Sebaran Binomial

Distribusi binomial digunakan untuk menghitung probabilitas terjadinya sejumlah kejadian sukses dalam suatu rangkaian percobaan yang identik dan independen, di mana setiap percobaan hanya memiliki dua kemungkinan hasil: sukses atau gagal. Misalkan:

• \(n\): Jumlah percobaan
• \(p\): Peluang sukses pada setiap percobaan
• \(Y\): Variabel acak yang menyatakan jumlah sukses dalam \(n\) percobaan

Probabilitas mendapatkan tepat \(y\) kejadian sukses diberikan oleh fungsi massa probabilitas binomial:

\[ P(Y = y) = \binom{n}{y} p^y (1-p)^{n-y} \]

n <- 5
p <- 1/6
y <- 3

prob <- dbinom(y, size=n, prob=p)
print(prob)

## [1] 0.03215021

n <- 4
p <- 0.75
y <- 2

prob <- dbinom(y, size=n, prob=p)
print(prob)

## [1] 0.2109375

Sebaran Multinomial

Distribusi multinomial adalah perluasan dari distribusi binomial untuk kasus di mana setiap percobaan memiliki lebih dari dua kemungkinan hasil. Misalkan:

• \(n\): Jumlah percobaan
• \(\pi_1, \pi_2, \ldots, \pi_k\): Peluang untuk masing-masing kategori, dengan \(\sum_{j=1}^{k} \pi_j = 1\)
• \(n_1, n_2, \ldots, n_k\): Jumlah kejadian dalam masing-masing kategori

Probabilitas multinomial diberikan oleh:

\[ P(Y_1 = n_1, Y_2 = n_2, \ldots, Y_k = n_k) = \frac{n!}{n_1! n_2! \cdots n_k!} \pi_1^{n_1} \pi_2^{n_2} \cdots \pi_k^{n_k} \]

n <- 20
prob <- c(0.7, 0.25, 0.05)
k <- c(15, 3, 2)

prob_result <- dmultinom(k, size=n, prob=prob)
print(prob_result)

## [1] 0.02875242

Uji Proporsi

Pengertian: Uji proporsi digunakan untuk menguji hipotesis mengenai proporsi populasi berdasarkan sampel yang telah diambil. Misalnya, jika sebuah survei menunjukkan bahwa 56% responden mendukung kandidat tertentu, uji proporsi dapat digunakan untuk menentukan apakah proporsi ini signifikan secara statistik.

Hipotesis: \[ H_0: p = p_0 \quad (\text{proporsi populasi sama dengan nilai hipotesis}) \] \[ H_1: p \neq p_0 \quad (\text{proporsi populasi tidak sama dengan nilai hipotesis}) \]

Statistik Uji: Statistik uji untuk uji proporsi dihitung dengan rumus: \[ Z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}} \] Dimana:

• \(\hat{p}\) adalah proporsi sampel,

• \(p_0\) adalah proporsi populasi yang dihipotesiskan,

• \(n\) adalah ukuran sampel.

Kaidah Penolakan: Nilai \(Z\) dibandingkan dengan nilai kritis \(Z_{\alpha/2}\) dari distribusi normal standar. Jika \(|Z| > Z_{\alpha/2}\), maka kita tolak hipotesis nol \(H_0\).

Implementasi R: Suatu lembaga survey mengambil contoh acak sebanyak 2000 responden dan diperoleh hasil 1120 orang diantaranya masih puas terhadap kinerja pemerintah. Apakah mayoritas responden puas dengan kinerja pemerintah?

# Data
n <- 2000
x <- 1120
p0 <- 0.5  # proporsi yang dihipotesiskan

# Proporsi sampel
phat <- x / n

# Uji proporsi satu sampel
z <- (phat - p0) / sqrt(p0 * (1 - p0) / n)

# Nilai p untuk uji dua sisi
p_value <- 2 * pnorm(-abs(z))

z

## [1] 5.366563

p_value

## [1] 8.025111e-08

karena nilai p-value < 0.05, maka kita menolak \(H_0\) dan menyimpulkan bahwa mayoritas responden puas dengan kinerja pemerintah.

Uji Wald

Pengertian: Uji Wald digunakan untuk menguji parameter dalam model regresi. Secara khusus, ini digunakan untuk menguji apakah koefisien dari variabel independen secara signifikan berbeda dari nol.

Hipotesis: \[ H_0: \beta = \beta_0 \] \[ H_1: \beta \neq \beta_0 \]

Statistik Uji: Statistik uji Wald dihitung dengan rumus: \[ W = \frac{(\hat{\beta} - \beta_0)^2}{\text{Var}(\hat{\beta})} \] Dimana:

• \(\hat{\beta}\) adalah estimasi dari koefisien,

• \(\beta_0\) adalah nilai hipotesis,

• \(\text{Var}(\hat{\beta})\) adalah varian dari estimasi koefisien.

Kaidah Penolakan: Bandingkan nilai statistik Wald \(W\) dengan distribusi chi-square dengan derajat kebebasan 1. Jika \(W > \chi^2_{\alpha,1}\), maka tolak \(H_0\).

Implementasi R: Di dunia telekomunikasi dikenal istilah churn analysis yang bertujuan untuk melihat kemungkinan pelanggan untuk pindah ke operator lain. Misalnya pada bulan tertentu diketahui ada sebanyak 2347 pelanggan yang keluar (churn) dari total contoh acak 60000 pelanggan. Apakah dapat kita katakan bahwa churn rate, perbandingan antara pelanggan yang churn dengan total pelanggan, adalah sebesar 4%?

# Data
n <- 60000
x <- 2347
p0 <- 0.04  # churn rate yang dihipotesiskan

# Proporsi sampel
phat <- x / n

# Uji Wald
var_hat <- (phat * (1 - phat)) / n
wald <- (phat - p0)^2 / var_hat

# Nilai p untuk uji Wald
p_value <- 1 - pchisq(wald, df = 1)

wald

## [1] 1.24557

p_value

## [1] 0.2644004

karena p-value > 0.05, maka gagal tolak \(H_0\) dan menyimpulkan bahwa churn rate sama dengan 4%.

Latihan Soal