Introducción

Los modelos de distribución de probabilidad son herramientas matemáticas utilizadas para describir el comportamiento de variables aleatorias. Estos modelos pueden clasificarse en dos categorías principales: discretos y continuos, dependiendo del tipo de valores que puede asumir la variable aleatoria.

• Modelos discretos.
  Los modelos discretos se utilizan para describir variables aleatorias que solo pueden tomar un conjunto finito o numerable de valores. Por ejemplo, el número de veces que aparece una cara al lanzar una moneda varias veces o el número de autos que pasan por una intersección en un día son ejemplos de variables discretas.

  • Distribución binomial
  • Distribución de Poisson
  • Distribución geométrica
    

  En los modelos discretos, la función de probabilidad denotada como 𝑃(𝑋=𝑥), asigna una probabilidad específica a cada valor posible de la variable aleatoria.

• Modelos continuos.
  Los modelos continuos, por otro lado, describen variables aleatorias que pueden tomar cualquier valor dentro de un rango continuo. Ejemplos de variables continuas incluyen el peso de una persona, la altura o el tiempo de espera en una fila.

  • Distribución normal (o gaussiana)
  • Distribución exponencial
  • Distribución uniforme continua

  En los modelos continuos, en lugar de asignar una probabilidad a un valor específico, se utiliza una función de densidad de probabilidad denotada como 𝑓(𝑥), que permite calcular la probabilidad de que la variable aleatoria caiga dentro de un rango de valores por ejemplo, 𝑃(𝑎≤𝑋≤𝑏).
  

Origen

La distribución de Weibull fue introducida por Waloddi Weibull en 1951, Weibull la introdujo como parte de su trabajo para modelar resistencia de materiales en un artículo titulado “A Statistical Distribution Function of Wide Applicability” en el Journal of Applied Mechanics.La propuesta de Weibull fue crear una distribución de probabilidad continua que pudiese adaptarse a distintos tipos de datos de manera flexible y modelar fenómenos relacionados con el tiempo de vida y el fallo de sistemas.

Características Principales

Sus características principales permiten ajustarse a datos con distintas formas de distribución, como distribuciones de vida útil que exhiben una tasa de fallos creciente, constante o decreciente. La forma de la distribución Weibull se determina mediante dos parámetros clave: el parámetro de forma k y el parámetro de escala λ, los cuales influyen directamente en la probabilidad de ocurrencia de eventos a lo largo del tiempo.

• Función de densidad de probabilidad f(x):
  \[ f(x; \lambda, k) = \begin{cases} \frac{k}{\lambda} \left(\frac{x}{\lambda}\right)^{k-1} e^{-\left(\frac{x}{\lambda}\right)^k}, & x \geq 0 \\ 0, & x < 0 \end{cases} \] Donde: \(\lambda > 0\) es el parámetro de escala y \(k > 0\) es el parámetro de forma.

• Función de distribución acumulada F(x):
  \[ F(x; \lambda, k) = 1 - e^{-\left(\frac{x}{\lambda}\right)^k}, \quad x \geq 0 \]

• Esperanza o valor esperado E[X]:
  \[ E[X] = \lambda \Gamma \left( 1 + \frac{1}{k} \right) \] Donde Γ es la función Gamma.

• Varianza V[X]:
  \[ V[X] = \lambda^2 \left[ \Gamma \left( 1 + \frac{2}{k} \right) - \left( \Gamma \left( 1 + \frac{1}{k} \right) \right)^2 \right] \]

• Representación Grafica Weibull.
  

A continuación se muestran tres gráficas que comparan diferentes distribuciones de Weibull con distintos parámetros de forma y escala.

Aplicaciones del Modelo Weibull en la Ingeniería Biomédica

La distribución Weibull es ampliamente utilizada en ingeniería biomédica debido a su capacidad para modelar procesos biológicos complejos y tiempo hasta el fallo, algo crucial en el desarrollo de dispositivos médicos, análisis de supervivencia y ensayos clínicos. Algunas aplicaciones destacadas incluyen:

• Análisis de supervivencia de pacientes: Se usa para modelar el tiempo hasta un evento específico, como la muerte o la recurrencia de una enfermedad. En estudios de supervivencia, el parámetro de forma k permite ajustar el modelo a diferentes patrones de riesgo: riesgo constante (k=1), creciente (k>1) o decreciente (k<1).
• Fatiga de materiales biomédicos: En la fabricación de dispositivos y prótesis, la Weibull es usada para analizar la fatiga y resistencia de materiales biocompatibles como el titanio o polímeros empleados en implantes. Este análisis asegura que los materiales puedan soportar el uso prolongado dentro del cuerpo humano sin degradarse.

En otros campos, las aplicaciones son similares por ejemplo, en el campo de la economía se aplica en estudios de durabilidad de productos; en las ciencias ambientales es usada para modelar fenómenos como la velocidad del viento; en la tecnología es aplicada para el análisis del ciclo de vida de un software; en la salud modela el análisis de tiempo de fallecimiento de las personas.

Ejemplo

Una pieza mecánica tiene un tiempo de vida útil que sigue una distribución Weibull con un parámetro de escala λ=1000 horas y un parámetro de forma k=1.5. Calcular la probabilidad de que la pieza falle antes de las 800 horas y graficar la distribución.

\[ \text{Parámetros:} \\ \lambda = 1000 \ k = 1.5 \ x = 800 \ \] \[ F(x,\lambda,k) = 1 - e^{-\left(\frac{800}{1000}\right)^1.5} \]

Probabilidad de fallo antes de 800 horas es 
                de 0.5110728

Relaciones Entre Distribuciones Univariadas

La distribución Weibull está relacionada con otras distribuciones de probabilidad univariadas a través de ciertos casos especiales y transformaciones. Estas relaciones permiten utilizarla en una variedad de situaciones donde otras distribuciones como la exponencial, normal o gamma no son suficientes.

• Distribución Exponencial: La Weibull con k=1 es equivalente a la distribución exponencial.
• Distribución Rayleigh: Es un caso especial de la Weibull cuando k=2.

References

1. Gomez, D. E. G. (s/f). Probabilidad y Estadística. Github.io. https://dgonxalex80.github.io/300MAE005D/recurso33.html

2. Weibull, W. (1951). “A Statistical Distribution Function of Wide Applicability”. Journal of Applied Mechanics.

3. MODELOS DE PROBABILIDAD. (s/f). Www.uv.es. https://www.uv.es/ceaces/base/modelos%20de%20probabilidad/MODEPR1.htm