1. Función de Densidad de Probabilidad (FDP):f(x)

$$f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}$$

2.Función de Distribución Acumulada (CDF): F(x)

La función de distribución acumulada de la distribución normal nos dice la probabilidad de que una variable aleatoria X sea menor o igual que un valor x.

$$f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}$$

3. Esperanza Matemática (Valor Esperado): E[X]

La media o valor esperado E[X] de la distribución normal es: E[X]=μ

4. Varianza: V(X)

La varianza V(X) de una distribución normal es: V(X)=σ 2

Enunciado

En una población de ranas, se ha medido la longitud de las patas traseras y se ha encontrado que sigue una distribución normal con una media de 10 cm y una desviación estándar de 1.5 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que una rana seleccionada al azar tenga una longitud de patas traseras entre 9 cm y 11 cm?

Solución

Para resolver este problema, utilizaremos la función de distribución acumulativa (CDF) de la distribución normal. La probabilidad de que una rana tenga una longitud de patas entre 9 cm y 11 cm se puede calcular restando la probabilidad acumulada hasta 9 cm de la probabilidad acumulada hasta 11 cm.

Calcular la probabilidad acumulada hasta 9 cm:P(X<9)= 0.2525

Calcular la probabilidad acumulada hasta 11 cm: P(X<11)= 0.7475

Restar las probabilidades:P(9<X<11)=P(X<11)−P(X<9) = 0.4950

# Parámetros de la distribución normal
media <- 10  # media
desviacion_estandar <- 1.5  # desviación estándar

# Calcular la probabilidad acumulada
p_9 <- pnorm(9, mean = media, sd = desviacion_estandar)
p_11 <- pnorm(11, mean = media, sd = desviacion_estandar)

# Calcular la probabilidad entre 9 cm y 11 cm
probabilidad <- p_11 - p_9

# Mostrar el resultado
cat("La probabilidad de que una 
rana tenga una longitud de patas 
traseras entre 9 cm y 11 cm es:
", probabilidad, "\n")

La probabilidad de que una 
rana tenga una longitud de patas 
traseras entre 9 cm y 11 cm es:
 0.4950149 

1. Ingeniería

• Control de Calidad: En procesos de manufactura, la distribución normal se utiliza para modelar la variabilidad de la producción. Se puede evaluar si los productos cumplen con las especificaciones de calidad al analizar la variación en las dimensiones o características de los productos.

2. Ciencias Naturales

• Biología: Se utiliza para modelar características biológicas, como la altura o peso de organismos en una población, donde muchas características naturales siguen una distribución normal debido a la suma de muchos factores genéticos.

3. Salud

• Estadísticas Clínicas: En estudios de salud, como ensayos clínicos, muchas mediciones (como la presión arterial o niveles de colesterol) tienden a distribuirse normalmente, lo que permite realizar análisis estadísticos significativos.

La distribución chi-cuadrado

La distribución Chi-Cuadrado es una distribución de probabilidad continua que surge con frecuencia en estadística, especialmente en pruebas de hipótesis y análisis de varianza.

La distribución normal estandar

La distribución normal estándar es una forma especial de la distribución normal. Se caracteriza por tener una media de 0 y una desviación estándar de 1. Se denota comúnmente como Z∼N(0,1).