Origen de la Distribución

La Distribución de Cauchy fue descrita por Augustin-Louis Cauchy, un matemático francés, en el siglo XIX. Es una distribución de probabilidad continua con importancia en teoría de probabilidad y estadística, particularmente en la teoría de colas pesadas y sistemas físicos. Esto significa que puede tomar cualquier valor en un rango real, a diferencia de las distribuciones discretas que solo pueden tomar valores específicos (por ejemplo, números enteros).

Representación Gráfica

Es una curva en forma de campana con un pico bajo y largas colas que se extienden hacia los extremos. Este comportamiento único es lo que le da su valor en ciertos contextos, como modelar fenómenos físicos y económicos donde los valores extremos tienen una mayor probabilidad de ocurrir. Además, la curva tiene una forma simétrica respecto a su punto central, pero se prolonga indefinidamente en ambas direcciones . Un ejemplo de la gráfica de la distribución de Cauchy con los parámetros x0= 0 y = 1 refleja esta simetría y la extensión infinita de sus colas. También se puede graficar la densidad de probabilidad y la función de distribución acumulada de la distribución de Cauchy utilizando las funciones dcauchy y pcauchy, respectivamente. Por ejemplo, para graficar la densidad de probabilidad y la función de distribución acumulada de una distribución de Cauchy con una mediana de 0 y un parámetro de escala de 1, se puede usar el siguiente código:

# Graficar densidad de probabilidad y función de distribución acumulada
x = seq(-10, 10, length = 1000)
densidad = dcauchy(x, 0, 1)
plot(x, densidad, type = "l", col="purple", lwd = 2, ylab = "Densidad de probabilidad", 
     main = "Distribución de Cauchy")

acumulada = pcauchy(x, 0, 1)
plot(x, acumulada, type = "l", col="pink", lwd = 2, ylab = "Función de distribución acumulada", 
     main = "Distribución de Cauchy")

Ejemplo

Enunciado del problema

Se desea simular una señal de presión arterial ideal a lo largo del tiempo, pero con la adición de ruido de tipo Cauchy para modelar los artefactos de medición. Se utilizará la distribución de Cauchy para generar este ruido y observar su efecto en la señal.

Solución

Generar una señal de presión arterial idealizada. Añadir ruido con distribución de Cauchy para simular los artefactos. Visualizar la señal con el ruido superpuesto a la señal ideal.

La distribución de Cauchy es útil para modelar estos artefactos, ya que sus colas largas permiten capturar probabilidades de eventos extremos.

En R, se puede generar una señal de presión arterial ideal y añadirle ruido basado en la distribución de Cauchy. Para generar una muestra de 100 observaciones con una mediana de 0 y un parámetro de escala de 1, el siguiente código ilustra cómo se puede hacer:

# Sintaxis en R: Simulación de una señal ECG con ruido de Cauchy
# # 1. Definir el tiempo de muestreo (en segundos)
tiempo <- seq(0, 10, by = 0.01)

# 2. Generar la señal ideal de presión arterial (simulando ondas 
# sistólicas y diastólicas)
presion_ideal <- 80 + 40 * sin(2 * pi * 1 * tiempo) + 10 * sin(2 * pi 
                                                               * 0.25 
                                                               * tiempo)

# 3. Generar ruido utilizando la distribución de Cauchy
ruido_cauchy <- rcauchy(length(tiempo), location = 0, scale = 2)

# 4. Crear la señal de presión arterial con ruido
presion_con_ruido <- presion_ideal + ruido_cauchy

Aplicaciones en el campo de las ingeniería, ciencias, economía, salud

La distribución de Cauchy tiene aplicaciones en una variedad de campos debido a sus colas largas, que permiten modelar eventos extremos o situaciones donde las medidas no convergen a un valor promedio.

La distribución de Cauchy se aplica en ingeniería para modelar resistencia y fallas, en ciencias sociales y económicas para analizar relaciones causales y conductas humanas, en salud para estimar tiempos de espera en emergencias, y en finanzas para representar la volatilidad de los precios de activos.

Relaciones entre distribuciones univariadas

La distribución de Cauchy es una distribución univariada con colas largas y sin media o varianza definida. Relacionada con otras distribuciones:

Distribución t de Student: La Cauchy es un caso especial de la distribución t de Student cuando los grados de libertad son 1.

Distribución Normal: Aunque parecen similares en forma, la distribución normal tiene media y varianza definidas, mientras que la Cauchy no.

Distribuciones Estables: La Cauchy pertenece a la familia de distribuciones estables, que incluyen la normal como otro caso especial.

Referencias

Moreno Ruiz, A. (2018). Distribución de Cauchy: Características y Aplicaciones (Trabajo de grado de grado). Universidad de Sevilla. Cauchy Distribution. (n.d.). Wolfram MathWorld. Retrieved September 17, 2021 Johnson, N. L., Kotz, S., & Balakrishnan, N. (1994). Continuous Univariate Distributions (Vol. 1, 2nd ed.). John Wiley & Sons.