Taller Discretas y Continuas
Samuel Lopez
Sebastian Villarraga
Alejandro Gualteros
Laura Vega
30 / 09 / 2024
1 Desarrollo y solución
1.1 Ejercicio 3.62
Una empresa de seguros ofrece a sus asegurados varias opciones diferentes de pago de la prima. Para un asegurado seleccionado al azar, sea X el número de meses entre pagos sucesivos. La función de distribución acumulada de X es :
1.1.1 a)
¿Cuál es la función de masa de probabilidad de X?
#P(X=1)=F(1)−F(0)=0.4−0=0.4,
#P(X=3)=F(3)−F(1)=0.6−0.4=0.2,
#P(X=5)=F(5)−F(3)=0.8−0.6=0.2,
#P(X=7)=F(7)−F(5)=1.0−0.8=0.2.
# Definimos los valores de X y las probabilidades correspondientes
X <- c(1, 3, 5, 7)
prob <- c(0.4, 0.2, 0.2, 0.2)
# Función de masa de probabilidad
pmf <- data.frame(X, prob)
print("Función de masa de probabilidad:")## [1] "Función de masa de probabilidad:"print(pmf)## X prob
## 1 1 0.4
## 2 3 0.2
## 3 5 0.2
## 4 7 0.21.1.2 b)
Calcule P(4 < X ≤ 7).
# Calcular P(4 < X <= 7)
# X=5 y 𝑋=7
#𝑃(4<𝑋≤7)=𝑃(𝑋=5)+𝑃(𝑋=7)
P_4_7 <- sum(prob[X > 4 & X <= 7])
cat("P(4 < X <= 7):", P_4_7)## P(4 < X <= 7): 0.41.2 Ejercicio 3.65
Sea el número de llamadas telefónicas que recibe un conmutador durante un intervalo de 5 minutos una variable aleatoria X con la siguiente función de probabilidad:
1.2.1 a)
Determine la probabilidad de que X sea igual a 0,1, 2, 3, 4, 5 y 6.
lambda <- 2
xValues <- 0:6
probabilities <- dpois(xValues, lambda)
cat("Probabilidades para X = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6:\n")## Probabilidades para X = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6:print(data.frame(X = xValues, P_X = probabilities))## X P_X
## 1 0 0.13533528
## 2 1 0.27067057
## 3 2 0.27067057
## 4 3 0.18044704
## 5 4 0.09022352
## 6 5 0.03608941
## 7 6 0.012029801.2.2 b)
Grafique la función de masa de probabilidad para estos valores de x.
barplot(probabilities, names.arg = xValues, col = "lightblue",
main = "Función de masa de probabilidad (PMF)",
xlab = "Valores de X", ylab = "P(X)")
1.2.3 c)
Determine la función de distribución acumulada para estos valores de X.
cdfValues <- ppois(xValues, lambda)
cat("\nFunción de distribución acumulada (CDF) para X = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6:\n")##
## Función de distribución acumulada (CDF) para X = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6:print(data.frame(X = xValues, CDF_X = cdfValues))## X CDF_X
## 1 0 0.1353353
## 2 1 0.4060058
## 3 2 0.6766764
## 4 3 0.8571235
## 5 4 0.9473470
## 6 5 0.9834364
## 7 6 0.9954662plot(xValues, cdfValues, type = "s", col = "blue", lwd = 2,
main = "Función de distribución acumulada (CDF)",
xlab = "Valores de X", ylab = "F(X)")
1.3 Ejercicio 3.67
En un proceso industrial se elaboran artículos que se pueden clasificar como defectuosos o no defectuosos. La probabilidad de que un artículo esté defectuoso es 0.1. Se realiza un experimento en el que 5 artículos del proceso se eligen al azar. Sea la variable aleatoria X el número de artículos defectuosos en esta muestra de 5. ¿Cuál es la función de masa de probabilidad de X?
#Parametros del problema
ensayos <- 5 #Numero de ensayos
probabilidad.d <- 0.1 #Probabilidad de que un articulo este defectuoso
#Valores de X que pueden tomar de 0 a 5
valores.x <- 0:ensayos
#Calculo de la funcion de masa de probabilidad usando la distribucion binomial
funcion.dm <- dbinom(valores.x,size=ensayos,prob=probabilidad.d)
cat("Valores de x (número de defectuosos) es:",valores.x)## Valores de x (número de defectuosos) es: 0 1 2 3 4 5cat("Probabilidad P(X):", funcion.dm)## Probabilidad P(X): 0.59049 0.32805 0.0729 0.0081 0.00045 1e-05# Grafica de la función de masa de probabilidad
barplot(funcion.dm, names.arg = valores.x,
xlab = "Número de artículos defectuosos (x)",
ylab = "P(X)",
main = "Función de masa de probabilidad (Binomial)",
col = "lightblue")
#Definicion de la funcion de masa de probabilidad de X
#P(X)=(5X)(0.1)^X(0.9)^5−X1.4 Ejercicio 4.57
Sea X una variable aleatoria con la siguiente distribución de probabilidad:
Calcule E(X) y E(X^2) y luego utilice estos valores para evaluar E[(2X + 1)^2].
# Definir los valores de X y sus probabilidades
x <- c(-3, 6, 9)
p.x <- c(1/6, 1/2, 1/3)
# Cálculo de E(X)
E_X <- sum(x * p.x)
cat("E(X) es igual a",E_X)## E(X) es igual a 5.5# Cálculo de E(X^2)
E_X2 <- sum((x**2) * p.x)
cat("E(X^2) es igual", E_X2)## E(X^2) es igual 46.5# Cálculo de E[(2X + 1)^2]
E_2X_mas_1 <- 4 * E_X2 + 4 * E_X + 1
cat("E[(2X + 1)^2] =", E_2X_mas_1)## E[(2X + 1)^2] = 2091.5 Ejercicio 4.58
El tiempo total que una adolescente utiliza su secadora de pelo durante un año, medido en unidades de 100 horas, es una variable aleatoria continua X que tiene la siguiente función de densidad
Utilice el teorema 4.6 para evaluar la media de la variable aleatoria Y = 60X^2 + 39X, donde Y es igual al número de kilowatts-hora que gasta al año.
f_x <- function(x) {
if (x >= 0 && x < 1) {
return(x)
} else if (x >= 1 && x < 2) {
return(2 - x)
} else {
return(0)
}
}
y_x <- function(x) {
return(60 * x^2 + 39 * x)
}
# Calcular la esperanza E[Y] usando integración
integral_1 <- integrate(function(x) y_x(x) * x, lower = 0, upper = 1)$value
# Para el intervalo 1 ≤ x < 2
integral_2 <- integrate(function(x) y_x(x) * (2 - x), lower = 1, upper = 2)$value
esperanza_Y <- integral_1 + integral_2
cat("El valor esperado de Y (número de kilowatts-hora al año) es ", esperanza_Y, "\n")## El valor esperado de Y (número de kilowatts-hora al año) es 1091.6 Ejercicio 4.71
El periodo Y en minutos que se requiere para generar un reflejo
humano ante el gas lacrimógeno tiene la siguiente función de densidad
1.6.1 a)
¿Cuál es el tiempo medio para el reflejo?
#Definimos el parametro general que se refleja para el rango 0 ≤ y < ∞
Parametro <- 1/4
#Calculamos el valor esperado de y o esperanza
Esperanza.y <- 1/Parametro
cat("El tiempo medio para el reflejo es:",Esperanza.y,"minutos")## El tiempo medio para el reflejo es: 4 minutos1.6.2 b)
Calcule E(Y^2) y Var(Y).
#Primero calculamos E(y^2)
Esperanza.y2 <- 2 / (Parametro^2)
cat("El valor esperado de E(y^2) es:",Esperanza.y2,"minutos")## El valor esperado de E(y^2) es: 32 minutos#Despues calculamos Var(y)
Varianza.y <- Esperanza.y2-(Esperanza.y)^2
cat("La varianza de Var(y) es:",Varianza.y,"Minutos")## La varianza de Var(y) es: 16 Minutos