Gamma


Mohamad Ali Ahmad Shayeb 1

1 Universidad Javeriana de Cali
2 Probabilidad y estadistica

Introduccion

La distribución Gamma tiene un origen interesante y diverso en el campo de la estadística y la teoría de probabilidades. Fue introducida por primera vez en el siglo XIX por el matemático alemán Johann Karl August Radon, quien trabajó en generalizaciones de la función factorial para valores no enteros, una base importante para la función Gamma. Sin embargo, la distribución Gamma como tal se popularizó a principios del siglo XX, con la ayuda de Karl Pearson, quien la utilizó en sus trabajos sobre distribuciones de probabilidad en fenómenos naturales.

La función Gamma en sí misma es una extensión del concepto de factorial a números no enteros. Esta función se define para todos los números reales positivos y es esencial en la definición de la distribución Gamma. Pearson propuso la distribución Gamma para modelar asimetrías en datos empíricos que no se ajustaban bien a la distribución normal, explorando su utilidad en el modelado de fenómenos donde el tiempo entre eventos era relevante.

Procedimiento

La distribución Gamma se utiliza para modelar tiempos de espera y la ocurrencia de eventos en procesos estocásticos.

  1. Definir los parámetros de la distribución.

  2. Recopilación de datos.

  3. Estimación de parámetros.

  4. Cálculo de la función de densidad y distribución acumulativa.

  5. Aplicación del modelo y representación gráfica.

  6. Interpretación de resultados.

Características Principales de la Distribución Gamma


Función de Densidad \(f(x)\)

\[ f(x) = \frac{x^{\alpha - 1} e^{-x / \beta}}{\beta^\alpha \Gamma(\alpha)}, \quad x > 0, \, \alpha, \beta > 0 \]

  • \(\alpha\): Parámetro de forma (shape).
  • \(\beta\): Parámetro de escala (scale).
  • \(\Gamma(\alpha)\): Función Gamma evaluada en \(\alpha\).

Función de Distribución Acumulativa \(F(x)\)

\[ F(x) = \int_{0}^{x} \frac{t^{\alpha - 1} e^{-t / \beta}}{\beta^\alpha \Gamma(\alpha)} \, dt, \quad x > 0, \, \alpha, \beta > 0 \]

Esperanza o valor esperado:

\[ (E[X]) \]

\[ E[X] = \alpha \cdot \beta \]

Varianza \(V[X]\)

\[ V[X] = \alpha \cdot \beta^2 \]


Ejemplo:

Supongamos que la duración de vida de un componente electrónico sigue una distribución Gamma con parámetro de forma 𝑎 = 2 y escala 𝛽 = 1. Queremos responder dos preguntas:

  • ¿Cuál es la probabilidad relativa de que la vida útil del componente sea exactamente 3 unidades de tiempo?

  • ¿Cuál es la probabilidad de que la vida útil del componente sea menor o igual a 3 unidades de tiempo?

## [1] "Densidad de prob en x = 3 es 0.149361205103592"
## [1] "Probabilidad de que x sea <= a 3 es 0.800851726528544"


Aplicaciones en Ingeniería, Ciencias, Economía y Salud

  • Ingeniería: Modelado del tiempo hasta la falla de sistemas y componentes (fiabilidad).

  • Ciencias: Estudio de procesos biológicos, como el tiempo de supervivencia de células.

  • Economía: Modelado de tiempos de espera en sistemas de colas, como la duración de desempleo.

  • Salud: Modelado del tiempo hasta la recuperación o la recurrencia de una enfermedad.

Relaciones entre Distribuciones Univariadas

La distribución Gamma está relacionada con otras distribuciones:

La distribución Exponencial es un caso particular de la Gamma con 𝛼 = 1

-La distribución x^2 es un caso particular de la Gamma con 𝛼=𝑛/2 y 𝛽= 1/2 . La distribución Normal se puede aproximar a una Gamma bajo ciertas condiciones.

Referencias

  1. Devroye, L. (1986). Non-Uniform Random Variate Generation. Springer-Verlag.

  2. Johnson, N. L., Kotz, S., & Balakrishnan, N. (1994). Continuous Univariate Distributions, Volume 1. Wiley-Interscience.

  3. Ross, S. M. (2014). Introduction to Probability Models. Academic Press.

Modelo estadistico + Gamma.