Origen
La distribución de Cauchy, también conocida como distribución de
Lorentz o de Breit-Wigner en física, lleva el nombre del matemático
francés Augustin-Louis Cauchy. Se origina en el estudio de funciones
racionales y apareció por primera vez en su trabajo sobre series en la
teoría matemática de ondas. La distribución tiene una importancia
particular en la teoría de probabilidad, ya que es un ejemplo de
distribución que no tiene una esperanza (E[X]) ni varianza (V[X])
definidas. La distribución de Cauchy también está relacionada con la
teoría de valores extremos y la dispersión de partículas en física.
Características
Para una variable aleatoria X con distribución Cauchy estándar (con media x0 = 0 y escala γ = 1), la Función de densidad de probabilidad:
\[ f(x) = \frac{1}{\pi (1 + x^2)} \]
Donde:
- x0 : es el parámetro de localización (media).
- γ : es el parámetro de escala
- 𝜋: es la constante matemática.
Para una versión generalizada de la distribución de Cauchy, la función de densidad es:
\[ f(x; x_0, \gamma) = \frac{1}{\pi \gamma \left[ 1 + \left( \frac{x - x_0}{\gamma} \right)^2 \right]} \] \[ = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{\gamma}{\left( (x - x_0)^2 + \gamma^2 \right)} \] donde x0 es el parámetro de corrimiento que específica la ubicación del pico de la distribución, y γ es el parámetro de escala que específica el ancho medio al máximo medio.
Función de distribución acumulada (F(x)):
La función de distribución acumulada para la Cauchy estándar es:
\[ F(x) = \frac{1}\pi-arctan(x)+\frac{1}2 \] La función de distribución acumulativa (CDF), es:
\[ F(x; x_0, \gamma) = \frac{1}\pi-arctan(x)( \frac{x - x_0}{\gamma})+\frac{1}2 \]
y la función inversa de distribución acumulativa para la distribución Cauchy es:
\[ F^-1(p;x_0, \gamma) = x_0 + \gamma \tan [\pi(p-\frac{1}2)] \]
Esperanza (E[X]) y Varianza (V[X]): La distribución de Cauchy no tiene una media ni varianza definidas. Esto se debe a que las integrales necesarias para calcular estos valores no convergen. A diferencia de otras distribuciones, no se puede calcular un valor promedio confiable para los datos siguiendo una distribución de Cauchy.
Representación gráfica
La distribución de Cauchy tiene una forma de “campana”, similar a la distribución normal, pero con colas mucho más pesadas. Esto implica que los eventos extremos (valores alejados de la media) son más probables en la distribución de Cauchy.
Nombre graficas:
- Función de densidad de probabilidad (PDF)
- Función de distribución acumulativa (CDF)
Ejemplo
Se aborda una situación en la que un ingeniero electrónico está evaluando las mediciones de voltaje en un sistema. Dado que las mediciones pueden estar influenciadas por ruido y otros factores, se modelan usando una distribución de Cauchy con una mediana de 0 y un parámetro de escala de 1. La elección de la distribución de Cauchy se justifica por su capacidad para manejar datos con colas pesadas, lo que es común en mediciones reales donde se pueden presentar valores extremos o atípicos.
Objetivo del Análisis
El objetivo es calcular la probabilidad de que una medición de voltaje sea menor que 1, es decir, determinar P(X < 1). Esto es relevante para el ingeniero porque permite evaluar la probabilidad de que las mediciones caigan dentro de un rango aceptable y, por lo tanto, ayudan a tomar decisiones sobre la confiabilidad del sistema.
Cálculo de Probabilidad Utilizando la función de distribución acumulativa de la distribución de Cauchy, se calcula la probabilidad:
\[ F(1;0,1) = \frac{1}2+ \frac{1}\pi arctan(1) \] Valor de la función arctan
arctan = 𝜋/4, ya que el valor de 1 se encuentra en el punto donde la tangente es igual a 1.
sustitución de la formula
\[ F(1;0,1) = \frac{1}2+ \frac{1}\pi(\frac{\pi}4)=\frac{1}2+ \frac{1}4=\frac{3}4 \] Interpretación resultados
El resultado P(X < 1) = 0.75 indica que hay un 75% de probabilidad de que una medición de voltaje en el sistema sea menor que 1. Este es un resultado significativo porque sugiere que, en general, las mediciones estarán por debajo de este valor, lo que puede ser útil para la evaluación de riesgos y el diseño de sistemas de control.
## La probabilidad de que sea < 1: 0.75
Aplicaciones
La distribución de Cauchy se utiliza en la ingeniería electrónica para modelar fenómenos.
como:
- Ruido en circuitos: En situaciones donde las señales tienen interferencias, el ruido puede estar mejor representado por la distribución de Cauchy debido a su naturaleza de colas pesadas.
- Errores de medición: Al analizar datos experimentales que pueden incluir errores significativos, la distribución de Cauchy ofrece una forma más robusta de describir la variabilidad en comparación con la distribución normal.
Relaciones entre distribuciones univariadas
La distribución de Cauchy es un caso particular dentro de la familia de distribuciones de cola pesada, caracterizadas por la presencia de valores extremos que pueden influir significativamente en el análisis de los datos.
Distribución Normal:
- A diferencia de la distribución normal, la distribución de Cauchy no tiene momentos definidos como la media o la varianza, ya que las integrales para estos momentos no convergen.
- Mientras que la distribución normal sigue la ley de los grandes números y tiene colas más finas, la distribución de Cauchy tiene colas más pesadas, lo que la hace más robusta frente a valores atípicos.
Distribución de Pareto:
Ambas distribuciones presentan colas pesadas, lo que significa que los valores extremos son más comunes en comparación con distribuciones normales.
Sin embargo, la distribución de Pareto se utiliza principalmente para modelar fenómenos como la distribución de ingresos, la riqueza o el tamaño de poblaciones, mientras que la distribución de Cauchy se usa más en el análisis de fenómenos físicos y señales.
Un artículo que discute las relaciones entre estas distribuciones es: (Doe 2024)
