Introducción:

El número π es una de las constantes más fundamentales en matemáticas, apareciendo en una amplia variedad de disciplinas científicas. Este valor es definido como la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro, existiendo diversos métodos para aproximar su valor, tanto analíticos como computacionales. Uno de este último es hallado mediante la simulación de Monte Carlo, utilizado las probabilidades del azar para resolver problemas numéricos.

En este informe, se presenta una simulación que permite estimar el valor de π utilizando un enfoque geométrico. La simulación consiste en generar puntos aleatorios dentro de un cuadrado que contiene un círculo inscrito y a partir de la proporción de puntos que caen dentro del círculo, estimar el valor de π con base en la relación geométrica entre el área del cuadrado y el área del círculo.

Este método aprovecha la facilidad de generar números aleatorios y la geometría para obtener una estimación cercana al valor de π.

Objetivos:

Método de simulación:

  • Se inicia generando un gran número de puntos aleatorios dentro del cuadrado (que tiene coordenadas entre 0 y 1 en ambos ejes).

  • Para cada punto, es necesario determinar si este cae dentro del círculo, calculando su distancia al centro (0.5, 0.5). Si esta distancia es menor o igual a 0.5, el punto está dentro del círculo.

  • Se inicia una cuenta de puntos que caen dentro del círculo (N_círculo) y cuántos se generan en total (N_total).

  • La proporción de puntos dentro del círculo respecto al total de puntos generados (N_círculo / N_total) es una aproximación de la razón entre el área del círculo y el área del cuadrado, que es π/4.

  • Multiplicando esta proporción por 4, obtenemos una estimación de π: π ≈ 4 * (N_círculo / N_total)

Descripción de la estimación:

Este ejercicio implementa un método de simulación Monte Carlo para estimar el valor de π, una constante matemática fundamental. El enfoque se basa en la relación geométrica entre un círculo inscrito en un cuadrado.

Resultados:

  1. El ejercicio se basa en la relación entre un círculo inscrito en un cuadrado de lado 1, que tiene un área de 1 unidad cuadrada. Dentro de este cuadrado, s inscribe un círculo cuyo diámetro es igual al lado del cuadrado, este círculo tendrá un radio de 0.5 y un área de π/4.

La idea clave es que la proporción del área del círculo respecto al área del cuadrado es igual a π/4.

## Número de puntos generados: 1e+06
## Puntos dentro del círculo: 785760
## Estimación de π: 3.14304
## Valor real de π: 3.141593
## Error absoluto: 0.001447346
Visualización:
  • Se genera el gráfico de la circunferencia para visualizar la distribución de las estimaciones para cada estimador y tamaño de muestra.

Análisis y Conclusiones:

  • A medida que aumenta el número de puntos generados, la estimación de π tiende a converger hacia su valor real (3.14159…).

  • Con 1,000,000 de puntos, típicamente se obtiene una estimación con una precisión de 3 a 4 decimales correctos.

  • Este ejercicio ilustra la ley de los grandes números, ya que, conforme aumenta el tamaño de la muestra, su estimación se vuelve cada vez más y más precisa, llevando a una estabilidad.

  • Aunque el método es simple, requiere un gran número de iteraciones para lograr una precisión alta.

  • Bajo muestras pequeñas (menos de 1000 puntos), las estimaciones pueden variar significativamente entre ejecuciones.

  • Esta variabilidad disminuye notablemente con muestras más grandes, demostrando la importancia del tamaño de la muestra en la inferencia estadística.

  • El método proporciona una forma visual e intuitiva de entender la relación entre áreas y probabilidades.

  • Los gráficos generados ayudan a visualizar cómo los puntos aleatorios se distribuyen en el cuadrado y el círculo inscrito.