Modelos Especiales. Distribución normal

Amy S. Parra

Pontificia Universidad Javeriana Cali, Facultad de Ingeniería y Ciencias, Programa de Ingeniería Biomédica.; Probabilidad y Estadística.

Origen

Fue reconocida por primera vez por el francés Abraham de Moivre (1667-1754). Posteriormente, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) elaboró desarrollos más profundos y formuló la ecuación de la curva; de ahí que también se la conozca, más comúnmente, como la”campana de Gauss”.

Caracteristicas principales

Es un patrón estadístico que aparece cuando un conjunto de datos se distribuye de manera uniforme alrededor del valor central, es decir que la mayoría de observaciones se van en torno al promedio y los valores se vuelven menos comunes a medida que se alejan de este punto central. Nota: Utiliza la media o promedio y la desviación estándar como parámetros clave.

Su función de densidad se da por

\[ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu)^2}, \quad -\infty \leq x \leq \infty \]

Además de eso, el valor esperado (E|X|) y la varianza (V|X|) son iguales a: \[ E|X|=μ \]

\[ V|X|=σ^2 \] Su función de distribución estándar N(0,1) es

\[ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}x^2}, \quad -\infty \leq x \leq \infty \] Si nos dan la función en X, de la siguiente manera: \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\), entonces debemos hallar Z, en el proceso que llamado “estandarización”:

\[ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1) \]

Su representación gráfica es la siguiente:

Aspectos a tener en cuenta

  • Tiene una única moda, que coincide con su media y su mediana.
  • Es simétrica con respecto a su media.
  • La media indica la posición de la campana, a diferentes valores, la gráfica se desplaza en el eje horizontal.
  • La desviación estándar determina el grado de apuntamiento de la curva. Si es mayor el valor, más se dispersarán los datos en torno a la media y la curva será más plana.

Ejemplo

En una ciudad, la temperatura máxima en junio sigue una distribución normal con media μ=23°C y desviación estándar 𝜎=5°C. Se desea calcular cuántos días del mes se espera que la temperatura máxima esté entre 21° y 27°.

# Parámetros
mu <- 23  # media
sigma <- 5  # desviación estándar
dias_junio <- 30  # días del mes de junio

# Probabilidad de que 21 <= X <= 27
p_21_27 <- pnorm(27, mean = mu, sd = sigma) - pnorm(21, mean = mu, sd = sigma)

# Número esperado de días
dias_esperados <- p_21_27 * dias_junio
dias_esperados
## [1] 13.30699

Aplicaciones en la ingeniería biomédica

La distribución normal es importante en el campo de la ingeniería biomédica, por las siguientes razones:

- Procesamiento de señales biomédicas Se utiliza para medir variables de electrocardiograma (ECG), electroencefalograma (EEG) o señales de respiración, gracias a que este tipo de variables se distribuyen de forma normal alrededor de la media.

- Medidas de seguridad en equipos médicos La distribución normal garantiza que las mediciones y el rendimiento de los dispositivos médicos se mantenga dentro de los limites seguros y aceptables, tanto para el personal médico, como con los pacientes. En caso de no seguir este comportamiento puede indicar que hay algún daño o anomalía.

- Estudios clínicos Se aplica en la interpretación de datos de ensayos clínicos, como las variaciones en los resultados de un tratamiento médico, para establecer intervalos de confianza y significancia estadística.

Relaciones Univaridas

Se debe tener en cuenta que la distribución normal es la madre de varias distribuciones univariadas continuas, gracias a que cuando las distribuciones alcanzan cierto tamaño, se va acercando a una distribución normal ;sin embargo, en este apartado solo serán tratadas las principales:

Distribución binomial: Describe el número de éxitos en una serie de ensayos de Bernoulli (como lanzar una moneda varias veces). A medida que el número de ensayos aumenta, la distribución binomial se aproxima a una distribución normal.

Distribución Poisson: Describe eventos que ocurren de forma aleatoria en un intervalo de tiempo o espacio (por ejemplo, el número de pacientes que llegan a una sala de emergencias en una hora). Cuando el número medio de eventos (λ) es grande, la distribución de Poisson también se aproxima a una distribución normal.

Distribución chi-cuadrado y chi cuadrado no central: La distribución chi-cuadrado (χ²) surge como la suma de los cuadrados de 𝑘 variables aleatorias independientes que siguen una distribución normal estándar (con media 0 y varianza 1).

La distribución chi-cuadrado no central es una generalización de la distribución chi-cuadrado que se obtiene cuando las variables normales no tienen media 0 (no son normales estándar). En este caso, las variables siguen una distribución normal con media distinta de 0.

Referencias: