Orígen

Fue introducida por Lord Rayleigh, físico británico, en su estudio de fenómenos acústicos y de ondas. Se utiliza para modelar magnitudes o longitudes resultantes de componentes independientes que siguen una distribución normal. Tiene su origen en el análisis de la magnitud de un vector bidimensional cuyos componentes siguen distribuciones normales independientes y de media cero. Y es un caso particular de la distribucion de Weibull en el que en esta distribucion la variable K es una constante con valor 2.

Caracteristicas Principales

Función de Densidad de Probabilidad

La distribución de Rayleigh es aplicable únicamente a variables aleatorias positivas y continuas, ya que para valores menores que 0 la probabilidad es 0. La función de densidad de probabilidad (PDF) está definida como: \[ f(x; \sigma) = \frac{x}{\sigma^2} e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}} \] Donde x es la variable aleatoria. σ es el parámetro de escala que afecta la dispersión de la distribución. Esta función describe cómo se distribuyen las probabilidades a lo largo de los valores posibles de x. A medida que x aumenta, la densidad crece hasta alcanzar un máximo y luego decrece exponencialmente.

Función de Distribución Acumulada

La funcion de distribución acumulada nos ayuda a determinar cual es la probabilidad de que X sea menor o igual a un valor. Para la distribucion de Rayleigh esta definida en los X positivos por la siguiente formula. \[ F(x; \sigma)= 1-e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}} \] Esta formula nos permite saber la probabilidad de que la variable X sea menor o igual a un numero. Por ejemplo F(A;σ) indica la probabilidad de que X sea menor o igual a A.

Media o Esperanza

La esperanza de una variable aleatoria X en la distribución de Rayleigh es el valor promedio esperado de esa variable. Esta dada por la siguiente formula: \[ E[X] = \sigma \sqrt{\frac{\pi}{2}} \] Varianza La varianza mide la anchura de la distribucion de Rayleigh y esta dada por: \[ V[X] = \frac{(4 - \pi)}{2} \sigma^2 \]

Representacion Grafica de la Distribucion de Rayleigh

Ejemplo

Velocidad del viento: En un área geográfica, la velocidad del viento sigue una distribución de Rayleigh con σ=2 ¿Cuál es la probabilidad de que la velocidad del viento sea mayor a 5 unidades?

Solución:

La probabilidad de que la velocidad sea mayor que 5 es complementaria a la funcion de distribución acumulada evaluada en x=5: \(P(X > 5) = 1 - F(5; \sigma = 2)\)

Con los datos dados en el enunciado se sustituyen los valores en la formula de distribucion acumulada y tenemos que: \[ F(5; \sigma = 2) = 1 - e^{-\frac{2 \times 2}{2} \times \frac{5^2}{2}} = 1 - e^{-\frac{8}{25}}=0.071 \]

Codigo en R

# Parámetro de escala
sigma <- 2

# Cálculo de la probabilidad para P(X > 5)
x <- 5
prob <- 1 - pweibull(x, shape = 2, scale = sigma)
print(prob)

Aplicaciones en el campo profesional

Ingeniería

Procesamiento de imagenes: La distribución de Rayleigh se utiliza para modelar el ruido en imágenes formadas por ultrasonido y radar. En particular, en imágenes de sonar y ecografías. El ruido tiene una distribución de Rayleigh, lo que ayuda a diseñar mejores algoritmos de filtrado y procesamiento de imágenes para mejorar la calidad de las imágenes diagnósticas.

Ciencias Marinas

En oceanografía, la distribución de Rayleigh se utiliza para modelar la altura de las olas en mares y océanos, donde la altura de las olas sigue esta distribución cuando las olas son generadas por el viento.

Medicina y Salud

En el modelado del flujo sanguíneo en ciertas condiciones, la distribución de Rayleigh puede ayudar a describir la distribución de las velocidades en las distintas trayectorias dentro de un vaso sanguíneo.

Distribuciones relacionadas

Distribución Normal Bivariada:

Si tienes dos funciones aleatorias independientes X y Y distribuidas normalmente de la forma \(X \sim N(0, \sigma^2), \quad Y \sim N(0, \sigma^2)\), entonces tenemos que la magnitud R se define como \(R = \sqrt{X^2 + Y^2}\), la cual tiene una distribucion de Rayleigh con parametro de escala σ

Distribución Weibull:

La función de densidad de probabilidad de la distribución de Weibull está dada por: \(f(x; k, \lambda) = \frac{k}{\lambda} \left( \frac{x}{\lambda} \right)^{k-1} e^{-\left( \frac{x}{\lambda} \right)^k}, \quad x \geq 0\). La distribución de Rayleigh es un caso especial de la distribución de Weibull, donde el parametro de forma K=2 y el parametro de escala λ=σ.

Distribución Chi-cuadrado

Si Z es una variable aleatoria chi-cuadrado con 2 grados de libertad, entonces \(\sqrt{Z}\) sigue una distribución de Rayleigh. Esto se relaciona con la distribucion normal, ya que la magnitud de un vector normal bivariado independiente sigue una distribución de Rayleigh, mientras que la suma de los cuadrados de sus componentes sigue una distribución chi-cuadrado con dos grados de libertad.

Bibliografia

La distribución de Rayleigh. (2022, October 30). University of Alabama in Huntsville. https://espanol.libretexts.org/@go/page/151573

Función de distribución de Rayleigh. (s. f.). http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica3/datos/viento/estadistica_1.html

Sánchez, M. (2014). LA DISTRIBUCIÓN DE RAYLEIGH. www.academia.edu. https://www.academia.edu/9557933/LA_DISTRIBUCI%C3%93N_DE_RAYLEIGH?auto=download

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Unión Internacional de Telecomunicaciones. (1994). DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD PARA ESTABLECER MODELOS DE PROPAGACIÓN DE LAS ONDAS RADIOELÉCTRICAS [Informe]. https://www.itu.int/dms_pubrec/itu-r/rec/p/R-REC-P.1057-0-199408-S!!PDF-S.pdf