PADK - Uji Z untuk Kebebasan

Video Pembelajaran - P7

Video Pembelajaran dapat diakses melalui link berikut : https://ipb.link/materipadk

Membuat Tabel Kontingensi

Tabel kontingensi adalah alat dasar dalam statistik untuk menampilkan frekuensi dari kombinasi dua variabel kategorikal. Dalam konteks soal yang diberikan, variabelnya adalah status vaksinasi (Vaksin, Tidak Divaksin) dan status COVID-19 (Positif, Negatif). Tabel ini disusun sebagai berikut:

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & \text{Positif} & \text{Negatif} & \text{Total} \\ \hline \text{Vaksin} & 20 & 220 & 240 \\ \hline \text{Tidak Divaksin} & 80 & 140 & 220 \\ \hline \text{Total} & 100 & 360 & 460 \\ \hline \end{array} \]

Menghitung Peluang Terkena COVID-19

Untuk menghitung peluang (probabilitas) terkena COVID-19, kita fokus pada dua kelompok, yaitu kelompok yang divaksin dan tidak divaksin. Probabilitas terkena COVID-19 pada setiap kelompok dihitung sebagai:

\[ P(\text{Positif|Vaksin}) = \frac{\text{Jumlah Positif pada Vaksin}}{\text{Total Vaksin}} = \frac{20}{240} = 0.0833 \]

\[ P(\text{Positif|Tidak Divaksin}) = \frac{\text{Jumlah Positif pada Tidak Divaksin}}{\text{Total Tidak Divaksin}} = \frac{80}{220} = 0.3636 \]

Menghitung Risiko Relatif (Relative Risk, RR)

Risiko relatif mengukur seberapa besar kemungkinan suatu kejadian terjadi pada kelompok yang terpapar (misalnya, divaksin) dibandingkan dengan kelompok yang tidak terpapar. Rumus untuk risiko relatif adalah:

\[ RR = \frac{P(\text{Positif|Vaksin})}{P(\text{Positif|Tidak Divaksin})} \]

Substitusi nilai yang telah dihitung:

\[ RR = \frac{0.0833}{0.3636} = 0.229 \]

Ini berarti bahwa risiko terkena COVID-19 pada orang yang sudah divaksin adalah 0.229 kali risiko pada orang yang tidak divaksin. Dengan kata lain, vaksinasi menurunkan risiko terkena COVID-19.

Uji Hipotesis Z untuk Kebebasan

Untuk menentukan apakah terdapat hubungan antara vaksinasi dan status COVID-19, kita menggunakan uji Z. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

Hipotesis Nol (H₀): Tidak ada perbedaan dalam proporsi (kedua variabel saling bebas):

\[ H_0: \pi_1 - \pi_2 = 0 \]
Hipotesis Alternatif (H₁): Ada perbedaan dalam proporsi (kedua variabel tidak saling bebas):

\[ H_1: \pi_1 - \pi_2 \neq 0 \]
Statistik Uji Z: Statistik Z dihitung dengan rumus:

\[ z = \frac{(\hat{p}_1 - \hat{p}_2)}{\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})\left(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}\right)}} \]

Dimana:

\[ \hat{p}_1 = \frac{20}{240}, \quad \hat{p}_2 = \frac{80}{220} \]

\[ \hat{p} = \frac{\hat{p}_1 n_1 + \hat{p}_2 n_2}{n_1 + n_2} \]

\[ z_{\text{hit}} = \frac{(0.0833 - 0.3636)}{\sqrt{0.2293 \times 0.7707 \left(\frac{1}{240} + \frac{1}{220}\right)}} \approx -7.573 \]
Keputusan: Bandingkan nilai Z yang dihitung dengan nilai kritis \(z_{\alpha/2}\) untuk taraf nyata 5% (biasanya \(z_{0.025} \approx 1.96\)).

Jika \(|z_{\text{hit}}| \geq z_{\alpha/2}\), maka kita tolak H₀. Dalam hal ini:

\[ |-7.573| \geq 1.96 \]

Dengan demikian, kita tolak H₀, dan menyimpulkan bahwa ada cukup bukti untuk mengatakan bahwa vaksinasi mempengaruhi status COVID-19 pada taraf nyata 5%.

Syntax R

# Data
positif_vaksin <- 20
negatif_vaksin <- 220
positif_tidak_vaksin <- 80
negatif_tidak_vaksin <- 140

# Peluang terkena COVID-19
p1 <- positif_vaksin / (positif_vaksin + negatif_vaksin)
p2 <- positif_tidak_vaksin / (positif_tidak_vaksin + negatif_tidak_vaksin)

# Risiko Relatif
r <- p1 / p2
cat("Risiko Relatif: ", r, "\n")

## Risiko Relatif:  0.2291667

# Uji Z
n1 <- positif_vaksin + negatif_vaksin
n2 <- positif_tidak_vaksin + negatif_tidak_vaksin
p_combined <- (positif_vaksin + positif_tidak_vaksin) / (n1 + n2)
z <- (p1 - p2) / sqrt(p_combined * (1 - p_combined) * (1/n1 + 1/n2))
z_alpha_2 <- qnorm(0.975)

# Keputusan
cat("Statistik Z: ", z, "\n")

## Statistik Z:  -7.280688

if (abs(z) >= z_alpha_2) {
  cat("Tolak H0: Ada cukup bukti bahwa vaksinasi berpengaruh terhadap status COVID-19.\n")
} else {
  cat("Gagal tolak H0: Tidak ada cukup bukti bahwa vaksinasi berpengaruh terhadap status COVID-19.\n")
}

## Tolak H0: Ada cukup bukti bahwa vaksinasi berpengaruh terhadap status COVID-19.

Kesimpulan

Melalui perhitungan ini, kita mendapatkan bahwa:

Risiko relatif orang yang divaksinasi untuk terkena COVID-19 adalah lebih rendah dibandingkan dengan mereka yang tidak divaksinasi.
Uji Z menunjukkan bahwa ada hubungan yang signifikan antara vaksinasi dan status COVID-19, yang berarti bahwa vaksinasi memiliki pengaruh terhadap kemungkinan seseorang terkena COVID-19.

Latihan Soal

1. Topik: Pengaruh Konsumsi Gula terhadap Risiko Diabetes

Dalam sebuah penelitian, sebanyak 500 orang diperiksa untuk mengetahui hubungan antara konsumsi gula tinggi dengan risiko diabetes. Dari 300 orang yang didiagnosis dengan diabetes, 180 diantaranya memiliki konsumsi gula tinggi. Dari 200 orang yang tidak menderita diabetes, 50 diantaranya memiliki konsumsi gula tinggi.
Pertanyaan:
1. Buat tabel kontingensi dari data tersebut.
2. Tentukan peluang seseorang menderita diabetes jika mereka memiliki konsumsi gula tinggi.
3. Tentukan peluang seseorang menderita diabetes jika mereka memiliki konsumsi gula rendah.
4. Tentukan risiko relatif konsumsi gula tinggi terhadap risiko diabetes.
5. Uji kebebasan antara konsumsi gula dan risiko diabetes dengan menggunakan uji z.

2. Topik: Hubungan Antara Merokok dan Kanker Paru-paru

Sebuah studi dilakukan untuk mengevaluasi hubungan antara merokok dan kanker paru-paru. Dari 400 orang yang terdiagnosis kanker paru-paru, 250 diantaranya adalah perokok. Dari 600 orang yang tidak terdiagnosis kanker paru-paru, 200 diantaranya adalah perokok.
Pertanyaan:
1. Buat tabel kontingensi dari data tersebut.
2. Hitung peluang terkena kanker paru-paru pada perokok.
3. Hitung peluang terkena kanker paru-paru pada non-perokok.
4. Hitung risiko relatif merokok terhadap kanker paru-paru.
5. Uji apakah ada hubungan antara merokok dan kanker paru-paru dengan menggunakan uji z.

3. Topik: Pengaruh Latihan Fisik terhadap Obesitas

Sebuah survei dilakukan terhadap 700 orang untuk menilai hubungan antara latihan fisik rutin dengan obesitas. Dari 300 orang yang tidak mengalami obesitas, 240 orang rutin berolahraga. Dari 400 orang yang mengalami obesitas, 150 orang rutin berolahraga.
Pertanyaan:
1. Buat tabel kontingensi dari data tersebut.
2. Hitung peluang seseorang tidak mengalami obesitas jika mereka rutin berolahraga.
3. Hitung peluang seseorang mengalami obesitas jika mereka tidak rutin berolahraga.
4. Hitung risiko relatif latihan fisik terhadap obesitas.
5. Uji kebebasan antara latihan fisik dan obesitas dengan menggunakan uji z.

4. Topik: Pengaruh Konsumsi Sayur terhadap Risiko Penyakit Jantung

Dalam sebuah penelitian, 500 orang diperiksa untuk mengamati hubungan antara konsumsi sayur harian dengan risiko penyakit jantung. Dari 200 orang yang terdiagnosis penyakit jantung, 60 diantaranya memiliki kebiasaan konsumsi sayur harian. Dari 300 orang yang tidak terdiagnosis penyakit jantung, 220 diantaranya rutin mengonsumsi sayur setiap hari.
Pertanyaan:
1. Buat tabel kontingensi dari data tersebut.
2. Hitung peluang seseorang menderita penyakit jantung jika mereka rutin mengonsumsi sayur.
3. Hitung peluang seseorang menderita penyakit jantung jika mereka jarang mengonsumsi sayur.
4. Hitung risiko relatif konsumsi sayur terhadap penyakit jantung.
5. Uji apakah ada hubungan antara konsumsi sayur dan penyakit jantung dengan menggunakan uji z.

5. Topik: Pengaruh Konsumsi Kopi terhadap Insomnia

Sebuah penelitian dilakukan untuk mengetahui hubungan antara konsumsi kopi dengan insomnia. Dari 350 orang yang mengalami insomnia, 250 diantaranya rutin minum kopi. Dari 150 orang yang tidak mengalami insomnia, 50 diantaranya rutin minum kopi.
Pertanyaan:
1. Buat tabel kontingensi dari data tersebut.
2. Hitung peluang seseorang mengalami insomnia jika mereka rutin minum kopi.
3. Hitung peluang seseorang tidak mengalami insomnia jika mereka tidak minum kopi.
4. Hitung risiko relatif konsumsi kopi terhadap insomnia.
5. Uji kebebasan antara konsumsi kopi dan insomnia dengan menggunakan uji z.