Distribución Binomial Negativa

Isabella Celis1


1 Pontificia Universidad Javeriana Cali

¿Qué es?

Es un modelo de probabilidad que cuenta cuántos intentos necesitas para conseguir un número fijo de éxitos en un experimento.

Características

  • La Distribución Binomial Negativa es una distribución de carácter discreto que sigue las siguientes condiciones:
  • Número indefinido de pruebas independientes.
  • Cada prueba tiene resultados mutuamente excluyentes (éxito o fracaso).
  • P(A)=p, P(-A)=q=1-p.
  • Los valores de p y q son constantes en todas las pruebas.

Fórmula

La probabilidad de necesitar k intentos para obtener x éxitos está dada por

Donde:

  • P (X) Probabilidad que se de la variable x

  • Donde hay factor de combinación (Coeficiente binomial)

  • p^r: Probabilidad de r éxitos

  • q^(k-r): Probabilidad de k-r fracasos

Historia

La distribución binomial negativa tiene sus orígenes en el siglo XVII, cuando matemáticos como Pierre de Fermat y Blaise Pascal comenzaron a estudiar la probabilidad en juegos de azar. Formalizada por James Bernoulli y Abraham de Moivre, esta distribución modela el número de ensayos necesarios para obtener un número fijo de éxitos en experimentos independientes. Es ampliamente utilizada en biología, economía y otros campos para modelar datos de conteo con mayor variabilidad que la media (sobre-dispersión).

Ejemplo Resuelto en Biología

Situación: - Tienes una especie de planta con una probabilidad del 20% 𝑝= 0.2 p=0.2 de florecer. Quieres saber cuántas semillas necesitas plantar para obtener 5 plantas que florezcan r =5. Vamos a calcular la probabilidad de necesitar k=15 semillas para obtener 5 plantas que florezcan.

  • Calculando la Probabilidad Para nuestro caso específico:

k = 15

r = 5

p = 0.2

q = 0.8

  • Éxito: La semilla florece (probabilidad p = 0.2)

  • Fallo: La semilla no florece (probabilidad q = 1 - p = 0.8)

  • Número de ensayos: k (en este caso, queremos saber para k = 15)

  • Número de éxitos deseados: r = 5

Distribución Binomial

  • Para este tipo de problemas, utilizamos la distribución binomial. La probabilidad de obtener exactamente r éxitos en k ensayos se calcula con la siguiente fórmula:

P(X = r) = C(k, r) * p^r * q^(k-r)

Donde:

  • C(k, r): Combinaciones de k elementos tomados de r en r (también conocido como coeficiente binomial)

  • p^r: Probabilidad de r éxitos

  • q^(k-r): Probabilidad de k-r fracasos

  • Calculando la Probabilidad Para nuestro caso específico:

k = 15 r = 5 p = 0.2 q = 0.8

  • Sustituyendo en la fórmula:

P(X = 5) = C(15, 5) * 0.2^5 * 0.8^(15-5)

  • Resultado: El valor obtenido te dará la probabilidad exacta de que, al plantar 15 semillas, exactamente 5 florezcan. 
## [1] 0.1031823

Conclusion

La Distribución Binomial Negativa es útil para modelar el número de intentos requeridos para obtener un número fijo de éxitos en experimentos. En este caso, hemos aplicado la fórmula para calcular la probabilidad de éxito en un experimento biológico con plantas.

Referencias