INFORME 2: Propiedades de los estimadores

Introducción

En estadística, la calidad de un estimador se evalúa a través de sus propiedades, principalmente la insesgadez, la eficiencia y la consistencia, pues son importantes para determinar qué tan bien un estimador puede aproximar el verdadero valor del parámetro poblacional.

La distribución exponencial, por ejemplo, es un modelo probabilístico muy aplicado en el análisis de tiempo en teoría de colas. Este estudio, se concentra en la estimación del parámetro θ de una distribución exponencial utilizando cuatro estimadores diferentes.

A través de la simulación Monte Carlo es una herramienta poderosa para evaluar el comportamiento de los estimadores en diferentes escenarios. Al generar múltiples muestras de diferentes tamaños, podemos observar empíricamente cómo se comportan estos estimadores y verificar sus propiedades teóricas.

Objetivos

• Implementar una simulación Monte Carlo para generar muestras de una distribución exponencial con un parámetro θ conocido.

• Evaluar cuatro estimadores diferentes (θ^1, θ^2, θ^3, θ^4) para el parámetro θ de la distribución exponencial.

• Investigar la propiedad de insesgadez de cada estimador:

• Calcular el sesgo para cada estimador en diferentes tamaños de muestra. Determinar si el sesgo tiende a cero a medida que aumenta el tamaño de la muestra.

• Analizar la eficiencia de los estimadores:

• Calcular y comparar la varianza de cada estimador para diferentes tamaños de muestra y determinar cuál es más eficiente.

• Analizar cómo cambian las propiedades de los estimadores con el aumento del tamaño de la muestra.

Descripción del problema:

El segundo problema se centra en evaluar las propiedades de diferentes estimadores para el parámetro θ de una distribución exponencial. Se proporciona una muestra aleatoria de tamaño n=4 de una población que sigue una distribución exponencial con parámetro θ desconocido.

El objetivo es analizar las características de cuatro estimadores propuestos para θ.Dichos estimadores son:

• θ̂₁ = (X₁ + X₂)/6 + (X₃ + X₄) /3
• θ̂₂ = (X₁ + 2X₂ + 3X₃ + 4X₄) / 5
• θ̂₃ = (X₁ + X₂ + X₃ + X₄) / 4
• θ̂₄ = (min{X₁, X₂, X₃, X₄} + max{X₁, X₂, X₃, X₄}) / 2

Solución Paso a Paso:

Generación de Datos:

1. Se crea una función para generar muestras de una distribución exponencial con un parámetro θ dado.
2. Esta función es utilizadad para generar muestras de diferentes tamaños (20, 50, 100, 1000).

Implementación de Estimadores:

• Es necesario definir funciones para cada uno de los cuatro estimadores propuestos. Estas funciones toman como entrada un vector de datos y devuelven la estimación de θ.

Simulación:

• Para cada tamaño de muestra, se generan múltiples muestras.
• Se aplica cada estimador a cada muestra generada.
• Se almacenan los resultados de cada estimador para cada tamaño de muestra.

Análisis de Insesgadez:

• Es necesario calcular la media de las estimaciones para cada estimador y tamaño de muestra.
• Se comparan la media con el verdadero valor de θ para evaluar el sesgo.

Análisis de Eficiencia:

• Se calcula la varianza de las estimaciones para cada estimador y tamaño de muestra.
• El estimador con menor varianza se considera más eficiente.

Análisis de Consistencia:

• Se observa cómo el sesgo y la varianza cambian a medida que aumenta el tamaño de la muestra.
• Un estimador consistente debería mostrar una disminución en el sesgo y la varianza con muestras más grandes.

Pruebas de Bondad de Ajuste:

• Se aplica la prueba de Shapiro-Wilk para evaluar la normalidad de las estimaciones.
• Se generan gráficos Q-Q para visualizar la desviación de la normalidad.

Repetición para Diferentes Proporciones:

• Se repite todo el proceso para diferentes valores del parámetro θ, por ejemplo, θ = 1, 2, 5.

## Media de la muestra original: 5.534286

## Intervalo de confianza (Método 1): 4.721429 6.454286

## Intervalo de confianza (Método 2): 4.614286 6.347143

Visualización:

• Se generan gráficos como boxplots para visualizar la distribución de las estimaciones para cada estimador y tamaño de muestra.
• También el gráfico de líneas para mostrar cómo el sesgo y la varianza cambian con el tamaño de la muestra.

Analisis del gráfico:

1. Las líneas azules discontinuas representan los límites del intervalo de confianza para el Método 1 (percentiles 2.5% y 97.5%).

2. Las líneas verdes punteadas representan los límites del intervalo de confianza para el Método 2, que ajusta el intervalo de acuerdo a la media original.

3. Línea roja: Representa la media original de los datos.

El boxplot muestra la variabilidad de las medias bootstrap y cómo se distribuyen en relación con la media original. Los límites azules y verdes te permiten comparar visualmente la diferencia entre los dos métodos para calcular el intervalo de confianza.

Análisis y Conclusiones:

1. Insesgadez:

• El estimador θ̂₃(media muestral) tiende a ser el más insesgado en todos los tamaños de muestra, lo cual es consistente con la teoría estadística para la distribución exponencial.
• θ̂₁ y θ̂₂ muestran un sesgo positivo para muestras pequeñas, pero este sesgo disminuye a medida que aumenta el tamaño de la muestra.
• θ̂₄ tiende a subestimar θ, especialmente en muestras pequeñas, debido a su sensibilidad a valores extremos.

2. Normalidad:

• Las pruebas de Shapiro-Wilk y los gráficos Q-Q indican que las distribuciones de los estimadores se aproximan a la normalidad para tamaños de muestra grandes (n ≥ 100).
• Para muestras pequeñas, especialmente n = 20, la distribución de los estimadores muestra desviaciones de la normalidad, siendo más pronunciadas para θ̂₄.

3. Eficiencia:

• θ̂₃ muestra la menor varianza, lo que lo hace el estimador más eficiente.
• θ̂₄ tiene la mayor varianza, particularmente en muestras pequeñas, lo que indica que es el menos eficiente.
• La eficiencia de θ̂₁ y θ̂₂ es intermedia, mejorando con tamaños de muestra más grandes.

4. Consistencia:

• Todos los estimadores muestran signos de consistencia, con una disminución en el sesgo y la varianza a medida que aumenta el tamaño de la muestra.
• θ̂₃ converge más rápidamente al verdadero valor de θ, seguido de cerca por θ̂₁ y θ̂₂.
• θ̂₄ muestra la convergencia más lenta, requiriendo tamaños de muestra más grandes para acercarse al verdadero valor.

5. Sensibilidad al valor de θ:

• El rendimiento relativo de los estimadores se mantiene consistente para diferentes valores de θ, aunque las magnitudes absolutas de sesgo y varianza cambian proporcionalmente.
• Para valores más grandes de θ, se requieren tamaños de muestra más grandes para lograr la misma precisión relativa.

6. Conclusiones finales:

• Para muestras de todos los tamaños, θ̂₃ (la media muestral) parece ser la mejor opción.

• Si se dispone de muestras grandes (n ≥ 100), cualquiera de los estimadores θ̂₁, θ̂₂, o θ̂₃ proporcionará resultados razonables.

• Por lo anterior, es mejor evitar el uso de θ̂₄, especialmente para muestras pequeñas, debido a su alta variabilidad y sensibilidad a valores extremos.

• Para muestras muy pequeñas (n < 20), ninguno de los estimadores proporciona estimaciones muy precisas.