Origen de la Distribución Lognormal

Catalina Pulido Rubiano1


1 Universidad Pontificia Javeriana

Origen de la Distribución Lognormal

La distribución lognormal surge cuando el logaritmo de una variable aleatoria \(X\) se distribuye normalmente. En otras palabras, si \(Y = \ln(X)\) sigue una distribución normal con media \(\mu\) y varianza \(\sigma^2\), entonces \(X = e^Y\) sigue una distribución lognormal.

Esta distribución fue identificada como útil por primera vez en el siglo XIX en el contexto de modelar fenómenos naturales y económicos, donde las variables no pueden tomar valores negativos y crecen exponencialmente. Un ejemplo típico es el crecimiento de poblaciones o precios de activos financieros.

Características Principales

  1. Función de Densidad de Probabilidad (f(x)):

    \[ f(x) = \frac{1}{x \sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(\ln(x) - \mu)^2}{2\sigma^2}}, \quad x > 0 \]

  2. Función de Distribución Acumulada (F(x)):

    \[ F(x) = \frac{1}{2} \left[1 + \text{erf}\left(\frac{\ln(x) - \mu}{\sigma \sqrt{2}}\right)\right], \quad x > 0 \]

    Donde \(\text{erf}(z)\) es la función error.

  3. Esperanza (E[X]):

    \[ E[X] = e^{\mu + \frac{\sigma^2}{2}} \]

  4. Varianza (V[X]):

    \[ V[X] = \left(e^{\sigma^2} - 1\right) e^{2\mu + \sigma^2} \]

  5. Gráfica de una distribución lognormal

Ejemplo

Enunciado:

Un ingeniero está analizando los tiempos de vida de componentes electrónicos y ha determinado que dichos tiempos siguen una distribución lognormal con media logarítmica \(\mu = 2\) y desviación estándar logarítmica \(\sigma = 0.5\).

Se desea calcular:

  1. La probabilidad de que un componente dure menos de 10 unidades de tiempo.
  2. La densidad de probabilidad para el valor de 10 unidades de tiempo.
  3. La media y la varianza de los tiempos de vida de los componentes.

Solución y Sintaxis en R:

La probabilidad de que un componente dure menos de 10 unidades de tiempo es: 0.7275 La densidad de probabilidad para 10 unidades de tiempo es: 0.06644 La media de los tiempos de vida es: 8.3729 La varianza de los tiempos de vida es: 19.9117

Aplicaciones de la Distribución Lognormal

La distribución lognormal se aplica ampliamente en diferentes áreas debido a su capacidad para modelar variables que crecen de manera multiplicativa y no pueden tomar valores negativos.

Ingeniería

  • Tiempo hasta la falla (reliability): En ingeniería, se usa la distribución lognormal para modelar el tiempo hasta la falla de componentes y sistemas, especialmente cuando las fallas ocurren debido a un proceso de desgaste o fatiga acumulada.
  • Durabilidad de materiales: Se utiliza para modelar la resistencia o durabilidad de materiales sometidos a estrés, dado que muchas veces estas variables no siguen una distribución simétrica.

Ciencias Naturales

  • Crecimiento biológico: En ecología y biología, se utiliza para modelar el crecimiento de poblaciones o de organismos donde los tamaños tienden a ser distribuidos lognormalmente, como el tamaño de las plantas o el peso de los animales.
  • Geología: Se usa en la distribución del tamaño de las partículas minerales y sedimentos, ya que los procesos geológicos tienden a producir distribuciones asimétricas.

Economía

  • Precios de activos financieros: En economía y finanzas, los precios de las acciones y otros activos siguen una distribución lognormal, dado que los precios no pueden ser negativos y tienden a multiplicarse en el tiempo. El modelo de Black-Scholes, utilizado para valorar opciones, se basa en este supuesto.
  • Ingresos y riqueza: Los estudios sobre la distribución de ingresos y riqueza en una población tienden a seguir una distribución lognormal, ya que los ingresos de las personas no pueden ser negativos y exhiben grandes disparidades.

Salud

  • Tiempos de supervivencia: En estudios de supervivencia y epidemiología, la distribución lognormal se utiliza para modelar tiempos de recuperación o supervivencia en enfermedades donde la recuperación o muerte sigue un patrón logarítmico.
  • Concentración de contaminantes: En salud ambiental, las concentraciones de contaminantes en el aire o en el agua pueden seguir una distribución lognormal, ya que estos valores no son negativos y varían significativamente entre lugares.

Relaciones entre distribuciones univariadas.

Distribución Normal

La lognormal es la transformación exponencial de una variable normal. Si \(Y \sim N(\mu, \sigma^2)\), entonces \(X = e^Y\) sigue una distribución lognormal.

Distribución Exponencial

En algunos contextos, la lognormal puede modelar el tiempo hasta el fracaso en sistemas donde el crecimiento es multiplicativo. Sin embargo, la distribución exponencial es más adecuada para procesos de falla que ocurren a un ritmo constante.

Distribución Gamma

La lognormal puede ser vista como un caso particular de la distribución gamma cuando se considera el producto de variables aleatorias independientes.

Distribución Beta

Aunque la distribución beta se utiliza en intervalos finitos, la lognormal puede aproximar distribuciones de datos positivos, especialmente en análisis de ingresos o crecimiento.

Distribución de Pareto

Ambas distribuciones se utilizan para modelar fenómenos donde hay grandes eventos raros. La lognormal se centra en el crecimiento, mientras que la de Pareto se enfoca en los extremos de una distribución.

References

-Johnson, N.L., Kotz, S., & Balakrishnan, N. (1994). Continuous Univariate Distributions. Volume 1, 2nd ed. John Wiley & Sons. -Limpert, E., Stahel, W. A., & Abbt, M. (2001). Log-normal Distributions across the Sciences: Keys and Clues. BioScience, 51(5), 341-352. -Aitchison, J., & Brown, J. A. C. (1957). The Lognormal Distribution with Special Reference to its Uses in Economics. Cambridge University Press.