Modelos Estadísticos - Gumbel

Anne Katherine Rincon Barrios1,

1 Pontificia Universidad Javeriana de Cali; 2

Departamento de Ingeniería y Ciencias
Curso de Probabilidad y Estadística, Profesor: Daniel Enrique Gonzales

Origen

La distribución estadística de Gumbel, también conocida como distribución de tipo I de valores extremos, es un modelo matemático utilizado en estadística para describir la distribución de los valores extremos en un conjunto de datos. Fue propuesta por el estadístico británico Emil Julius Gumbel en la década de 1950.

La distribución de Gumbel es especialmente adecuada para modelar eventos extremos, como las máximas o mínimas históricas en una serie de datos. Es comúnmente utilizada en el análisis de riesgo hidrológico y en la estimación de tasas de retorno de fenómenos como precipitación intensa, caudales máximos de ríos, vientos extremos, entre otros.

Procedimiento

El procedimiento para aplicar la distribución de Gumbel en la creación de mapas de tasas de retorno de precipitación se resume en los siguientes pasos:

  1. Recopilación de datos: Se recogen registros históricos de precipitación en varias ubicaciones de la región de interés.

  2. Ajuste de la distribución: Se ajustan los datos a la distribución de Gumbel, encontrando los parámetros óptimos mediante métodos estadísticos como máxima verosimilitud.

  3. Estimación de la tasa de retorno: Con la distribución ajustada, se estima la probabilidad de que un evento extremo de precipitación ocurra en un tiempo determinado (p. ej., un evento que ocurre cada 100 años).

  4. Generación de mapas: Usando los parámetros obtenidos y la variabilidad espacial, se crean mapas que muestran las tasas de retorno para distintos períodos de tiempo en diferentes áreas.

Funciones de Gumbel

Función de Densidad

\[ f(x) = \frac{1}{\beta} e^{-\left(\frac{x - \mu}{\beta} + e^{-\left(\frac{x - \mu}{\beta}\right)}\right)} \]

Función de Distribución Acumulativa

\[ F(x) = e^{-e^{-\left(\frac{x - \mu}{\beta}\right)}} \]

Esperanza

\[ E[X] = \mu + \beta \cdot \gamma \quad \text{donde} \quad \gamma \approx 0.5772 \]

Varianza

\[ V[X] = \frac{\pi^2}{6} \cdot \beta^2 \]

Ejemplo

La distribución de Gumbel para valores extremos o mínimos tiene diversas aplicaciones, estando vinculado especialmente a la hidrología. En proyectos de ingeniería la distribución de Gumbel es muy importante porque permite hacer estimaciones de:
- Resistencia de estructuras como presas, puentes, y estructuras de resistencia en general frente a incrementos de caudal o precipitaciones máximos.

  • Prever inundaciones o desastres vinculados a crecidas de ríos. Evaluar e indicar los beneficios anuales de un proyecto.

Caso específico: Descargas anuales máximas de un río. Para desarrollar este ejemplo de aplicación se tomarán los datos de caudales Máximos Anuales del Rio Ica en un periodo de información de 25 años (1992-1998), vamos a calcular probabilidad de que el caudal sea mayor a 500

Table 1: Caudal Máximo Anual del Río (1978-1998)
year max_discharge
1978 45
1979 78
1980 102
1981 89
1982 120
1983 150
1984 200
1985 250
1986 300
1987 350
1988 400
1989 450
1990 500
1991 541
1992 480
1993 420
1994 380
1995 340
1996 300
1997 260
1998 220

Tabla de para realizar las estimaciones

Table 2: Table 3: Estadísticas Descriptivas de max_discharge
Media Desviacion_Estandar Cantidad_Valores
284.5238 151.0439 21
Table 2: Parámetros estimados de la distribución de Gumbel
Parámetro Valor
loc Ubicación (mu) 240.555621
scale Escala (beta) 152.024944
shape Forma (shape) -0.396411

\[ P(X > x) = 1 - F(x) = 1 - e^{-e^{-\left(\frac{x - \mu}{\beta}\right)}} \]

Definir el valor de interés

## La probabilidad de que el caudal exceda 500 m³/s es: 16.60%

Representacion Grafica del Ejemplo

Aplicaciones

Aplicaciones en el Campo de la Ingeniería, Ciencias, Economía, Salud

  • Ingeniería: Modelado de cargas máximas en estructuras, como puentes o edificios.
  • Ciencias del Clima: Estimación de eventos extremos, como tormentas, olas de calor, y precipitaciones.
  • Economía: Análisis de riesgos financieros, particularmente en el caso de pérdidas extremas.
  • Salud Pública: Evaluación de extremos en la propagación de enfermedades, como brotes epidémicos.

Conclusion

Hemos ajustado la distribución de Gumbel a los caudales máximos del río y estimado la probabilidad de que el caudal máximo exceda un valor de 500. Estos resultados nos permiten entender mejor el comportamiento extremo de los caudales y tomar decisiones informadas para la gestión de recursos hídricos.

References

  • Coles, S. (2001). An Introduction to Statistical Modeling of Extreme Values. Springer.

  • Gumbel, E. J. (1958). Statistics of Extremes. Columbia University Press.