce la tasa de beneficio de los capitalistas.
- El crecimiento se desacelera a medida que la tasa de beneficio cae. Esto recuerda a la idea de “contradicción” del capitalismo en la teoría marxista, donde las ganancias tienden a reducirse a medida que los trabajadores ganan poder de negociación y los salarios aumentan. Sin embargo, el modelo de Goodwin se distancia de la visión marxista al sugerir que la rentabilidad se restaura no necesariamente debido a la caída de salarios, sino a que los salarios no siguen el ritmo de la productividad.
Estabilidad del sistema
Aunque el sistema experimente perturbaciones (como shocks externos), los valores promedio de las variables (u y v) se mantienen constantes a largo plazo. Las perturbaciones solo afectarían la magnitud del ciclo (haciendo que la curva crezca o se achique), pero no alteran el punto central o el promedio a largo plazo del sistema. Esto sugiere que la economía, aunque sujeta a fluctuaciones, tiende a estabilizarse en el tiempo en ciertos valores promedio.
Impacto de las crisis cíclicas
Relacionado a lo anterior, aunque dependiendo de la severidad del ciclo, la tasa de crecimiento de la producción y el empleo pueden disminuir o incluso caer, pero la tendencia general es que los aumentos predominen sobre las disminuciones, lo que indica una tendencia de crecimiento a largo plazo. Tal es el caso que Goodwin concluye que el crecimiento económico a largo plazo es positivo, aunque existan fluctuaciones.
Distribución de los beneficios
Una de las conclusiones del modelo es que, aunque los beneficios iniciales del progreso técnico parecen ir hacia los capitalistas (aumentando las ganancias), esto eventualmente provoca una expansión que aumenta los salarios y reduce las ganancias. Esto se puede ver como una especie de “Ley de Hierro de los Beneficios”, donde el capital tiende a expandirse demasiado, erosionando sus propias ganancias, mientras que los trabajadores (aunque no son más numerosos debido a la expansión del capital) terminan siendo los beneficiarios a largo plazo.
Conclusiones
En definitiva, Goodwin intenta mostrar que históricamente los salarios han aumentado mientras que las tasas de ganancia se han mantenido bajas. En este sentido, rechaza las ideas de Ricardo y Marx, sugiriendo que los trabajadores son los beneficiarios a largo plazo del progreso técnico, aunque con fluctuaciones en el corto plazo.
Anexo: diagrama del modelo
